专题06定义.命题.证明期末复习讲义(13大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题06定义.命题.证明期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握定义、命题、真命题、假命题、条件、结论相关概念，能区分定义与命题。 2.分清命题结构：会拆写成 “如果…，那么…” 的标准形式，找准题设（条件）和结论。 3.理解公理、定理、证明、反例含义：知道公理不需证明、定理要推理证明；会用反例说明命题是假命题。 4.熟记平行线、角、互余互补相关常用定理，分清原命题、逆命题概念。 1.拆分能力：任意改写命题为标准句式，精准分离条件与结论。 2.辨析能力：快速判断命题真假，举反例推翻假命题。 3.推理能力：规范几何证明书写，步步有据，每一步标注依据（定义 / 公理 / 定理）。 4.逆向思考：能写出一个命题的逆命题，并判断逆命题真假。 1.选择填空：概念辨析零失误，准确识别定义、命题、真假命题。 2.基础简答：熟练改写命题、构造反例，答题简洁规范。 3.几何证明：步骤完整、逻辑严谨，规范书写推理过程，不漏写推理依据。 4.拓展题型：会判断原命题与逆命题真假，期末几何证明题少失分。 题型01.判断是否是命题 题型02.写出命题的题设与结论 题型03.判断命题真假 题型04.举例说明假(真)命题 题型05.写出命题的逆命题 题型06.判断是否为互逆命题 题型07.代数问题证明 题型08.写出命题已知.求证及证明过程 题型09.已知证明过程填写理论依据 题型10.以几何位背景的推理与论证 题型11.以代数为背景的推理与论证 题型12.定理与证明 题型13.互逆定理 知识点01:核心基础概念（必背） 概念 定义 关键考点 定义 对名称、术语的含义作出准确、规范的描述 句式：…… 叫做……；定义一定是真命题 命题 判断一件事情对错的语句 只有判断句是命题；疑问、命令、画图句都不是 真命题 条件成立，结论一定成立的命题 可以作为推理依据 假命题 条件成立，结论不一定成立的命题 只需1 个反例即可推翻 反例 满足命题条件，但不满足结论的例子 证明假命题的唯一方法 知识点02:命题结构知识（期末重点） 1. 命题组成 所有命题统一分为两部分： 条件（题设）＋结论 2. 标准改写格式 统一改写为：如果……（条件），那么……（结论） 3. 命题改写注意点 (1)改写时不能改变原意 (2)语句残缺的命题需要补全主语 (3)找准谁是已知、谁是推出结果 4. 命题的分类（按真假） 类型 定义 判断方法 示例 真命题 条件成立时，结论一定成立的命题 严格推理证明 对顶角相等；两直线平行，同位角相等 假命题 条件成立时，结论不一定成立的命题 举反例（一个符合条件但结论不成立的例子） 若a2=b2，则a=b（反例：a=2,b=−2） 知识点03:原命题与逆命题（高频考点） 类型 变换方法 真假规律 原命题 原有命题：如果 P，那么 Q 真命题逆命题不一定真 逆命题 互换条件与结论：如果 Q，那么 P 假命题逆命题可真可假 知识点04:公理、定理、证明（几何核心） 名称 定义 是否需要证明 能否当推理依据 公理（基本事实） 人们长期实践公认正确的命题 不需要证明 可以直接用 定理 经过推理证明为正确的真命题 必须证明 可以直接用 证明 从已知出发，依据定义、公理、定理，逐步推理得到结论的过程 — 几何大题书写核心 知识点05:证明题书写规范（老师最看重） 1.每一步推理必须写依据 2.依据仅限：已知、定义、公理、定理 3.逻辑连贯，不跳步、不臆造条件 4.先写条件推导，最后得出结论 知识点06:本章必考题型解题方法 题型 解题标准方法 判断是否为命题 看句子有无判断对错，无判断则不是命题 改写命题 先找条件、结论，补全句子，套 “如果… 那么…” 判断真假命题 符合逻辑为真；能举出反例即为假 举反例 满足条件，推翻结论即可 写逆命题 直接互换条件和结论，再判断真假 知识点07:本章易错点汇总（期末扣分点） 1.把疑问句、命令句、画图语句当成命题 2.改写命题时漏补主语，语句不完整 3.举反例不满足命题条件，无效 4.混淆公理与定理：公理不用证，定理必须证 5.认为原命题真，逆命题一定真（错误） 6.几何证明跳步、不写推理依据 题型01.判断是否是命题 1．下列语句中不是命题的是（    ） A．垂线段最短 B．对顶角相等 C．画直线 D．直角都相等 2．给出下列语句：①延长线段到点；②垂线段最短；③过点画直线；④在中，若，则，其中是命题的有（只填序号） _____． 3．下列语句中，是命题的是（　　） A．你喜欢数学吗？ B．取线段的中点 C．美丽的天空 D．两直线平行，内错角相等 题型02.写出命题的题设与结论 4．把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果那么”的形式：________． 5．命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（   ） A．两条直线平行于同一条直线 B．三条直线平行 C．两条直线平行 D．两条直线垂直 6．命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是______，结论是______．该命题的逆命题是______，这个逆命题是______命题． 题型03.判断命题真假 7．下列命题中，是假命题的是（    ） A．同旁内角互补 B．直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短 C．若，则 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 8．命题“若，则”是______命题（填“真”或“假”）． 9．下列命题： ①线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等； ②全等三角形的周长相等； ③在同一个三角形中，大边对大角； ④同旁内角互补，两直线平行； 其逆命题为真命题的是（     ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 题型04.举例说明假(真)命题 10．对于命题“如果，，那么”，下面四组值中，能说明这个命题是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 11．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为_______，________． 12．下列四组，的值，能说明命题“若，则”是假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 13．判断下列命题的真假．如果是假命题，请举出反例． (1)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)四边形的两条对角线相等； (3)若，则； (4)若两个有理数的和小于，则这两个有理数的积也小于． 题型05.写出命题的逆命题 14．定理“直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆定理是（   ） A．如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 B．直角三角形的边长满足勾股关系 C．不满足勾股关系的三角形不是直角三角形 D．勾股定理的逆定理 15．定理“如果，那么或”的逆定理是(   ) A．如果或，那么 B．如果，那么且 C．时，可能等于或 D．或时， 16．已知下列命题①若，，则；②若，则；③两直线平行，同位角相等；④对顶角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型06.判断是否为互逆命题 17．命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是__________命题． 18．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 19．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 20．下面两个命题是互逆命题吗？ （1）如果是整数，那么是有理数； （2）如果是有理数，那么是整数． 题型07.代数问题证明 21．证明：两个奇数之和是偶数． 22．证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 23．代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 题型08.写出命题已知.求证及证明过程 24．要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例． 25．实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______． 26．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 27．证明：平行于同一条直线的两条直线平行． 已知：____________． 求证：____________． 证明： 题型09.已知证明过程填写理论依据 28．有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 29．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 30．填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 题型10.以几何位背景的推理与论证 31．《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 32．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 33．如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 题型11.以代数为背景的推理与论证 34．桌面上摆放着杯子、勺子和筷子三样物品，分别记为．现对这三样物品按照如下步骤进行操作：第一步：杯子与左边的物品交换位置：第二步：勺子与右边的物品交换位置；第三步：筷子与左边的物品交换位置．在操作过程中，若物品左边或右边没有其他物品，则无需进行交换．若完成上述三个步骤后勺子的位置未发生改变，则三样物品的初始摆放位置从左到右依次是（填写字母）___________． 35．长沙市某中学啦啦操队，其参赛道具于花分别装在、、三个纸箱里，不知其数，现对三个纸箱的手花进行3次调整：第一次，箱不动，在、两箱中的一箱中取出5束手花放在另一箱；第二次，箱不动，在、两箱中的一箱取出7束放在另一箱；第三次，箱不动，在、两箱中的一箱取出9束放在另一箱．经过三次调整后，、、三个纸箱各有手花10束、10束、10束，则原来箱最多有（    ）束手花． A．5 B．8 C．12 D．14 36．某科技运维公司调配6台新一代智能巡检机器人，分配给甲、乙、丙、丁四个运维站，每个运维站最多可投放3台机器人，各运维站产生的单日运维增效利润（单位：元）与投放台数（单位：台）的对应关系如下表： 运维站 增效利润 投放台数 甲 乙 丙 丁 1 50 36 23 24 2 74 67 42 46 3 96 91 60 71 （1）若规定每个运维站至少投放1台机器人，剩余机器人追加投放到同一运维站，则应优先追加投放给_____运维站，才能使单日总增效利润最大； （2）若将6台机器人自由分配投放，则当日可获得的最大总增效利润为______元． 题型12.定理与证明 37．“等角的余角相等”是（   ） A．定义 B．不确定 C．定理 D．假命题 38．下列关于命题与定理的说法： ①一个条件命题一定有逆命题； ②真命题一定是定理； ③真命题的逆命题一定是真命题； ④假命题的逆命题一定是假命题． 正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 39．下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 题型13.互逆定理 40．关于定理和逆定理，下列说法正确的是（   ） A．定理的逆命题一定是定理 B．定理的逆命题如果正确，就是逆定理 C．每个真命题都有逆定理 D．所有定理都有逆定理 41．“两边相等的三角形是等腰三角形”有逆定理吗？______．（填“有”或“没有”） 42．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．两点之间线段最短 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合 D．平行四边形的对边平行 43．按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06定义.命题.证明期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握定义、命题、真命题、假命题、条件、结论相关概念，能区分定义与命题。 2.分清命题结构：会拆写成 “如果…，那么…” 的标准形式，找准题设（条件）和结论。 3.理解公理、定理、证明、反例含义：知道公理不需证明、定理要推理证明；会用反例说明命题是假命题。 4.熟记平行线、角、互余互补相关常用定理，分清原命题、逆命题概念。 1.拆分能力：任意改写命题为标准句式，精准分离条件与结论。 2.辨析能力：快速判断命题真假，举反例推翻假命题。 3.推理能力：规范几何证明书写，步步有据，每一步标注依据（定义 / 公理 / 定理）。 4.逆向思考：能写出一个命题的逆命题，并判断逆命题真假。 1.选择填空：概念辨析零失误，准确识别定义、命题、真假命题。 2.基础简答：熟练改写命题、构造反例，答题简洁规范。 3.几何证明：步骤完整、逻辑严谨，规范书写推理过程，不漏写推理依据。 4.拓展题型：会判断原命题与逆命题真假，期末几何证明题少失分。 题型01.判断是否是命题 题型02.写出命题的题设与结论 题型03.判断命题真假 题型04.举例说明假(真)命题 题型05.写出命题的逆命题 题型06.判断是否为互逆命题 题型07.代数问题证明 题型08.写出命题已知.求证及证明过程 题型09.已知证明过程填写理论依据 题型10.以几何位背景的推理与论证 题型11.以代数为背景的推理与论证 题型12.定理与证明 题型13.互逆定理 知识点01:核心基础概念（必背） 概念 定义 关键考点 定义 对名称、术语的含义作出准确、规范的描述 句式：…… 叫做……；定义一定是真命题 命题 判断一件事情对错的语句 只有判断句是命题；疑问、命令、画图句都不是 真命题 条件成立，结论一定成立的命题 可以作为推理依据 假命题 条件成立，结论不一定成立的命题 只需1 个反例即可推翻 反例 满足命题条件，但不满足结论的例子 证明假命题的唯一方法 知识点02:命题结构知识（期末重点） 1. 命题组成 所有命题统一分为两部分： 条件（题设）＋结论 2. 标准改写格式 统一改写为：如果……（条件），那么……（结论） 3. 命题改写注意点 (1)改写时不能改变原意 (2)语句残缺的命题需要补全主语 (3)找准谁是已知、谁是推出结果 4. 命题的分类（按真假） 类型 定义 判断方法 示例 真命题 条件成立时，结论一定成立的命题 严格推理证明 对顶角相等；两直线平行，同位角相等 假命题 条件成立时，结论不一定成立的命题 举反例（一个符合条件但结论不成立的例子） 若a2=b2，则a=b（反例：a=2,b=−2） 知识点03:原命题与逆命题（高频考点） 类型 变换方法 真假规律 原命题 原有命题：如果 P，那么 Q 真命题逆命题不一定真 逆命题 互换条件与结论：如果 Q，那么 P 假命题逆命题可真可假 知识点04:公理、定理、证明（几何核心） 名称 定义 是否需要证明 能否当推理依据 公理（基本事实） 人们长期实践公认正确的命题 不需要证明 可以直接用 定理 经过推理证明为正确的真命题 必须证明 可以直接用 证明 从已知出发，依据定义、公理、定理，逐步推理得到结论的过程 — 几何大题书写核心 知识点05:证明题书写规范（老师最看重） 1.每一步推理必须写依据 2.依据仅限：已知、定义、公理、定理 3.逻辑连贯，不跳步、不臆造条件 4.先写条件推导，最后得出结论 知识点06:本章必考题型解题方法 题型 解题标准方法 判断是否为命题 看句子有无判断对错，无判断则不是命题 改写命题 先找条件、结论，补全句子，套 “如果… 那么…” 判断真假命题 符合逻辑为真；能举出反例即为假 举反例 满足条件，推翻结论即可 写逆命题 直接互换条件和结论，再判断真假 知识点07:本章易错点汇总（期末扣分点） 1.把疑问句、命令句、画图语句当成命题 2.改写命题时漏补主语，语句不完整 3.举反例不满足命题条件，无效 4.混淆公理与定理：公理不用证，定理必须证 5.认为原命题真，逆命题一定真（错误） 6.几何证明跳步、不写推理依据 题型01.判断是否是命题 1．下列语句中不是命题的是（    ） A．垂线段最短 B．对顶角相等 C．画直线 D．直角都相等 【答案】C 【分析】根据“判断一件事情的语句叫做命题”的定义，判断各选项即可得到结果． 【详解】解：A选项：“垂线段最短”，对垂线段的性质做出了判断，是命题； B选项：“对顶角相等”，对对顶角的性质做出了判断，是命题； C选项：“画直线”，只是操作指令，没有对任何事情做出判断，不是命题； D选项：“直角都相等”，对直角的性质做出了判断，是命题． 2．给出下列语句：①延长线段到点；②垂线段最短；③过点画直线；④在中，若，则，其中是命题的有（只填序号） _____． 【答案】②④ 【分析】本题考查了命题与定理得知识，利用命题的定义逐项判断即可得出答案，解题的关键是掌握命题的定义． 【详解】解：①延长线段到点，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意； ②垂线段最短，是命题，符合题意； ③过点画直线，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意； ④在中，若，则，是命题，符合题意； 综上所述，是命题的有②④， 故答案为：②④． 3．下列语句中，是命题的是（　　） A．你喜欢数学吗？ B．取线段的中点 C．美丽的天空 D．两直线平行，内错角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题的定义，判断一件事情的语句叫命题，根据命题的定义逐一进行判断即可得到答案，掌握命题的定义是解题的关键． 【详解】解：、你喜欢数学吗？是疑问句，没有作出判断，不是命题，不符合题意； 、取线段的中点，没有作出判断，不是命题，不符合题意； 、美丽的天空，是描叙性语言，没有作出判断，不是命题； 、两直线平行，内错角相等，是命题，符合题意； 故选：． 题型02.写出命题的题设与结论 4．把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果那么”的形式：________． 【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零 【分析】命题由题设和结论两部分组成，“如果”后接题设，“那么”后接结论，先分离出原命题的题设与结论即可完成改写． 【详解】解：原命题的题设为“两个数互为相反数”，结论为“这两个数的和为零”，因此改写为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零． 5．命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（   ） A．两条直线平行于同一条直线 B．三条直线平行 C．两条直线平行 D．两条直线垂直 【答案】A 【分析】命题由题设和结论两部分组成，题设是已知条件，将原命题改写为“如果…那么…”的形式，即可拆分出题设． 【详解】解：将原命题改写为“如果…那么…”的形式：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行． ∵“如果”引出的已知条件部分是命题的题设， ∴该命题的题设是“两条直线平行于同一条直线”． 6．命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是______，结论是______．该命题的逆命题是______，这个逆命题是______命题． 【答案】 两个三角形周长相等 它们的面积相等 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等 假 【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．解答本题的关键是熟练掌握命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知的条件，结论是由题设推出的结果． 根据“其中题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项”即可写出条件和结论；根据逆命题就是交换原命题的题设和结论即可写出逆命题；由于面积相等的三角形可以作无数个，但是周长不一定相等，即可判断逆命题的真假性． 【详解】解：命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是：两个三角形周长相等； 结论是：它们的面积相等； 该命题的逆命题是：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等； 这个逆命题是假命题， 故答案为：两个三角形周长相等；它们的面积相等；如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等；假． 题型03.判断命题真假 7．下列命题中，是假命题的是（    ） A．同旁内角互补 B．直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短 C．若，则 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【详解】解：、因为只有两直线平行时，同旁内角才互补，所以同旁内角互补是假命题，故本选项符合题意； 、直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短是真命题，故本选项不符合题意； 、若，则是真命题，故本选项不符合题意； 、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是真命题，故本选项不符合题意； 8．命题“若，则”是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】 假 【分析】根据命题真假的判定规则，若存在满足题设条件但不满足结论的实例，即可判定该命题为假命题．只需举出反例即可完成判断． 【详解】解：当时，满足条件，此时，不满足结论， 因此原命题是假命题． 9．下列命题： ①线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等； ②全等三角形的周长相等； ③在同一个三角形中，大边对大角； ④同旁内角互补，两直线平行； 其逆命题为真命题的是（     ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】先写出每个命题的逆命题，再根据初中几何定理判断逆命题的真假，即可得到结果． 【详解】解：①原命题：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等；逆命题：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；该逆命题为真命题； ②原命题：全等三角形的周长相等；逆命题：周长相等的三角形是全等三角形；举例：边长为，，的三角形和边长为，，的三角形周长都是，但二者不全等，因此该逆命题为假命题； ③原命题：在同一个三角形中，大边对大角；逆命题：在同一个三角形中，大角对大边；该逆命题为真命题； ④原命题：同旁内角互补，两直线平行；逆命题：两直线平行，同旁内角互补；该逆命题为真命题； 综上，逆命题为真命题的是①③④， 故选：A． 题型04.举例说明假(真)命题 10．对于命题“如果，，那么”，下面四组值中，能说明这个命题是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：A、，，则，不能说明这个命题是假命题； B、，，则，能说明这个命题是假命题； C、，不符合条件，不能说明这个命题是假命题； D、，，不符合条件，不能说明这个命题是假命题． 11．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为_______，________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】只需找到满足，但不满足的一组实数即可． 【详解】解：当，时， 可得：，满足条件， ，， ，即， 不满足， 可以说明该命题是假命题． 12．下列四组，的值，能说明命题“若，则”是假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理，要说明命题“若，则”是假命题，需找到一组a、b的值，使得成立但不成立，选项D中，，但，满足条件． 【详解】解：∵ 命题为假需满足且， 选项A：，，不符合； 选项B：，，不符合； 选项C：，即不成立，不符合； 选项D：，，即不成立，符合假命题条件． 故选：D． 13．判断下列命题的真假．如果是假命题，请举出反例． (1)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)四边形的两条对角线相等； (3)若，则； (4)若两个有理数的和小于，则这两个有理数的积也小于． 【答案】(1)真命题 (2)假命题，反例见解析 (3)假命题，反例见解析 (4)假命题，反例见解析 【详解】（1）解：“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”是真命题； （2）解：“四边形的两条对角线相等”是假命题，反例：普通的平行四边形（非矩形），对角线的长度不相等； （3）解：“若，则”是假命题，反例：当，时，，但，，此时； （4）解：“若两个有理数的和小于，则这两个有理数的积也小于”是假命题，反例：两个有理数和，它们的和为，而它们的积为． 题型05.写出命题的逆命题 14．定理“直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆定理是（   ） A．如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 B．直角三角形的边长满足勾股关系 C．不满足勾股关系的三角形不是直角三角形 D．勾股定理的逆定理 【答案】A 【分析】本题考查了逆定理．勾股定理的逆定理是判断三角形是否为直角三角形的定理，即如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形． 【详解】解： 勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 选项A正确描述了该逆定理． 选项B描述的是勾股定理本身，不是逆定理． 选项C是原定理的逆否命题，与原定理等价，不是逆定理． 选项D没有具体描述内容． 故选：A． 15．定理“如果，那么或”的逆定理是(   ) A．如果或，那么 B．如果，那么且 C．时，可能等于或 D．或时， 【答案】A 【分析】本题考查了写出原定理的逆定理．逆定理是将原命题的条件和结论互换所得命题． 原定理条件为，结论为或，故逆定理应为“如果或，那么”． 【详解】解：∵ 逆定理是原命题的条件与结论互换， 原命题：若，则或， ∴ 逆定理：若或，则， 故选：A． 16．已知下列命题①若，，则；②若，则；③两直线平行，同位角相等；④对顶角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先分别写出每个命题的逆命题，再逐一判断原命题与逆命题的真假，统计出两者均为真命题的个数． 【详解】解：①原命题：若，，则．原命题为真命题． 逆命题若，则，． 反例：，，，但，逆命题为假命题． ②原命题：若，则． 反例：，，，但，原命题为假命题． ③原命题：两直线平行，同位角相等．原命题为真命题． 逆命题：同位角相等，两直线平行．逆命题为真命题． ④原命题：对顶角相等．原命题为真命题． 逆命题：相等的角是对顶角．反例：等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角，逆命题为假命题． 综上，原命题与逆命题均为真命题的个数是． 题型06.判断是否为互逆命题 17．命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是__________命题． 【答案】互逆 【分析】根据互逆命题的定义直接得出的答案，在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题， 故答案为：互逆 【点睛】本题考查了互逆命题的定义，理解定义是解题的关键． 18．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 19．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 20．下面两个命题是互逆命题吗？ （1）如果是整数，那么是有理数； （2）如果是有理数，那么是整数． 【答案】是互逆命题 【分析】互逆命题是指两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件．‌ 【详解】解：是互逆命题，理由如下： 命题（1）的条件为“是整数”，结论为“是有理数”； 命题（2）的条件为“是有理数”，结论为“是整数”； ∴这两个命题是互逆命题． 题型07.代数问题证明 21．证明：两个奇数之和是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查证明，设两个奇数分别为，，其中，为整数，进而得到，即可得证． 【详解】证明：设两个奇数分别为，，其中，为整数，则 ． 因为，，都为整数， 所以为整数． 所以是偶数． 所以两个奇数之和是偶数． 22．证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 【答案】见解析 【分析】根据逆否命题以及完全平方公式进行判断即可． 【详解】证明：设整数个位数为5，可表示为， ∴， 因此，这个整数平方的个位数为5， ∴如果一个数的个位数是5，那么这个数的平方的个位数是5为真命题， ∴一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 23．代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查不等式的性质，命题的判定，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题； （3）设这三个自然数分别是，，，其中，将这三个自然数求和即可得出结论． 【详解】（1）解：证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性）； 故答案为：，； （2）证明：， 不等式两边同加上，得， 不等式两边同时除以2，得； （3）解：真命题， 证明：设这三个自然数分别是，，，其中， ， 能被3整除， 这三个自然数的和能被3整除． 题型08.写出命题已知.求证及证明过程 24．要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例． 【答案】 证明 举反例 结论 【分析】根据根据证明的概念和举反例的概念直接填空即可．． 【详解】解：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例． 故答案为：证明；举反例；结论． 【点睛】本题主要考查了证明和举反例的概念，熟知相关知识是解题的关键． 25．实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______． 【答案】 不一定， 证明 【解析】略 26．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 27．证明：平行于同一条直线的两条直线平行． 已知：____________． 求证：____________． 证明： 【答案】见解析 【分析】写出已知，求证，利用平行线的判定定理证明即可． 【详解】已知：如图，直线中，，，    求证：． 证明：作直线的截线，交点分别为．    ∵, ∴， ∵, ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 题型09.已知证明过程填写理论依据 28．有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 【答案】①②③④⑤⑦ 【分析】本题考查了定理与证明，熟练掌握定理与证明的特性是解题的关键； 先明确推理依据的定义，在逐项分析所给各项是否符合推理依据的要求，最后统计符合条件的个数即可. 【详解】解：推理依据是指在数学推理过程中，无需证明即可直接使用的确定事实，包括公认的基本事实、学过的定义、性质、定理、公理以及题目中给出的已知条件等. ①公理：公理是经过人类长期反复实践检验，不需要再加证明的基本命题，是推理依据； ②已学定理：定理是经过证明的真命题，是推理依据； ③定义：定义是对事物本质特征的描述，是明确概念的依据，是推理依据； ④等量代换：等量代换是基本的逻辑规则，即如果两个量相等，那么它们可以互相替换，是推理依据； ⑤不等式的性质： 不等式的性质是经过证明的，如不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变等，是推理依据； ⑥度量结果：度量结果可能因测量工具、方法等因素存在误差，不是确定的已知事实，不能作为推理依据； ⑦已知条件：题目中给出的已知条件是推理的起点，是推理依据； ⑧正确的观察结果： 观察结果可能受主观或客观因素影响，不是绝对可靠的确定事实，不能作为推理依据； ⑨猜测结果：猜测结果没有经过证明，不具有确定性，不能作为推理依据； 故答案为：①②③④⑤⑦ ． 29．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 30．填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 【答案】对顶角相等；等式的基本事实；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】证明： ∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 题型10.以几何位背景的推理与论证 31．《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 【答案】D 【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想 故选：D． 【点睛】本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解． 32．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 【答案】 【分析】此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，，由在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，可设，继而求得，以及的面积，则可求得的面积，然后由等高三角形面积的比等于其对应底的比，求得答案． 【详解】解：根据题意，， 如图所示，连接， 设， 在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点， ，，， ， 设点到的高为，点到的高为， ∴， ∴， ， ， 又， ，， ， 故答案为：． 33．如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 【答案】一样大，理由见解析 【分析】本题考查猜想和验证，求圆的周长，设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r，根据圆的周长公式进行计算，判断即可． 【详解】解：设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r， 则． 10个小圆周长，2个小圆周长． 所以它们的周长一样大． 题型11.以代数为背景的推理与论证 34．桌面上摆放着杯子、勺子和筷子三样物品，分别记为．现对这三样物品按照如下步骤进行操作：第一步：杯子与左边的物品交换位置：第二步：勺子与右边的物品交换位置；第三步：筷子与左边的物品交换位置．在操作过程中，若物品左边或右边没有其他物品，则无需进行交换．若完成上述三个步骤后勺子的位置未发生改变，则三样物品的初始摆放位置从左到右依次是（填写字母）___________． 【答案】或 【分析】本题考查推理与论证，认真分析题干描述的过程得勺子在最左边或最右边，然后再分类讨论，即可作答． 【详解】解：根据题意，若完成上述三个步骤后，勺子的位置未发生改变， 则勺子在最左边或最右边， 当勺子在最左边时，则筷子在勺子的右边，杯子在最右边； 当勺子在最右边时，则杯子在勺子的左边，筷子在最左边； ∴三样物品的初始摆放位置从左到右依次是或， 故答案为：或． 35．长沙市某中学啦啦操队，其参赛道具于花分别装在、、三个纸箱里，不知其数，现对三个纸箱的手花进行3次调整：第一次，箱不动，在、两箱中的一箱中取出5束手花放在另一箱；第二次，箱不动，在、两箱中的一箱取出7束放在另一箱；第三次，箱不动，在、两箱中的一箱取出9束放在另一箱．经过三次调整后，、、三个纸箱各有手花10束、10束、10束，则原来箱最多有（    ）束手花． A．5 B．8 C．12 D．14 【答案】C 【分析】由最后的结果向前推理，可得答案． 【详解】解：要使原来C箱最多，根据题意得： ∵第三次调整后，A箱有10束，B箱有10束，C箱有10束， ∴第二次调整后，A箱有10束，B箱有（束），C箱有（束）， ∴第一次调整后，A箱有（束），B箱有1束，C箱有（束）， ∴原来C箱有12束； 故选：C． 【点睛】此题考查了逆向思维解应用题，解题的关键是从最后的结果向前根据数量关系，求出上一步的结果，一步步的推，进而求解即可． 36．某科技运维公司调配6台新一代智能巡检机器人，分配给甲、乙、丙、丁四个运维站，每个运维站最多可投放3台机器人，各运维站产生的单日运维增效利润（单位：元）与投放台数（单位：台）的对应关系如下表： 运维站 增效利润 投放台数 甲 乙 丙 丁 1 50 36 23 24 2 74 67 42 46 3 96 91 60 71 （1）若规定每个运维站至少投放1台机器人，剩余机器人追加投放到同一运维站，则应优先追加投放给_____运维站，才能使单日总增效利润最大； （2）若将6台机器人自由分配投放，则当日可获得的最大总增效利润为______元． 【答案】 乙 【分析】（1）根据题意，每个运维站至少1台，先确定已分配4台，剩余2台需全部投放到同一运维站，分别计算不同投放的总利润，比较得到最大值对应的运维站即可； （2）根据题意，自由分配6台机器人，每个运维站最多3台，列举所有可能使总利润较大的分配方案，计算总利润后比较得到最大值即可. 【详解】解：（1）由题意，每个运维站至少投放1台，共分配台，剩余台追加到同一运维站，因此该运维站共投放台，其余运维站各投放台，分别计算总利润： 若追加给甲：总利润为； 若追加给乙：总利润为； 若追加给丙：总利润为； 若追加给丁：总利润为； 因为，因此应优先追加投放给乙； （2）由题意，6台机器人自由分配，考虑到甲、乙两个运维站的增效利润较高，我们优先测试将机器人集中分配给这两个站的组合，每个运维站最多投放3台，列举所有总利润较大的情况： ①投放甲台，乙台，总利润； ②投放甲台，乙台，丁台，总利润； ③投放甲台，乙台，丁台，总利润； ④投放甲台，乙台，丁台，总利润； ⑤投放甲台，乙台，丙台，丁台，总利润； 故最大总利润为元. 题型12.定理与证明 37．“等角的余角相等”是（   ） A．定义 B．不确定 C．定理 D．假命题 【答案】C 【分析】本题考查几何命题的分类、余角的定义，根据余角的定义进行判断即可． 【详解】解：设，则的余角为：，的余角为， ∵， ∴， 即等角的余角相等， ∴“等角的余角相等”是一个真命题，且是经过证明的，故为定理， 故选：C． 38．下列关于命题与定理的说法： ①一个条件命题一定有逆命题； ②真命题一定是定理； ③真命题的逆命题一定是真命题； ④假命题的逆命题一定是假命题． 正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的基本概念，包括逆命题的存在性、真命题与定理的关系，以及逆命题的真假性，熟练掌握相关概念是解题关键．根据逆命题的存在性、真命题与定理的关系，以及逆命题的真假性逐个判断即可得． 【详解】解：①对于任何一个条件命题，都可以通过交换它的条件和结论得到其逆命题，所以一个条件命题一定有逆命题；原说法正确； ②真命题不一定都是定理；定理是经过证明的真命题，但有些真命题可能未被证明或不是基本定理，则原说法错误； ③真命题的逆命题不一定是真命题；反例：原命题：对顶角相等为真命题，但其逆命题：相等的角是对顶角为假命题；则原说法错误； ④假命题的逆命题不一定是假命题；反例：原命题：相等的角是对顶角为假命题；但其逆命题：对顶角相等为真命题；则原说法错误； 故选：A． 39．下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点有:定理的概念:定理是经过逻辑证明为真的陈述，是具有普遍意义、经过严格证明的结论．包括平均数的计算、能被和整除的数的特征、方程的根的验证、三角形内角和定理、等式的基本性质等相关数学概念和性质，通过对这些内容的考查，判断哪些命题符合定理的定义． 【详解】解：命题①平均数的计算是，所以“与的平均数是”是错误的，不是定理； 命题②能被整除的数不一定能被整除，例如能被整除，但不能被整除，所以该命题错误，不是定理； 命题③“将 代入方程，左边，右边，左边右 边，所以该命题是错误的，不是定理； 命题④“三角形的内角和是”，这是经过严格的几何证明(如通过平行线性质、拼图等方法证明)，具有普遍适用性的结论，是定理； 命题⑤“等式两边加上同一个数，等式仍成立”，这是等式的基本性质之一，是经过数学定义和推导确定的、具有普遍意义的结论，是定理； 综上，命题④和命题⑤是定理，共个． 故选：A． 题型13.互逆定理 40．关于定理和逆定理，下列说法正确的是（   ） A．定理的逆命题一定是定理 B．定理的逆命题如果正确，就是逆定理 C．每个真命题都有逆定理 D．所有定理都有逆定理 【答案】B 【分析】本题考查定理与逆定理的概念．定理的逆命题不一定为真，因此不一定是定理；只有逆命题为真时，才是逆定理． 【详解】解：∵定理的逆命题不一定为真，∴ A错误； ∵定理的逆命题如果为真，就是逆定理，∴ B正确； ∵真命题的逆命题不一定为真，∴ 不一定有逆定理，∴ C错误； ∵并不是所有的定理都有逆定理，∴ D错误， 故选B． 41．“两边相等的三角形是等腰三角形”有逆定理吗？______．（填“有”或“没有”） 【答案】有 【分析】本题考查的是逆定理，原命题是等腰三角形的定义，其逆命题“等腰三角形有两边相等”也成立，因此有逆定理． 【详解】解：原命题“两边相等的三角形是等腰三角形”是等腰三角形的定义，其逆命题为“等腰三角形有两边相等”，该逆命题同样成立，故存在逆定理． 故答案为：有． 42．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．两点之间线段最短 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合 D．平行四边形的对边平行 【答案】D 【分析】本题考查了逆定理．逆定理是原定理的题设和结论互换后的命题，若互换后命题成立则原定理有逆定理，否则没有． 【详解】解：∵ 逆定理需题设与结论互换后成立； 对于A，逆命题“最短路径是两点之间的线段”成立； 对于B，逆命题“到角两边距离相等的点在角平分线上”成立； 对于C，逆命题“底边上的高、中线、顶角平分线互相重合的三角形是等腰三角形”成立； 对于D，逆命题“对边平行的四边形是平行四边形”不成立，如等腰梯形对边平行但不是平行四边形． ∴ 没有逆定理的是D． 故选：D． 43．按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【答案】(1)①如果两个角是内错角，那么这两个角相等；②如果，那么 (2)不是 【分析】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念． （1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可； （2）根据逆定理的性质求解即可． 【详解】（1）解：①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等． ②“如果，那么”的逆命题；如果，那么． （2）解：因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题， 故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $