精品解析：湖北省荆州市江陵县2024-2025学年八年级上学期期末质量监测数学试卷

2024－2025学年度上学期期末质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1.本试卷共三大题，25小题；试卷满分132分，考试时间120分钟． 2.本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上．解题中的辅助线和标注角的字母、符号等务必添在答题卡的图形上． 3.在答题卡上答题，选择题必须用2B铅笔填涂，非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔或黑色墨水钢笔作答． 祝考试顺利 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分） 1. “书法”是我国汉字特有的一种传统艺术，它是我国十大国粹之一．下面的“美”字分别采用楷书、行书、草书、篆书等四种不同字体书写而成，它们呈现出美的不同形态．其中符合轴对称美的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，理解定义，掌握图形结合分析思想是解题的关键． 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，符合题意；   故选： D． 2. 下列运算中，正确的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、单项式除以单项式、积的乘方，根据合并同类项、同底数幂的乘法、单项式除以单项式、积的乘方的运算法则逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、和不是同类项，不能直接合并，故原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算正确，符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 3. 下列各分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键，首先要把分子分母分解因式，然后进行约分． 最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：．是最简分式； B.，不符合题意； C.，不符合题意； D.，不符合题意； 故选A． 4. 如图，将一副三角板按如图所示的方式放置，图中等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角板中的角的度数和三角形的外角性质求得即可求解． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的外角性质、三角形板中角度计算，熟知三角板中各角的度数是解答的关键． 5. 如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得米，米，那么A，B间的距离不可能是（ ）． A. 5米 B. 8米 C. 27米 D. 18米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查构成三角形三边关系．根据题意利用两边之差小于第三边，两边之和大于第三边即可选出本题答案． 【详解】解：∵米，米， ∴，即：， 故选：C． 6. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线． 如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，过两把直尺的交点作，，由题意得出，从而得出平分，即可得解，熟练掌握角平分线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：如图所示：过两把直尺交点作，， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴， ∴平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：A． 7. 如图，点，在线段上，，，，要根据“”证明，则还需添加的一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知，，得出，由，得出，再添加一组直角边对应相等即可证明，据此即可求解． 【详解】∵，， ∴ ∵， ∴， 即， 添加， 在和中， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了证明三角形全等，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 8. 根据表格中的信息，y可能为（ ） x … －2 －1 0 1 2 … y … * 无意义 * －1 * … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据时，无意义可排除选项，再根据时，即可得． 【详解】解：当时，无意义， 选项不符合，可排除， 将代入得：，则选项符合， 将代入得：，则选项不符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的值和分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题关键． 9. 随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据时间=路程÷速度，结合乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟（小时），即可得出关于x的分式方程． 【详解】15分钟=小时 设乘公交车平均每小时走x千米，则电动汽车的平均速度是每小时走2.5x千米， 得： 故选D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 10. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点和，再分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点则下列结论：①是的角平分线；②点在线段的垂直平分线上；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键在于熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 由题意可知平分，求出，，利用直角三角形角的性质以及等腰三角形的判定和性质一一判断即可． 【详解】解：， 由作图过程可知：平分，故①正确； ∵ 点在的垂直平分线上，故②正确； ∴，故③正确； ， ，故④正确． 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分） 11. 如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】学校门口设置的移动拒马做成三角形的形状，利用三角形不变形即三角形的稳定性，从而可得答案． 【详解】解：学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 【点睛】本题考查的是三角形的稳定性是实际应用，掌握“三角形具有稳定性”是解本题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是_________． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得a、b的值，然后算出ab的值即可． 详解】∵点M（a，b）与点N（3，-1）关于x轴对称， ∴a=3，b=1， ∴ab=31=3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握关于x轴对称点的坐标特点． 13. 定义一种新运算：，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中所给新定义运算可分类进行求解． 【详解】解：由题意可知：当时，则， 解得：， 经检验当时，， ∴是原方程的解； 当时，则， 解得：， 经检验当时，， ∵， ∴不是原方程的解； 故答案为． 【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 14. 如图，已知，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，连接，若，的周长为，则的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图，基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握五种基本作图方法，是解答本题的关键． 由作图得：垂直平分，故，，然后利用等线段代换计算的周长，由此得到答案． 【详解】解：由作图得： 垂直平分， ，， 的周长为， ， ， 即， 的周长是： ， 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，如果，那么的度数为_____（用含的代数式表示）. 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，连接，，过作于，由， ，即可得出， 再根据直角三角形两个锐角互余可求得，又由垂直平分，即可得到 ，正确作出辅助线是解题的关键． 详解】解：如图，连接，，过作于， ∵点关于的对称点恰好落在上， ∴ 垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵垂直平分， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10题，共计87分） 16. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用提取公因式法和公式法进行因式分解． （1）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解； （2）先变形使两项含有相同公因式，提取公因式后再利用平方差公式继续分解． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 解： ． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算积的乘方，再根据多项式除以单项式的计算法则求解即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了整式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 18. 解下列分式方程： （1） （2） 【答案】(1)；（2）无解. 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法，熟练运用解法是正确解决本题的关键.要注意检验． 两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：（1） 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解； （2） 去分母得：， 解得：， 经检验是增根，分式方程无解． 19. 如图，点B、D、C、F在一条直线上，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，证明是解题的关键．根据证明得出，即可得出． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 20. 先化简，再从1、、中选一个你认为合适的的值代入求值：． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，根据分式的混合运算法则进行计算即可化简，再根据分式有意义的条件得出，代入进行计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： 　　　 ， ，， ，， 当时，． 21. 如图，是的高，、是的角平分线，且． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形外角的性质，三角形高的定义： （1）由角平分线的定义得到，由三角形高的定义得到，据此根据三角形内角和定理可得答案； （2）由三角形外角的性质求出，再由三角形内角和定理得到，接着由角平分线的定义得到，据此可得答案． 小问1详解】 解：平分，， ， 是的高， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， 平分， ， ． 22. 如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，，，． （1）画出关于轴的对称的（点与点对应，点与点对应，点与点对应），点的坐标为______. （2）求的面积. （3）在轴上找一点，使最小（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）见解析，； （2）； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、轴对称的性质、利用网格求三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用轴对称的性质画出，再由图形即可得出点的坐标； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）作点关于轴的对称点，和点连接，交轴于点，点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ， 由图可得：点坐标， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由图可得：； 【小问3详解】 解：如图，点即为所求 ． 23. 阅读与思考 为了使学生更好地理解乘法公式，数学课上赵老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． 理解应用 （1）根据图2中图形的面积，可以得到一个乘法公式． ①请你直接写出这个公式______； ②上面分析过程主要运用的数学思想是______． A．转化思想 B．分类讨论 C．统计思想 D．数形结合 （2）小华模仿赵老师的做法用边长为的正方形，长为，宽为1的长方形，长为宽为2的长方形，拼成如图3的图形，根据图3中图形的面积，写出将一个多项式因式分解的式子______． （3）若，，求的值． 【答案】（1）①，②D （2） （3）20 【解析】 【分析】（1）①由同一个图形面积的不同表示方法即可得乘法公式；②根据题意即可得用到的数学思想； （2）边长为的正方形，长为，宽为1的长方形，长为宽为2的长方形的面积为，还可表示为，即可得到答案； （3）由（1）知，即可得到，代入数值即可求得答案． 【小问1详解】 解：①由图形面积可表示为或，即可得到， 故答案为： ②上面分析过程主要运用的数学思想是数形结合， 故选：D 【小问2详解】 解：由图形可知，， 故答案为： 【小问3详解】 解：由（1）知，则， 即的值为20． 【点睛】此题考查了乘法公式和因式分解，数形结合是解题的关键． 24. 阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组证法如下： 证明：如图2，延长至，使， ∵是边上的中线，∴ 在和中， ∴（依据一），∴ 在中，（依据二）， ∴． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 任务： （1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：___________； 依据2：___________． （2）如图3，，则的取值范围是___________； （3）如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），三角形任意两边之和大于第三边 （2） （3），见解析 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理及三角形的三边关系解答即可； （2）延长至，使，连接，证明，得出，再利用三角形三边关系可得出答案； （3）延长至点M，使，连接，证明，得到，推出，由，，推出，证明，得到，即可得到． 【小问1详解】 依据1：； 依据2：三角形任意两边之和大于第三边； 故答案为：，三角形任意两边之和大于第三边； 【小问2详解】 解：如图，延长至，使，连接， ∵是边上的中线， ∴ 在和中， ∴（）， ∴ 在中，， ∴，即， ∴； 故答案为：； 【小问3详解】 与的数量关系为． 理由如下：如图2，延长至点M，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，不等式的性质，三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 25. 如图甲，在中，为锐角．点为射线上一动点，连结，以为一边且在的右侧作等腰直角三角形，，．解答下列问题： （1）如果，． ①当点在线段上时（与点不重合），如图甲，线段、之间的位置关系为______，数量关系为______；（不用证明） ②当点在线段的延长线上时，如图乙，①中的结论是否仍然成立？为什么？ （2）如果，，点在线段（与点不重合）上运动．试探究：当满足一个什么条件时，（点、重合除外）．你添加的这个条件是______． 【答案】（1）①，；②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论仍然成立，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考出来等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识． （1）①证明，得到，，进而证明，即可证明； ②证明，得到，，进而证明，即可证明； （2）添加条件，过点作交于点，先证明是等腰直角三角形，再证明，得到，即可得到，从而证明． 【小问1详解】 解：①与位置关系是，数量关系是． 理由：如图甲， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ， 又，， ， ，， ∵， ， ∴， 故答案为：，； ②当点在的延长线上时，①的结论仍成立， 如图乙， ∵，， ， ， 又，， ， ，， ∵，， ， ， ， 即； 【小问2详解】 解：如图丁所示， 当时，． 理由：过点作交延长线于点， ，， 即是等腰直角三角形， ∴， ∴， ， 又∵，， ， ， ， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度上学期期末质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1.本试卷共三大题，25小题；试卷满分132分，考试时间120分钟． 2.本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上．解题中的辅助线和标注角的字母、符号等务必添在答题卡的图形上． 3.在答题卡上答题，选择题必须用2B铅笔填涂，非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔或黑色墨水钢笔作答． 祝考试顺利 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分） 1. “书法”是我国汉字特有的一种传统艺术，它是我国十大国粹之一．下面的“美”字分别采用楷书、行书、草书、篆书等四种不同字体书写而成，它们呈现出美的不同形态．其中符合轴对称美的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（ ）. A. B. C D. 3. 下列各分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将一副三角板按如图所示的方式放置，图中等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为了估计池塘两岸A，B间距离，在池塘的一侧选取点P，测得米，米，那么A，B间的距离不可能是（ ）． A. 5米 B. 8米 C. 27米 D. 18米 6. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线． 如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 7. 如图，点，在线段上，，，，要根据“”证明，则还需添加的一个条件是（ ） A. B. C. D. 8. 根据表格中的信息，y可能为（ ） x … －2 －1 0 1 2 … y … * 无意义 * －1 * … A. B. C. D. 9. 随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（ ） A B. C. D. 10. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点和，再分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点则下列结论：①是的角平分线；②点在线段的垂直平分线上；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分） 11. 如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是________． 12. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是_________． 13. 定义一种新运算：，若，则的值为______． 14. 如图，已知，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，连接，若，的周长为，则的周长是______． 15. 如图，在四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，如果，那么的度数为_____（用含的代数式表示）. 三、解答题（本大题共有10题，共计87分） 16. 因式分解： （1） （2） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解下列分式方程： （1） （2） 19. 如图，点B、D、C、F一条直线上，，求证：． 20. 先化简，再从1、、中选一个你认为合适的的值代入求值：． 21. 如图，是的高，、是的角平分线，且． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 22. 如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，，，． （1）画出关于轴的对称的（点与点对应，点与点对应，点与点对应），点的坐标为______. （2）求的面积. （3）在轴上找一点，使最小（保留作图痕迹，不写作法）． 23. 阅读与思考 为了使学生更好地理解乘法公式，数学课上赵老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． 理解应用 （1）根据图2中图形的面积，可以得到一个乘法公式． ①请你直接写出这个公式______； ②上面分析过程主要运用的数学思想是______． A．转化思想 B．分类讨论 C．统计思想 D．数形结合 （2）小华模仿赵老师的做法用边长为的正方形，长为，宽为1的长方形，长为宽为2的长方形，拼成如图3的图形，根据图3中图形的面积，写出将一个多项式因式分解的式子______． （3）若，，求的值． 24. 阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至，使， ∵是边上的中线，∴ 在和中， ∴（依据一），∴ 在中，（依据二）， ∴． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 任务： （1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：___________； 依据2：___________． （2）如图3，，则的取值范围是___________； （3）如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由． 25. 如图甲，在中，为锐角．点为射线上一动点，连结，以为一边且在的右侧作等腰直角三角形，，．解答下列问题： （1）如果，． ①当点在线段上时（与点不重合），如图甲，线段、之间的位置关系为______，数量关系为______；（不用证明） ②当点在线段的延长线上时，如图乙，①中的结论是否仍然成立？为什么？ （2）如果，，点在线段（与点不重合）上运动．试探究：当满足一个什么条件时，（点、重合除外）．你添加的这个条件是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$