精品解析：浙江省舟山市普陀区部分校2025-2026学年第二学期期中素养监测试题卷 七年级 数学

2025学年第二学期期中素养监测试题卷 七年级 数学 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个符合题目要求，不选、多选、选错均不得分） 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. x=1-2y B. C. D. 2. 下列图形中，与是内错角的是（ ） A. B. C. D. 3. 碳纳米管，又名巴基管，是一种具有特殊结构的一维量子材料，其直径一般为厘米，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列多项式相乘，可以用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是方程的一个解，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 明代大数学家程大位著《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成？”用现代的话说就是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排笔管和笔套的短竹数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将直角沿斜边的方向平移到 的位置，交于点G， ，，的面积为4，下列结论：① ；②平移的距离是4；③；④四边形的面积为16，正确的有（ ）． A. ②③ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 10. 如图1，现有边长为 和的正方形纸片各一张，长和宽分别为a，b的长方形纸片一张，其中．把三张纸片按图2所示的方式放入另一张边长头的正方形纸片内，已知图2中阴影部分的面积满足，则a，b满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知方程，用含x的代数式表示y，则___________． 12. 如图，将沿方向平移2个单位后得到．若 ，则的长是 _____ ． 13. 已知，比较a，b，c的大小关系，用“<”号连接为___________． 14. 如果是一个完全平方式，那么m的值为 ________． 15. 已知关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解是___________，___________． 16. 如图1是长方形纸片，点E，F分别在 上，将纸片沿着折叠，点C，D分别落在点， 交于点G，得到 ，再沿着折叠（如图2），使，垂足为点N，则 _____ ．如图3，若使得 ，则角度 _____ ． 三．解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 错题是绝佳的学习素材，识别并辨析错误能精准排查知识漏洞，而纠正错误的过程，还能帮我们培养严谨且高阶的学科素养． 小明解方程组的过程如表所示： 解：由 ，得：③ ……第一步 ，得： ……第二步 把代入①，得： ……第三步 ∴原方程组的解为 ……第四步 请你思考并解决下列问题：在上述过程中，哪一步是消元？消元的依据是什么？判断小明的解答过程是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，D是上一点，，交于点E，F是上一点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 聪聪计算一道整式乘法的题：将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为． （1）求，的值； （2）请你帮助聪聪算出这道题的正确结果． 22. 随着近一年来油价的波动调整，市场对新能源汽车的关注度也随之上涨，低碳绿色出行方式受到肯定，加之各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元；3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元． （1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你写出所有购买方案； （3）若该公司销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.7万元，在（2）中的所有购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大，最大利润是多少元． 23. 有一个边长为的正方形，按图1切割成4个小方块，分别为4个小方块的面积． （1）请用图中所给图形的边长和面积，表示其中的等量关系： ． （2）利用（1）中的结论解决：若，则 ， ． （3）如图2所示，C是线段 上的一点，以，为边向上下两侧作正方形，正方形 ，两正方形的面积分别记为和，若 ，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 24. 如图，直线，直线与分别相交于点 ，．小宁将一个含角的直角三角板按如图1放置，使点分别在直线上，且 ． （1） 填空：______（填“”“”或“”）． （2）的平分线交直线于点 ． ①如图2，当时，求的度数； ②如图3，小宁将三角板 沿直线左右移动，并保持 （点不与点重合），在平移的过程中求的度数（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中素养监测试题卷 七年级 数学 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个符合题目要求，不选、多选、选错均不得分） 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. x=1-2y B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】A、x=1-2y是二元一次方程，A符合题意； B、=1-2y不是整式方程，不是二元一次方程，B不符合题意； C、x2=1-2y不是一次方程，C不符合题意； D、x+2xy=1不是一次方程，D不符合题意． 故选A． 2. 下列图形中，与是内错角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了内错角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，四个选项中只有B选项中的与是内错角， 故选：B． 3. 碳纳米管，又名巴基管，是一种具有特殊结构的一维量子材料，其直径一般为厘米，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 根据科学记数法的定义作答即可． 【详解】解：， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据、、和合并同类项分别对各个选项进行计算后判断． 【详解】A. ，错误； B. 与不是同类项，所以不能进行运算，错误； C．，错误； D. ，正确； 故选：D. 【点睛】本题考查了整式的乘法和加法，熟练掌握同类项的概念和整数指数幂的运算性质是解题的关键． 5. 