精品解析：湖北荆州市江陵县2025-2026学年第一学期期末质量监测八年级数学试题

2025－2026学年第一学期期末质量监测八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 已知三角形的两边长分别为和 ，则该三角形的第三边的长度可能是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，两个三角形是全等三角形，x的值是（ ） A. 30 B. 45 C. 50 D. 85 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将一副三角尺按如图方式放置，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列整式的乘法计算中，能运用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在的两边上，分别取，再分别过点M，N作，OB的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 8. 某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为4米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端点升高了（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，，将按如图所示的方式依次折叠： 有下面四个结论：①平分；② ；③；④ 的周长等于的长．所有正确结论的序号为（ ） A. ①③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 港珠澳大桥全长约55公里，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海和澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥．下图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是__________． 12. 剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图所示的剪纸是一副轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标是，则其关于轴的对称点的坐标为_________． 13. 已知等式：，若括号内所填的式子记为A，则________． 14. 如图，点E，F在BC上，， ，相交于点G，若添加一个条件，可使得 ，则添加的条件可以是______． 15. 如图，中，，于点D，的平分线分别交于E、F两点，M为的中点，的延长线交于点N，连，下列结论：①， ②，③，④其中正确结论的序号为_______（答案不全可适当得分，有错误答案不得分）． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，点A，，，在一条直线上，，，．求证：． 18. 先化简：，再从-1、0、1中选一个合适的x的值代入求值． 19. 有两个正方形，，现将放在的内部如图甲，将，并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，求正方形，的面积之和． 20. 下面是小雅“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程． 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线PQ，使得PQ⊥l． 做法：如图， ①在直线l的异侧取一点K，以点P为圆心，PK长为半径画弧，交直线l于点A，B； ②分别以点A，B为圆心，大于AB的同样长为半径画弧，两弧交于点Q（与P点不重合）； ③作直线PQ，则直线PQ就是所求作的直线． 根据小雅设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵PA＝________，QA＝________， ∴PQ⊥l___________（填推理的依据）． 21. 秋天是北京四季中最美的季节，深秋的北京香山更是景美如画，金代诗人周昂在《香山》中用诗句“山林朝市两茫然，红叶黄花白一川”描绘了香山红叶与黄花交相辉映的自然美景．小明和小亮都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去香山爬山赏景，挑战香炉峰．小明沿北线步道上山，小亮沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小明比小亮每小时少走，结果小明和小亮到达各自步道终点所用的时间之比是，求两人走完各自步道全程分别用了多少小时． 22. 如图，在所给正方形网格图中完成下列各题，的三个顶点都在格点上（用无刻度的直尺画图）． （1）画出的中线； （2）作出关于直线对称的； （3）在直线上找到一点，使的值最小． 23. 类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和 即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： （1）①已知，则依据此规律____； ②请你利用拆项法进行因式分解：_____； （2）若满足，求的值； （3）受此启发，解方程． 24. 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过点A作 于点D，过点B作 于点E，可以证明，我们将这个模型称为“一线三直角”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： （1）如图2，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为，C的坐标为，则点B的坐标为_______； （2）如图3，在平面直角坐标系中，等腰，与y轴交点D，点C的坐标为，A点的坐标为，求点B的坐标． （3）如图4，等腰，，当点C在x轴正半轴上运动，点在y轴正半轴上运动，点在第四象限时，作轴于点D，请直接写出a，m，n之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期期末质量监测八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 已知三角形的两边长分别为和 ，则该三角形的第三边的长度可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围． 【详解】解：设第三边的长为x cm，根据三角形的三边关系， 得5-3＜x＜5+3，即2＜x＜8． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式组即可． 2. 如图，两个三角形是全等三角形，x的值是（ ） A. 30 B. 45 C. 50 D. 85 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是找出对应角．根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，， ∵两个三角形是全等三角形， ∴， 即， 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，掌握同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方运算法则是关键．根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：A、，该选项计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，该选项计算错误，不符合题意； D、，该选项计算错误，不符合题意； 故选：B ． 4. 将一副三角尺按如图方式放置，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查对三角形的外角性质的理解和掌握，能熟练地运用三角形的外角性质进行计算是解此题的关键． 求出的度数，根据三角形的外角性质得到，代入即可． 【详解】解：， ∴． 故选：B． 5. 下列整式的乘法计算中，能运用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式中代数式的特征是解题的关键． 平方差公式的形式为，即两个二项式中，一项相同，另一项互为相反数，检查各选项变形后是否符合此形式即可． 【详解】选项A：，符合形式，能运用平方差公式，符合题意要求； 选项B：，不能运用平方差公式，不符合题意要求； 选项C：，不能运用平方差公式，不符合题意要求； 选项D：，不能运用平方差公式，不符合题意要求； 故选A． 6. 如图，在的两边上，分别取，再分别过点M，N作，OB的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键． 7. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：A. ，是整式的乘法，不是因式分解，故本项不符合题意； B. ， 该等式右边不是整式积的形式，故本项不符合题意； C. ，符合因式分解的定义，故本项符合题意； D. ，该等式右边含有分式，故本项不符合题意； 故选：C． 8. 某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为4米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端点升高了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形，过点作，垂足为D，根据垂直定义可得，再利用旋转的性质可得米，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为D， ∴， 由旋转得：， ∵， ∴， ∴栏杆A端升高了， 故选：A． 9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设规定时间为天，分别表示出慢马和快马的行驶时间与速度，根据“快马的速度是慢马的倍”这一等量关系列方程即可解答． 【详解】解：设规定时间为天， ∵慢马所需时间比规定时间多天， ∴慢马的行驶时间为天，慢马速度为， ∵快马所需时间比规定时间少天， ∴快马的行驶时间为天，快马速度为， 又∵快马的速度是慢马的倍， ∴可得方程 ，即选项B符合题意． 10. 在中，，，将按如图所示的方式依次折叠： 有下面四个结论：①平分；② ；③；④ 的周长等于的长．所有正确结论的序号为（ ） A. ①③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到，得到平分；于是得到故①正确；根据折叠的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到 ，根据折叠的性质得到，求得，得到，由，得到，故②错误；由，得到，根据三角形的外角的性质得到，故③正确；根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到 的周长，故④正确． 【详解】解：∵沿着直线折叠得到 ， ， 平分， ∴故①正确； ∵沿着直线折叠得到 ， ， ， ， ， ， ， ， ∵沿着折叠得到 ， ， ， ， ， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵是等腰直角三角形，， ， ， ∴ 的周长，故④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 港珠澳大桥全长约55公里，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海和澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥．下图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是__________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 本题考查的是三角形的性质的应用，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 【详解】解：港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 12. 剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图所示的剪纸是一副轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标是，则其关于轴的对称点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征；熟练掌握关于轴对称的两点的坐标特征是解题的关键．根据点关于轴对称作答即可； 【详解】解：因为点关于轴对称，点的坐标为 所以点的坐标为 故答案为： 13. 已知等式：，若括号内所填的式子记为A，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题关键．根据题意有，结合整式的混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 如图，点E，F在BC上，， ，相交于点G，若添加一个条件，可使得 ，则添加的条件可以是______． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定：添加条件使三角形全等，由全等三角形的判定方法，即可得到答案． 【详解】依题意，若添加条件是 ， ∴在和中， ， 使得 ， 则添加的条件可以是 （答案不唯一） 故答案为： （答案不唯一） 15. 如图，中，，于点D，的平分线分别交于E、F两点，M为的中点，的延长线交于点N，连，下列结论：①， ②，③，④其中正确结论的序号为_______（答案不全可适当得分，有错误答案不得分）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①根据等腰直角三角形的性质及角平分线的定义求得，继而可得，即可判断①； ②根据证明，即可判断②； ③根据证明可判断③； ④根据证明可判断④． 【详解】解：∵等腰中，， ∴， ，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，M为的中点， ∴ ， ∴， ∴， 在 和中 ， ∴， ∴， 故②正确； 连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； 在 和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形三线合一的性质，垂线段最短等知识，能正确证明两个三角形全等是解此题的关键． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算积的乘方，再根据多项式除以单项式的计算法则求解即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了整式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 17. 如图，点A，，，在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等．解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定与性质． 根据得到，结合，，，得到，即可得到证明． 【详解】证明：， ． 在 和中， ． ． 18. 先化简：，再从-1、0、1中选一个合适的x的值代入求值． 【答案】；取x=0，原式=1． 【解析】 【分析】先计算括号内分式的加法，再把除法化为乘法，约分后即可化简题目中的式子；再从-1，0，1中选择一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题． 【详解】解：原式= = •（x+1）（x-1） = x2+1， ∵x≠±1， ∴取x=0， 当x=0时，原式=1． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是根据分式的四则运算法则及运算顺序进行计算，易错点是没有考虑选取的x值应满足原分式有意义的条件． 19. 有两个正方形，，现将放在的内部如图甲，将，并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，求正方形，的面积之和． 【答案】3 【解析】 【分析】设正方形 A，B 的边长分别为，由几何图形得图甲中阴影部分为正方形，边长为，图乙中大正方形边长 ，根据图乙中阴影部分面积为，求出，再利用，利用整体代法入即可求解． 【详解】解：设正方形，的边长分别为，，则图甲中阴影部分面积为： 图乙中阴影部分面积为： ， 答：正方形，的面积之和为3． 20. 下面是小雅“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程． 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线PQ，使得PQ⊥l． 做法：如图， ①在直线l的异侧取一点K，以点P为圆心，PK长为半径画弧，交直线l于点A，B； ②分别以点A，B为圆心，大于AB的同样长为半径画弧，两弧交于点Q（与P点不重合）； ③作直线PQ，则直线PQ就是所求作的直线． 根据小雅设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵PA＝________，QA＝________， ∴PQ⊥l___________（填推理的依据）． 【答案】（1）见解析 （2）PB，QB；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【解析】 【分析】（1）根据题干提示的作图步骤完成作图即可； （2）根据线段的垂直平分线的判定定理进行解答即可． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 证明：∵PA=PB，QA=QB， ∴PQ⊥l （到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）． 故答案为PB，QB；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图与证明，掌握“作图步骤与理论原理”是解本题的关键． 21. 秋天是北京四季中最美的季节，深秋的北京香山更是景美如画，金代诗人周昂在《香山》中用诗句“山林朝市两茫然，红叶黄花白一川”描绘了香山红叶与黄花交相辉映的自然美景．小明和小亮都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去香山爬山赏景，挑战香炉峰．小明沿北线步道上山，小亮沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小明比小亮每小时少走，结果小明和小亮到达各自步道终点所用的时间之比是，求两人走完各自步道全程分别用了多少小时． 【答案】小明走完步道全程用了小时，小亮走完步道全程用了小时 【解析】 【分析】本题主要考查分式的运用，理解数量关系，掌握分式解实际问题的方法是解题的关键． 设小明走完步道全程用了小时，则小亮走完步道全程用了小时，由此列式求解即可． 【详解】解：设小明走完步道全程用了小时，则小亮走完步道全程用了小时， 可列方程：， 化简得：， ， 解得：， 检验：时，且 ∴原分式方程的解为， ∴， 答：小明走完步道全程用了小时，小亮走完步道全程用了小时． 22. 如图，在所给正方形网格图中完成下列各题，的三个顶点都在格点上（用无刻度的直尺画图）． （1）画出的中线； （2）作出关于直线对称的； （3）在直线上找到一点，使的值最小． 【答案】（1）作图见解析； （2）作图见解析； （3）作图见解析． 【解析】 【分析】（1）根据网格特点，找出中点，然后连接即可； （2）利用网格特点和轴对称的性质画出关于的对称点即可； （3）连接交于，利用得到，则根据两点之间线段最短可判断此时点满足条件； 本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，正确作出图形． 【小问1详解】 如图，找出中点，然后连接， ∴即为所求； 【小问2详解】 如图，利用网格特点和轴对称的性质画出关于的对称点， ∴即为所求； 【小问3详解】 如图， 连接交于，利用得到，则根据两点之间线段最短即可， ∴点即为所求． 23. 类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和 即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： （1）①已知，则依据此规律____； ②请你利用拆项法进行因式分解：_____； （2）若满足，求的值； （3）受此启发，解方程． 【答案】（1）①；②； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）①类比题材即可得解，②类比题材即可因式分解； （2）根据绝对值和偶次方的非负性得，，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解； （3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 【小问1详解】 解：①∵ ∴类比得， 故答案为：； ②， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵满足，即 ∴， ， 解得，， ∴， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程． 24. 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过点A作 于点D，过点B作 于点E，可以证明，我们将这个模型称为“一线三直角”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： （1）如图2，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为，C的坐标为，则点B的坐标为_______； （2）如图3，在平面直角坐标系中，等腰，与y轴交点D，点C的坐标为，A点的坐标为，求点B的坐标． （3）如图4，等腰，，当点C在x轴正半轴上运动，点在y轴正半轴上运动，点在第四象限时，作轴于点D，请直接写出a，m，n之间的关系． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角坐标系中点与线段之间的关系， 过点B作交直线于点D，利用“一线三直角”可证明，有，结合点的坐标得，根据即可求得点坐标； 过点B作 交于点E，由题意得，进一步利用证明，则结合即可求得点坐标； 过点B作 交于点E，则，根据点坐标得 ，，同理可证，，则，结合即可求得关系式． 【小问1详解】 解：过点B作交直线于点D，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵点A坐标为，C的坐标为， ∴， ∴， 则点B的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点B作 交于点E，如图， ∵点C的坐标为，A点的坐标为， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵ ， ∴， ∴ 则， 那么，点B的坐标； 【小问3详解】 解：过点B作 交于点E，如图， 则， ∵点在y轴正半轴上运动，点在第四象限， ∴ ，， 同理可证，， ∴， ∵， ∴， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $