专题07定义 命题 证明 期末复习讲义（14大核心题型精讲+重点知识全归纳）-2025-2026学年苏科版数学七年级下册.

专题07定义 命题 证明期末复习讲义 期末复习◆重点 掌握定义、命题的基本概念，明确只有判断性陈述句是命题，其余语句均不属于命题。 熟记命题由条件和结论两部分组成，均可改写为“如果……那么……”的规范形式，能够准确区分命题的条件部分与结论部分。 能正确区分真命题与假命题，可通过举反例的方法判定假命题，满足条件但不满足结论的例子即为反例。 明晰基本事实与定理的定义区别，基本事实为公认的真命题，定理为经过证明的真命题，二者均可作为几何推理的依据。 证明是依据定义、基本事实、定理进行的逻辑推理过程。几何证明要求步骤完整、推理有据、逻辑严密，不得随意跳步。 核心题型◆归纳 题型1.定义 题型2.判断是否是命题 题型3.写出命题的题设与结论 题型4.判断命题真假 题型5.举例说明假（真）命题 题型6.写出命题的逆命题 题型7.判断是否为互逆命题 题型8.代数问题证明 题型9.写出一个命题的已知、求证及证明过程 题型10.已知证明过程填写理论依据 题型11.以几何为背景的推理与论证 题型12.以代数为背景的推理与论证 题型13.定理与证明 题型14.互逆定理 重点知识◆梳理 【知识点一、定义】 ✅对名称或术语的含义进行描述或作出明确规定，即为该名称或术语的定义。 要点提示： 1.定义表述必须严密规范，不得使用“一些”“大概”“差不多”等模糊性词语。 2.定义能够准确反映被定义事物或名词的本质属性，区分同类与不同类事物。 3.定义是几何说理的重要依据，兼具判定功能与性质功能，既可用于判定图形关系，也可由图形条件推出对应性质。 【知识点二、命题】 命题概念：能够判断一件事情对错的语句，叫做命题。 命题组成：命题由条件（题设）和结论两部分构成。条件是已知的前提事项，结论是由已知条件推理得出的结果。 命题形式：命题均可改写为“如果……，那么……”的规范形式。“如果”后接命题的条件，“那么”后接命题的结论。部分命题条件、结论较为隐蔽，可通过语句变形整理为标准形式。 命题分类 类型 定义 判定方法 真命题 条件成立时，结论一定成立的命题 经过推理证明，验证结论始终成立 假命题 条件成立时，结论不一定成立或不成立的命题 只需举出一个符合条件、不符合结论的反例即可判定 （1）真命题：条件成立时，结论一定成立的命题。 （2）假命题：条件成立时，结论不一定成立或不成立的命题。 反例：符合命题的条件，但不满足命题结论的实例叫做反例。在数学中，只需举出一个反例，即可证明该命题为假命题。 【知识点三、证明与定理】 证明概念：依据已知的正确命题，通过逻辑推理确定某一命题真实性的过程，叫做证明。 定理概念：经过严格推理证明为正确的真命题，称为定理。定理具有普遍正确性，可作为后续几何推理、证明、计算的依据。 几何命题证明一般步骤： （1）根据命题题意，准确画出对应几何图形； （2）结合图形与命题内容，规范写出已知条件和求证结论； （3）依据定义、基本事实、定理，逐步严谨书写推理证明过程。 【知识点四、基本事实与定理】 类别 核心特点 是否需要证明 作用 基本事实 公认正确的原始真命题 无需证明 几何推理的原始依据 定理 经过严谨推理验证的真命题 需要证明 可直接用于推理、证明、角度计算 ★基本事实是无需证明、被公认正确的真命题，是几何推理的原始依据。 基本事实与定理均可作为几何证明的推理依据。 【知识点五、互逆命题与互逆定理】 1.互逆命题：若两个命题中，一个命题的条件是另一个命题的结论，且一个命题的结论是另一个命题的条件，则这两个命题互为互逆命题。 其中任意一个命题称为原命题，另一个即为它的逆命题。数学中，任意一个命题都有逆命题，只需将原命题的条件与结论互换即可得到。 2.互逆定理：若一个定理的逆命题经过逻辑证明为真命题，则该逆命题也是一个定理，这两个定理互为互逆定理。 ★注意：定理的逆命题不一定为真命题，因此并非所有定理都存在逆定理。 对比项目 互逆命题 互逆定理 前提条件 仅互换两个命题的条件与结论，无真假要求 原命题与逆命题均为真命题，且均为经过证明的定理 命题真假性 原命题为真，逆命题可真可假 两个命题必然均为真命题 存在性特点 一切命题都存在对应的逆命题 只有逆命题为真的定理，才有对应逆定理 3. 经典必考实例 （1）互为互逆定理（双真） 原定理：两直线平行，内错角相等； 逆定理：内错角相等，两直线平行。 两个命题均为真命题且均为定理，属于互逆定理。 （2）有逆命题、无逆定理（逆命题为假） 原定理：对顶角相等（真命题、定理）； 逆命题：相等的角是对顶角（假命题）。 因逆命题不成立，故该定理无逆定理。 4.核心解题规律 命题的真假性与逆命题的真假性无必然关联，原命题为真，逆命题未必为真； 原命题为假，逆命题未必为假。 判定互逆定理的核心条件：二者互为逆命题，且原命题、逆命题均为可证明的真定理。 题型解析◆精准备考 题型1.定义 1．下列描述属于定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．对顶角相等 C．垂线段最短吗 D．含有未知数的等式叫做方程 【答案】D 【详解】解：选项A、两点确定一条直线，不是定义，不符合题意； 选项B、对顶角相等，不是定义，不符合题意； 选项C、垂线段最短吗，不是定义，不符合题意； 选项D、含有未知数的等式叫做方程，是定义，符合题意． 2．下列定义不合理的是_______（填序号）． ①能被2整除的整数叫作“偶数”； ②能写成（n是整数）的数叫作“偶数”； ③1，3，5，7，……叫作“单数”； ④两个数的所有公约数中比较大的公约数叫作“大公约数”． 【答案】③④ 【分析】本题主要考查定义的相关知识，根据偶数、奇数、最大公约数的定义解答即可． 【详解】解：①能被2整除的整数叫作“偶数”，正确； ②能写成（n是整数）的数叫作“偶数”，正确； ③1，3，5，7，……叫作“奇数”，故原说法不合理； ④两个数的所有公约数中最大的公约数叫作“最大公约数”，故原说法不合理； 故答案为：③④． 3．下面各个命题中，定义为（   ） A．两点之间，线段最短 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在正数前加上符号“”的数叫作负数 D．今天的天气很好 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题的概念理解，分清定义与性质的区别是解题的关键．根据线段的性质，垂线的性质，负数的定义，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、两点之间，线段最短，是性质不是定义，不符合题意； B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是性质不是定义，不符合题意； C、在正数前加上符号“”的数叫作负数，是定义，符合题意； D、今天的天气很好，不是定义，不符合题意； 故选：C． 题型2判断是否是命题 1．下列语言叙述是命题的是（   ） A．赶紧写作业！ B．你喜欢陇南吗？ C．画一条端点为A的射线 D．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 【答案】D 【分析】命题是对某一事件作出判断的语句，据此对各选项逐一判断即可. 【详解】解：A、赶紧写作业！是祈使句，未对事件作出判断，不是命题； B、你喜欢陇南吗？是疑问句，未对事件作出判断，不是命题； C、画一条端点为A的射线，是操作指令，未对事件作出判断，不是命题； D、《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军，对该事件作出了明确判断，是命题. 2．有下列语句：①植物生长都需要水；②负数大于正数；③零既不是正数，也不是负数；④画直角三角形；⑤因为，所以．其中，是命题的是_______（填序号）． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查命题的判断，根据命题的定义，对某一事件作出判断的语句叫做命题，逐一进行判断即可． 【详解】解：植物生长都需要水，是命题，故①符合题意； 负数大于正数，是命题，故②符合题意； 零既不是正数，也不是负数，是命题，故③符合题意； 画直角三角形，不是命题，故④不符合题意； 因为，所以，是命题，故⑤符合题意； 故答案为：①②③⑤． 3．有下列语句：①作直线的垂线；②相等的角是对顶角；③是无理数吗？④两直线平行，内错角相等． (1)以上语句中，属于命题的有：__________，真命题是__________，假命题是__________（填序号）； (2)把真命题改写为“如果……那么……”的形式：__________．其中，题设是__________，结论是__________． 【答案】(1)②④；④；②； (2)见解析 【分析】本题考查了命题的判断及改写，真假命题的判定，掌握命题的判定和改写方法是关键． （1）根据命题的定义：能够判断其真假的陈述句被称为命题；真假命题的定义依次判断即可； （2）根据真命题的改写形式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：①作直线的垂线，不是命题； ②相等的角是对顶角，是命题；相等的角不一定是对顶角，是假命题； ③是无理数吗？，不是命题； ④两直线平行，内错角相等，是命题；是真命题； 故答案为：②④；④；②； （2）④两直线平行，内错角相等改写为“如果……那么……”的形式： 如果两条直线平行，那么内错角相等； 题设是两条直线平行，结论是内错角相等． 题型3.写出命题的题设与结论 1．命题“两直线平行，内错角相等”中的“内错角”（   ） A．是题设 B．既是题设，也是结论 C．是结论 D．既不是题设，也不是结论 【答案】D 【分析】先将原命题改写为“如果…那么…”的形式，区分出完整题设和结论，再判断“内错角”的属性 【详解】解：将原命题改写为“如果两直线平行，那么内错角相等”， 命题中，“如果”引出的部分是题设，“那么”引出的部分是结论， ∵ 完整题设为“两直线平行”，完整结论为“内错角相等”， ∴ “内错角”只是结论中的部分名词，既不是完整题设，也不是完整结论， 因此选D 2．将命题“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式：如果_____，那么______． 【答案】 两个角是邻补角 这两个角互补 【详解】解：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项， 因此将命题“邻补角互补”改写为“如果……那么……”的形式为：如果两个角是邻补角，那么这两个角互补． 3．如图，有三个论断： ①；②；③． (1)如果以①和②作为题设，③作为结论，请你写出该命题，并判断该命题是真命题还是假命题； (2)若（1）中的命题为真命题，请你完成证明过程；若为假命题，请你说明理由． 【答案】(1)若，则，此命题为真命题； (2)见解析 【分析】（1）根据题意写出命题； （2）根据平行线的判定和性质证明结论即可． 【详解】（1）解：若，则，此命题为真命题； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型4.判断命题真假 1．下列命题中，是真命题的是（） A．若，则， B．若，则， C．若，则且 D．若，则或 【答案】D 【分析】根据有理数乘法的符号法则和乘积为0的性质，逐一判断各命题真假即可． 【详解】解：根据有理数乘法法则：两个非零数相乘，同号得正，异号得负，若乘积为0，则至少有一个因数为0， 当时，，但，A不是真命题； 若，则异号，即一个为正一个为负，并非都小于0，B不是真命题； 当时，，但，C不是真命题； 若，根据乘法性质可得至少一个因数为0，即或，D是真命题． 2．命题“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行”是__________命题．（填“真”或“假”） 【答案】 假 【分析】根据平行公理，同一平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题未对该点的位置进行限制，据此判断命题真假即可． 【详解】解：平行公理为，同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 若原命题中的点在已知直线上，则不存在过该点且与已知直线平行的直线，因此原命题不成立，是假命题． 3．如图，有三个论断：①，②，③ (1)如果以①和②作为题设，③作为结论，请你写出该命题__________ (用文字写出)，该命题是__________命题 (选填“真”或“假”) (2)若（1）中的命题为真命题，请你完成证明过程；若为假命题，请你说明理由．已知__________，求证__________ 【答案】(1)若，则；真 (2)； 证明：， ， ， ， ， ， 又， ． 【分析】（1）选择①和②为题设，③作为结论写出对应的命题，再判断真假即可； （2）写出已知和求证，结合平行线的性质与判定条件证明即可． 【详解】（1）略 （2） 略． 题型5.举例说明假（真）命题 1．下列命题中是假命题的是（     ） A．两直线平行，内错角相等 B．邻补角相等 C．垂线段最短 D．一个钝角与锐角的差可能是锐角 【答案】B 【详解】解：A、 两直线平行，内错角相等是平行线的性质定理，是真命题； B 、邻补角满足和为，仅互补不一定相等，因此“邻补角相等”是假命题； C 、垂线段最短是垂线的基本性质，是真命题； D 、举例，钝角，锐角，差为是锐角，命题成立，是真命题. 2．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为________，________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】只需找到满足，但不满足的一组实数即可． 【详解】解：当，时，满足条件， 此时，，可得，不满足， 因此，可以说明该命题是假命题． 3．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． (1)两条直线被第三条直线所截，内错角相等． (2)如果，那么． (3)两个钝角的和一定大于180°． (4)异号两数相加和为零． 【答案】(1)是假命题，反例见解析（答案不唯一） (2)是假命题，反例见解析（答案不唯一） (3)是真命题 (4)是假命题，反例见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的性质，绝对值的意义，钝角的定义以及有理数的加法法则，分析题目是否为真命题，需要分别分析各题是否能推出结论，从而作出判断． （1）缺少“两直线平行”的前提条件； （2）绝对值表示一个数到原点的距离，当两个数绝对值相等时，它们可能相等，也可能互为相反数； （3）通过“钝角是大于小于的角”即可判断为真命题； （4）举出绝对值不等的异号两数相加的例子即可判断． 【详解】（1）是假命题，两条相交直线被第三条直线所截，形成的内错角不一定相等． （2）是假命题，如，但． （3）是真命题．每一个钝角都大于，故两个钝角的和一定大于． （4）是假命题，如和2异号，但． 题型6.写出命题的逆命题 1．下列命题的逆命题正确的是（    ） A．同角的补角相等 B．关于某条直线对称的两个图形是全等形 C．等角的余角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】D 【分析】先将原命题改写成“如果…那么…”的形式，互换题设和结论得到逆命题，再根据相关几何概念和定理逐一判断逆命题的真假即可． 【详解】A项：原命题为“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”，逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角”，也可能是等角的补角，故逆命题错误； B项：原命题为“如果两个图形关于某条直线对称，那么这两个图形是全等形”，逆命题为“如果两个图形是全等形，那么这两个图形关于某条直线对称”，全等图形位置任意，不一定关于某条直线对称，逆命题错误； C项：原命题为“如果有两个角是相等的角的余角，那么它们相等”，逆命题为“如果有两个角相等，那么这两个角是相等的角的余角”，也可能是同角的余角，故逆命题错误； D项：原命题为“如果两条直线平行，那么同旁内角互补”，逆命题为“如果同旁内角互补，那么两条直线平行”，这是平行线的判定定理，逆命题正确． 2．请写出命题“如果，那么”的逆命题：________． 【答案】如果，那么 【详解】解：原命题的题设为，结论为， 交换原命题的题设与结论，可得逆命题为：如果，那么． 3．写出下列命题的逆命题，并判断真假． (1)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)末位数是0或5的整数能被5整除． 【答案】(1)逆命题：在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线是真命题． (2)逆命题：能被5整除的整数，其末位数是0或5是真命题 【分析】本题考查了真假命题及互逆命题的定义，解题的关键是理解命题、逆命题、否命题和逆否命题的定义及其性质； 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．判断事物的语句叫命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；先写个逆命题然后判断它的真假． 【详解】（1）逆命题：在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线， 判断：根据平行线的性质，如果两条直线在同一平面内平行，那么它们与第三条直线的夹角是相等的．若这两条平行线都与第三条直线垂直，则它们与第三条直线的夹角都是，满足条件．因此，逆命题是真命题． （2）逆命题：能被5整除的整数，其末位数是0或5， 判断：根据整数的性质，一个整数如果能被5整除，那么它的末位数只能是0或5，因此逆命题是真命题． 题型7.判断是否为互逆命题 1．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 2．命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是__________命题． 【答案】互逆 【分析】根据互逆命题的定义直接得出的答案，在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题， 故答案为：互逆 【点睛】本题考查了互逆命题的定义，理解定义是解题的关键． 3．回答以下问题 (1)如图，点A、B、C、D在一条直线上，填写下列空格： ∵（已知）， ∴ （ ）． ∵（已知）， ∴ （ ）， ∴ （ ）． (2)说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】(1)1；两直线平行，内错角相等；1；等量代换；；；内错角相等，两直线平行 (2)两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】（1）根据平行线的性质，得出，证明，根据平行线的判定，得出答案即可； （2）根据互逆命题的定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． （3） 解：“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行” 是互逆的真命题． 题型8.代数问题证明 1．证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 【答案】见解析 【分析】根据逆否命题以及完全平方公式进行判断即可． 【详解】证明：设整数个位数为5，可表示为， ∴， 因此，这个整数平方的个位数为5， ∴如果一个数的个位数是5，那么这个数的平方的个位数是5为真命题， ∴一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 2．请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)若，则； (2)对于任意实数，一定有； (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 【答案】(1)假命题， 反例： 当时， ，， ∴结论不成立； (2)假命题， 反例： 当时， ， ∴结论不成立； (3)真命题， 证明： 设两个连续的正奇数为，（为正整数）， 则 ∵为正整数， ∴是8的倍数， ∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)假命题， 反例： 当四边形为等腰梯形时结论不成立． 【分析】本题考查了真命题与假命题．熟练掌握真命题与假命题的定义是解题的关键．题设成立结论也成立的命题叫做真命题，题设成立结论不成立的命题叫做假命题．判断一个命题是真命题通常由已知条件出发，经过一步步推理，最后推出结论正确；要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例（具备命题的条件，不具备命题的结论的例子）即可 根据真命题和假命题的定义判断并说明即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 3．证明：两个奇数之和是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查证明，设两个奇数分别为，，其中，为整数，进而得到，即可得证． 【详解】证明：设两个奇数分别为，，其中，为整数，则 ． 因为，，都为整数， 所以为整数． 所以是偶数． 所以两个奇数之和是偶数． 题型9.写出一个命题的已知、求证及证明过程 1．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 2．要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例． 【答案】 证明 举反例 结论 【分析】根据根据证明的概念和举反例的概念直接填空即可．． 【详解】解：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例． 故答案为：证明；举反例；结论． 【点睛】本题主要考查了证明和举反例的概念，熟知相关知识是解题的关键． 3．如图，①，②，③，请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题， (1)正确的命题有 个． (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【答案】(1)3 (2)解：如图： 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．（三选一即可） 【分析】（1）利用平行线的判定和性质，进行判定即可； （2）利用平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】（1）解：从①，②，③请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题，共可组成三个命题，均为真命题， 即正确的命题有3个； （2） 略 题型10.已知证明过程填写理论依据 1．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 2．有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 【答案】①②③④⑤⑦ 【分析】本题考查了定理与证明，熟练掌握定理与证明的特性是解题的关键； 先明确推理依据的定义，在逐项分析所给各项是否符合推理依据的要求，最后统计符合条件的个数即可. 【详解】解：推理依据是指在数学推理过程中，无需证明即可直接使用的确定事实，包括公认的基本事实、学过的定义、性质、定理、公理以及题目中给出的已知条件等. ①公理：公理是经过人类长期反复实践检验，不需要再加证明的基本命题，是推理依据； ②已学定理：定理是经过证明的真命题，是推理依据； ③定义：定义是对事物本质特征的描述，是明确概念的依据，是推理依据； ④等量代换：等量代换是基本的逻辑规则，即如果两个量相等，那么它们可以互相替换，是推理依据； ⑤不等式的性质： 不等式的性质是经过证明的，如不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变等，是推理依据； ⑥度量结果：度量结果可能因测量工具、方法等因素存在误差，不是确定的已知事实，不能作为推理依据； ⑦已知条件：题目中给出的已知条件是推理的起点，是推理依据； ⑧正确的观察结果： 观察结果可能受主观或客观因素影响，不是绝对可靠的确定事实，不能作为推理依据； ⑨猜测结果：猜测结果没有经过证明，不具有确定性，不能作为推理依据； 故答案为：①②③④⑤⑦ ． 3．填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 【答案】对顶角相等；等式的基本事实；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】证明： ∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 题型11.以几何为背景的推理与论证 1．《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 【答案】D 【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想 故选：D． 【点睛】本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解． 2．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 【答案】 【分析】此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，，由在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，可设，继而求得，以及的面积，则可求得的面积，然后由等高三角形面积的比等于其对应底的比，求得答案． 【详解】解：根据题意，， 如图所示，连接， 设， 在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点， ，，， ， 设点到的高为，点到的高为， ∴， ∴， ， ， 又， ，， ， 故答案为：． 3．如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 【答案】一样大，理由见解析 【分析】本题考查猜想和验证，求圆的周长，设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r，根据圆的周长公式进行计算，判断即可． 【详解】解：设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r， 则． 10个小圆周长，2个小圆周长． 所以它们的周长一样大． 题型12.以代数为背景的推理与论证 1．当n是正整数时，一定是（   ）． A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是熟练掌握奇数与偶数的积为偶数．分n是偶数与奇数两种情况分析，同时结合奇数与偶数的积的特征即得结果． 【详解】当n是偶数时，是奇数，而偶数×奇数=偶数，偶数+奇数=奇数，则此时一定是奇数， 当n是奇数时，是偶数，而奇数×偶数=偶数，偶数+奇数=奇数，则此时一定是奇数， 故选A． 2．小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，图表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为______． 日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 低强度 8 6 6 5 4 高强度 12 13 14 12 8 休息 0 0 0 0 0 【答案】 35 【分析】根据题意，按照“选择高强度要求前一天必须休息”的规则，枚举所有符合要求的徒步方案，计算每种方案的总徒步距离，比较后得到最远距离. 【详解】解：枚举所有符合规则的方案，计算总距离如下： 当安排2次高强度，第1天高强度、第3天高强度时，总距离为： 当安排2次高强度，第1天高强度、第4天高强度时，总距离为： 当安排2次高强度，第1天高强度、第5天高强度时，总距离为： 当安排2次高强度，第2天高强度、第4天高强度时，总距离为： 其余方案的总距离均小于， 比较得最远距离为. 3．在有16支球队参赛的足球甲级联赛中，每两支球队之间一个赛季要进行2场比赛，每支球队一个赛季要赛满30场球赛．比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．赛季结束，积分排第1的获得冠军，积分排第2的获得亚军，…，积分排第15和第16名的球队要降级（下赛季不能参加甲级联赛，只能参加乙级联赛）．某赛季第27轮比赛结束时，部分球队的积分排名如下表： 球队 积分 排名 甲队 42 1 乙队 40 2 … … … A队 16 13 B队 16 13 C队 16 13 D队 16 13 (1)已知该赛季第27轮比赛结束时，甲队负了11场． ①求此时甲队胜、平各多少场？ ②此时乙队的负场数能否比甲队的负场数多？请说明理由； (2)在各队最后3场比赛中，A、B、C、D四队的比赛全部在这四个队之间进行，已知最后3场比赛A队得5分，B队一场未负得3分，A队胜C队，C队胜D队，则哪两队会被降级？为什么？ 【答案】(1)①甲队胜13场，平3场； ②解：此时乙队的负场数能比甲队的负场数多，理由如下： 设此时乙队胜场、平场、负场． 根据题意，得， ①②，得，即， 若，则，即， ， ，即， ， 为非负整数， ． 将代入①、②可得； 此时乙队的负场数能比甲队的负场数多，即乙队胜13场、平1场、负13场． (2)解：B、D两队被降级，理由如下： 根据最后3场比赛A队得5分可知，A队的比赛结果是1胜，2平； 根据最后3场比赛B队一场未负得3分可知，B队的比赛结果是3平； ∵A队胜C队， ∴A队平B队，A队平D队， ∵C队胜D队，C队平B队，C队负A队， ∴C队得4分， ∵D队平B队，D队平A队，D队负C队， ∴D队得2分， ∵A队得分C队得分队得分D队得分， ∴B、D两队被降级． 【分析】（1）①根据积分问题列出二元一次方程组，求解即可；②根据积分问题列出三元一次方程组，求解即可； （2）根据积分问题进行推理即可； 【详解】（1）解：①设此时甲队胜场，平场， 根据题意，得， 解得， 答：此时甲队胜13场，平3场； ②略 （3） 略 题型13.定理与证明 1．命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据命题、定理、基本事实的概念，逐一判断四个说法的正误即可解答． 【详解】解：∵基本事实是经过实践检验公认的真命题， ∴①正确； ∵定理是依据基本事实、定义等，经过推理证明得到的真命题， ∴②正确； ∵并不是所有真命题都是基本事实，只有公认的作为推理依据的真命题才是基本事实， ∴③错误； ∵只有经过证明，可作为推理依据的真命题才是定理，并非所有真命题都是定理， ∴④错误； 综上，正确的说法有2个． 2．用___________的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 【答案】推理 【分析】根据定理的定义进行求解即可． 【详解】解：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 故答案为：推理． 【点睛】本题主要考查了定理的定义，熟知定理的定义是解题的关键． 3．写出四个数学名词的定义． 【答案】答案不唯一，见解析 【分析】结合所学的数学知识，写出4个数学名词概念即可． 【详解】（1）二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程； （2）因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解； （3）一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程； （4）点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 【点睛】本题考查对数学名词的概念，解题的关键是熟记其定义． 题型14.互逆定理 1．下列说法错误的是（    ） A．一个真命题的逆命题可能是真命题 B．一个定理不一定有逆定理 C．任何一个定理都有逆定理 D．若，则的逆命题是若，则 【答案】C 【详解】解：∵选项A中，真命题的逆命题可能为真，例如“两直线平行，同位角相等”的逆命题也为真，∴A说法正确． ∵“对顶角相等”是定理，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，该定理没有逆定理，∴一个定理不一定有逆定理，B说法正确． ∵举例“对顶角相等”是定理，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，该定理没有逆定理，因此不是任何定理都有逆定理，∴C说法错误． ∵原命题“若，则”交换条件和结论得到逆命题“若，则”，与D描述一致，∴D说法正确． 2．写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理：__________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】将原定理的题设与结论交换位置即可得到原定理的逆定理． 【详解】解：定理“两直线平行，同位角相等”中，题设为两直线平行，结论为同位角相等，故原定理的逆定理为“同位角相等，两直线平行”． 3．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． (1)等腰三角形的两个底角相等． (2)内错角相等，两直线平行． (3)对顶角相等． 【答案】(1)有逆定理，逆定理为：两个底角相等的三角形是等腰三角形 (2)有逆定理，逆定理为：两直线平行，内错角相等 (3)没有逆定理 【分析】先写出对应命题的逆命题，然后判断真假即可得到答案． 【详解】（1）解：命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题为“两个角相等的三角形是等腰三角形”，是真命题，故定理“等腰三角形的两个底角相等”有逆定理； （2）解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题为“两直线平行，内错角相等”，是真命题，故定理“内错角相等，两直线平行”有逆定理； （3）解：命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题， 故定理“对顶角相等”没有逆定理． 【点睛】本题主要考查了互逆命题和互逆定理，正确写出每个命题的逆命题并判断真假是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07定义 命题 证明 期末复习讲义 期末复习◆重点 掌握定义、命题的基本概念，明确只有判断性陈述句是命题，其余语句均不属于命题。 熟记命题由条件和结论两部分组成，均可改写为“如果……那么……”的规范形式，能够准确区分命题的条件部分与结论部分。 能正确区分真命题与假命题，可通过举反例的方法判定假命题，满足条件但不满足结论的例子即为反例。 明晰基本事实与定理的定义区别，基本事实为公认的真命题，定理为经过证明的真命题，二者均可作为几何推理的依据。 证明是依据定义、基本事实、定理进行的逻辑推理过程。几何证明要求步骤完整、推理有据、逻辑严密，不得随意跳步。 核心题型◆归纳 题型1.定义 题型2.判断是否是命题 题型3.写出命题的题设与结论 题型4.判断命题真假 题型5.举例说明假（真）命题 题型6.写出命题的逆命题 题型7.判断是否为互逆命题 题型8.代数问题证明 题型9.写出一个命题的已知、求证及证明过程 题型10.已知证明过程填写理论依据 题型11.以几何为背景的推理与论证 题型12.以代数为背景的推理与论证 题型13.定理与证明 题型14.互逆定理 重点知识◆梳理 【知识点一、定义】 ✅对名称或术语的含义进行描述或作出明确规定，即为该名称或术语的定义。 要点提示： 1.定义表述必须严密规范，不得使用“一些”“大概”“差不多”等模糊性词语。 2.定义能够准确反映被定义事物或名词的本质属性，区分同类与不同类事物。 3.定义是几何说理的重要依据，兼具判定功能与性质功能，既可用于判定图形关系，也可由图形条件推出对应性质。 【知识点二、命题】 命题概念：能够判断一件事情对错的语句，叫做命题。 命题组成：命题由条件（题设）和结论两部分构成。条件是已知的前提事项，结论是由已知条件推理得出的结果。 命题形式：命题均可改写为“如果……，那么……”的规范形式。“如果”后接命题的条件，“那么”后接命题的结论。部分命题条件、结论较为隐蔽，可通过语句变形整理为标准形式。 命题分类 类型 定义 判定方法 真命题 条件成立时，结论一定成立的命题 经过推理证明，验证结论始终成立 假命题 条件成立时，结论不一定成立或不成立的命题 只需举出一个符合条件、不符合结论的反例即可判定 （1）真命题：条件成立时，结论一定成立的命题。 （2）假命题：条件成立时，结论不一定成立或不成立的命题。 反例：符合命题的条件，但不满足命题结论的实例叫做反例。在数学中，只需举出一个反例，即可证明该命题为假命题。 【知识点三、证明与定理】 证明概念：依据已知的正确命题，通过逻辑推理确定某一命题真实性的过程，叫做证明。 定理概念：经过严格推理证明为正确的真命题，称为定理。定理具有普遍正确性，可作为后续几何推理、证明、计算的依据。 几何命题证明一般步骤： （1）根据命题题意，准确画出对应几何图形； （2）结合图形与命题内容，规范写出已知条件和求证结论； （3）依据定义、基本事实、定理，逐步严谨书写推理证明过程。 【知识点四、基本事实与定理】 类别 核心特点 是否需要证明 作用 基本事实 公认正确的原始真命题 无需证明 几何推理的原始依据 定理 经过严谨推理验证的真命题 需要证明 可直接用于推理、证明、角度计算 ★基本事实是无需证明、被公认正确的真命题，是几何推理的原始依据。 基本事实与定理均可作为几何证明的推理依据。 【知识点五、互逆命题与互逆定理】 1.互逆命题：若两个命题中，一个命题的条件是另一个命题的结论，且一个命题的结论是另一个命题的条件，则这两个命题互为互逆命题。 其中任意一个命题称为原命题，另一个即为它的逆命题。数学中，任意一个命题都有逆命题，只需将原命题的条件与结论互换即可得到。 2.互逆定理：若一个定理的逆命题经过逻辑证明为真命题，则该逆命题也是一个定理，这两个定理互为互逆定理。 ★注意：定理的逆命题不一定为真命题，因此并非所有定理都存在逆定理。 对比项目 互逆命题 互逆定理 前提条件 仅互换两个命题的条件与结论，无真假要求 原命题与逆命题均为真命题，且均为经过证明的定理 命题真假性 原命题为真，逆命题可真可假 两个命题必然均为真命题 存在性特点 一切命题都存在对应的逆命题 只有逆命题为真的定理，才有对应逆定理 3. 经典必考实例 （1）互为互逆定理（双真） 原定理：两直线平行，内错角相等； 逆定理：内错角相等，两直线平行。 两个命题均为真命题且均为定理，属于互逆定理。 （2）有逆命题、无逆定理（逆命题为假） 原定理：对顶角相等（真命题、定理）； 逆命题：相等的角是对顶角（假命题）。 因逆命题不成立，故该定理无逆定理。 4.核心解题规律 命题的真假性与逆命题的真假性无必然关联，原命题为真，逆命题未必为真； 原命题为假，逆命题未必为假。 判定互逆定理的核心条件：二者互为逆命题，且原命题、逆命题均为可证明的真定理。 题型解析◆精准备考 题型1.定义 1．下列描述属于定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．对顶角相等 C．垂线段最短吗 D．含有未知数的等式叫做方程 2．下列定义不合理的是_______（填序号）． ①能被2整除的整数叫作“偶数”； ②能写成（n是整数）的数叫作“偶数”； ③1，3，5，7，……叫作“单数”； ④两个数的所有公约数中比较大的公约数叫作“大公约数”． 3．下面各个命题中，定义为（   ） A．两点之间，线段最短 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在正数前加上符号“”的数叫作负数 D．今天的天气很好 题型2判断是否是命题 1．下列语言叙述是命题的是（   ） A．赶紧写作业！ B．你喜欢陇南吗？ C．画一条端点为A的射线 D．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 2．有下列语句：①植物生长都需要水；②负数大于正数；③零既不是正数，也不是负数；④画直角三角形；⑤因为，所以．其中，是命题的是_______（填序号）． 3．有下列语句：①作直线的垂线；②相等的角是对顶角；③是无理数吗？④两直线平行，内错角相等． (1)以上语句中，属于命题的有：__________，真命题是__________，假命题是__________（填序号）； (2)把真命题改写为“如果……那么……”的形式：__________．其中，题设是__________，结论是__________． 题型3.写出命题的题设与结论 1．命题“两直线平行，内错角相等”中的“内错角”（   ） A．是题设 B．既是题设，也是结论 C．是结论 D．既不是题设，也不是结论 2．将命题“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式：如果_____，那么______． 3．如图，有三个论断： ①；②；③． (1)如果以①和②作为题设，③作为结论，请你写出该命题，并判断该命题是真命题还是假命题； (2)若（1）中的命题为真命题，请你完成证明过程；若为假命题，请你说明理由． 题型4.判断命题真假 1．下列命题中，是真命题的是（） A．若，则， B．若，则， C．若，则且 D．若，则或 2．命题“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行”是__________命题．（填“真”或“假”） 3．如图，有三个论断：①，②，③ (1)如果以①和②作为题设，③作为结论，请你写出该命题__________ (用文字写出)，该命题是__________命题 (选填“真”或“假”) (2)若（1）中的命题为真命题，请你完成证明过程；若为假命题，请你说明理由．已知__________，求证__________ 题型5.举例说明假（真）命题 1．下列命题中是假命题的是（     ） A．两直线平行，内错角相等 B．邻补角相等 C．垂线段最短 D．一个钝角与锐角的差可能是锐角 2．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为________，________． 3．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． (1)两条直线被第三条直线所截，内错角相等． (2)如果，那么． (3)两个钝角的和一定大于180°． (4)异号两数相加和为零． 题型6.写出命题的逆命题 1．下列命题的逆命题正确的是（    ） A．同角的补角相等 B．关于某条直线对称的两个图形是全等形 C．等角的余角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 2．请写出命题“如果，那么”的逆命题：________． 3．写出下列命题的逆命题，并判断真假． (1)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)末位数是0或5的整数能被5整除． 题型7.判断是否为互逆命题 1．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 2．命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是__________命题． 3．回答以下问题 (1)如图，点A、B、C、D在一条直线上，填写下列空格： ∵（已知）， ∴ （ ）． ∵（已知）， ∴ （ ）， ∴ （ ）． (2)说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 题型8.代数问题证明 1．证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 2．请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)若，则； (2)对于任意实数，一定有； (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 3．证明：两个奇数之和是偶数． 题型9.写出一个命题的已知、求证及证明过程 1．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 2．要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例． 3．如图，①，②，③，请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题， (1)正确的命题有 个． (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 题型10.已知证明过程填写理论依据 1．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 2．有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 3．填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 题型11.以几何为背景的推理与论证 1．《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 2．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 3．如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 题型12.以代数为背景的推理与论证 1．当n是正整数时，一定是（   ）． A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 2．小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，图表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为______． 日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 低强度 8 6 6 5 4 高强度 12 13 14 12 8 休息 0 0 0 0 0 3．在有16支球队参赛的足球甲级联赛中，每两支球队之间一个赛季要进行2场比赛，每支球队一个赛季要赛满30场球赛．比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．赛季结束，积分排第1的获得冠军，积分排第2的获得亚军，…，积分排第15和第16名的球队要降级（下赛季不能参加甲级联赛，只能参加乙级联赛）．某赛季第27轮比赛结束时，部分球队的积分排名如下表： 球队 积分 排名 甲队 42 1 乙队 40 2 … … … A队 16 13 B队 16 13 C队 16 13 D队 16 13 (1)已知该赛季第27轮比赛结束时，甲队负了11场． ①求此时甲队胜、平各多少场？ ②此时乙队的负场数能否比甲队的负场数多？请说明理由； (2)在各队最后3场比赛中，A、B、C、D四队的比赛全部在这四个队之间进行，已知最后3场比赛A队得5分，B队一场未负得3分，A队胜C队，C队胜D队，则哪两队会被降级？为什么？ 题型13.定理与证明 1．命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．用___________的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 3．写出四个数学名词的定义． 题型14.互逆定理 1．下列说法错误的是（    ） A．一个真命题的逆命题可能是真命题 B．一个定理不一定有逆定理 C．任何一个定理都有逆定理 D．若，则的逆命题是若，则 2．写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理：__________． 3．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． (1)等腰三角形的两个底角相等． (2)内错角相等，两直线平行． (3)对顶角相等． 学科网（北京）股份有限公司 $