如图，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟记性质是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等解答即可． 【详解】解：如图， ，， ， ， 故选：C． 6. 下列多项式相乘，可以用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式的结构特点，即两数之和与两数之差的乘积等于这两数的平方差，对各选项逐一分析判断． 【详解】平方差公式为，需满足两个二项式中一项相同，另一项互为相反数； A．，两因式完全相同，不符合平方差公式； B．，两因式中的项分别为 与、与 ，既不相同也不互为相反数，无法应用平方差公式； C．，相同项为 ，相反项为和，符合平方差公式，可化简为； D．，第二个因式可提取负号得，即，不符合平方差公式． 故选：C． 7. 已知，是方程的一个解，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：把代入方程得： ， ， 解得， 故选：A． 8. 明代大数学家程大位著《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成？”用现代的话说就是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排笔管和笔套的短竹数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，制作笔管的短竹数+制作笔套的短竹数=83000,3x个笔管，5y个笔筒，且1个笔管与1个笔套正好配套即笔管数等于笔筒数，列出方程组即可． 【详解】∵根据题意，制作笔管的短竹数+制作笔套的短竹数=83000,3x个笔管，5y个笔筒，且1个笔管与1个笔套正好配套即笔管数等于笔筒数， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确审题，列出符合题意的方程组是解题的关键． 9. 如图，将直角沿斜边的方向平移到 的位置，交于点G， ，，的面积为4，下列结论：① ；②平移的距离是4；③；④四边形的面积为16，正确的有（ ）． A. ②③ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平移的性质，正确的掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质分别对各个小题进行判断：①利用平移前后对应线段是平行的即可得出结果；②平移距离指的是对应点之间的线段的长度；③根据平移前后对应线段相等即可得出结果；④利用梯形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：①∵直角三角形沿斜边的方向平移到三角形的位置， ∴， ， ∴， ∴ ，故①正确，符合题意； ②平移距离应该是的长度，由，可知， ∴平移的距离大于4，故②错误，不符合题意； ③由平移前后的对应点的连线平行且相等可知，，故③正确，符合题意； ④∵的面积是4， ， ∴， ∵由平移知：， ∴， 四边形的面积：，故④正确，符合题意． 综上所述，正确的是①③④． 故选：C． 10. 如图1，现有边长为和的正方形纸片各一张，长和宽分别为a，b的长方形纸片一张，其中．把三张纸片按图2所示的方式放入另一张边长头的正方形纸片内，已知图2中阴影部分的面积满足，则a，b满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式运算在图形面积中的应用，由图形得，，即可求解；能根据图形表示出，是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， 整理得：； 故选：B． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知方程，用含x的代数式表示y，则___________． 【答案】3x-2 【解析】 【分析】把x看做已知数求出y即可． 【详解】解：方程3x-y=2， 解得：y=3x-2， 故答案为：3x-2． 【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y． 12. 如图，将沿方向平移2个单位后得到．若 ，则的长是 _____ ． 【答案】8 【解析】 【分析】根据平移的概念得到 ，计算即可． 【详解】解：由平移的性质可知： ， ∵ ， ∴ ． 13. 已知，比较a，b，c的大小关系，用“<”号连接为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂的法则，进行计算，再比较大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查比较有理数的大小．熟练掌握有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂的法则，是解题的关键． 14. 如果是一个完全平方式，那么m的值为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，关键在于熟知完全平方公式的特点进行求解． 利用完全平方公式的特点即“首平方，尾平方，二倍底数乘积放中央”可知为二倍底数乘积，进而可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 15. 已知关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解是___________，___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将整理得：，由题意得出关于x，y的方程组的解为，计算即可得解． 【详解】解：将整理得：， ∵关于x，y的方程组的解为， ∴关于x，y的方程组的解为， 解得：， 故答案为：，． 16. 如图1是长方形纸片，点E，F分别在 上，将纸片沿着折叠，点C，D分别落在点， 交于点G，得到 ，再沿着折叠（如图2），使，垂足为点N，则 _____ ．如图3，若使得 ，则角度 _____ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据折叠的性质求出 ，再由三角形内角和定理求解 ，然后根据平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：根据折叠可得， ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 三．解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）16 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 错题是绝佳的学习素材，识别并辨析错误能精准排查知识漏洞，而纠正错误的过程，还能帮我们培养严谨且高阶的学科素养． 小明解方程组的过程如表所示： 解：由 ，得：③ ……第一步 ，得： ……第二步 把代入①，得： ……第三步 ∴原方程组的解为 ……第四步 请你思考并解决下列问题：在上述过程中，哪一步是消元？消元的依据是什么？判断小明的解答过程是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】第二步是消元，依据见解析，小明的解答过程不正确，正确的过程见解析 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据解二元一次方程组的方法解答即可． 【详解】解：第二步是消元； 消元的依据是：等式的性质1或等式的两边都加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式． 小明的解答过程不正确，正确过程如下： 解： 得：③， 得：， 将代入①得：， 即， ∴原方程组的解为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式 ． 20. 如图，D是上一点，，交于点E，F是上一点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理． （1）根据，得出，根据得出，根据平行线的判定方法进行求解即可； （2）根据三角形内角和定理得出，从而得出，根据平行线的性质得出． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 根据解析（1）可知：，， ∵ ， ∴， ∵， ∴． 21. 聪聪计算一道整式乘法的题：将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为． （1）求，的值； （2）请你帮助聪聪算出这道题的正确结果． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键． （）根据题意得出，然后通过多项式乘以多项式运算法则得，再进行对比得，再解方程组即可． （）把代入，再通过多项式乘以多项式运算法则即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∴，解得：； 【小问2详解】 解：由（）得：， ∴ ． 22. 随着近一年来油价的波动调整，市场对新能源汽车的关注度也随之上涨，低碳绿色出行方式受到肯定，加之各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元；3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元． （1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你写出所有购买方案； （3）若该公司销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.7万元，在（2）中的所有购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大，最大利润是多少元． 【答案】（1）A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为15万元 （2）共3种购买方案，方案一：购进A型车7辆，B型车5辆；方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；方案三：购进A型车1辆，B型车15辆 （3）购进A型车7辆，B型车5辆获利最大，最大利润是11.9万元 【解析】 【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计95万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计105万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论； （3）利用总价=单价×数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元， 依题意，得：， 解得：． 答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为15万元． 【小问2详解】 设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆， 依题意，得：25m+15n=250， 解得：， ∵m，n均为正整数， ∴，，， ∴共3种购买方案，方案一：购进A型车7辆，B型车5辆；方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；方案三：购进A型车1辆，B型车15辆． 【小问3详解】 方案一获得利润：（万元）； 方案二获得利润：（万元）； 方案三获得利润：（万元）． ∵， ∴购进A型车7辆，B型车5辆获利最大，最大利润是11.9万元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价=单价×数量求出三种购车方案获得的利润． 23. 有一个边长为的正方形，按图1切割成4个小方块，分别为4个小方块的面积． （1）请用图中所给图形的边长和面积，表示其中的等量关系： ． （2）利用（1）中的结论解决：若，则 ， ． （3）如图2所示，C是线段 上的一点，以，为边向上下两侧作正方形，正方形 ，两正方形的面积分别记为和，若 ，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1） （2）25，1 （3）8 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式的变形求值； （1）根据4个小方块的面积与大正方形的面积相等求解即可； （2）根据（1）中的结论，利用完全平方公式的变形求解即可； （3）设，，依题意，，连接，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得正方形的边长为，则正方形的面积为：， 正方形看作4部分面积之和，则正方形的面积为： ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ； 【小问3详解】 解：设，，依题意，，连接， ∴阴影部分面积为 ∵， ∴阴影部分面积为8． 24. 如图，直线，直线与分别相交于点 ，．小宁将一个含角的直角三角板按如图1放置，使点分别在直线上，且 ． （1） 填空：______（填“”“”或“”）． （2）的平分线交直线于点． ①如图2，当时，求的度数； ②如图3，小宁将三角板 沿直线左右移动，并保持 （点不与点重合），在平移的过程中求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】（1） （2）①，②或 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解； （2）①由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，再利用平行线的性质即可求解； ②可分两种情况：当点在点的右侧时，当点在点的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解． 【小问1详解】 解：如图1，过点作， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ，， ， 平分， ， ， ， ； 的度数为或， 如图2，当点在点的右侧时， ，， ， ， ， ，， 平分， ， ； 如图3，当点在点的左侧时， 同理可得， ， ，， 平分， ， ， 综上所述，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $