期末复习：数列的实际应用问题、数学归纳法与数列问题综合专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦数列实际应用与数学归纳法综合，通过真实情境问题与逻辑推理训练，构建“模型建立-递推分析-归纳证明”知识逻辑链，覆盖高频应用与证明题型。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列的实际应用问题|3例+3变式|实际情境中的递推关系建立、等比数列证明及求和|从具体情境抽象数列模型，推导通项与求和，体现用数学眼光观察现实世界| |数学归纳法与数列问题综合|3例+3变式|数列性质证明、不等式验证及归纳推理|以数学归纳法为工具，论证数列性质与关系，发展数学思维与逻辑推理能力|

期末复习：数列的实际应用问题、数学归纳法与数列问题综合专项训练 期末复习：数列的实际应用问题、数学归纳法与数列问题综合专项训练 考点目录 数列的实际应用问题 数学归纳法与数列问题综合 考点一 数列的实际应用问题 例1．（25-26高二下·河南南阳·期中）一辆快递车从A地往B地运送快递，沿途（包括A，B）共有10站．从A地出发时，装上发往后面9站的快递各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的快递，同时装上该站发往后面各站的快递各1件．设快递车在各站装卸完成后剩余快递的件数构成数列． (1)求，，，并写出与的递推关系式； (2)求数列的通项公式，并求出的最大值． 例2．（25-26高二下·广东佛山·期中）某池塘今年初投放鱼苗800尾，预计以后每年鱼群数量的增长率为，且在每年年底捕捞50尾鱼.设池塘从今年起每年年初的鱼群数量依次为. (1)求，并写出一个递推公式，表示与之间的关系； (2)证明是等比数列，并求的通项公式； (3)求前年年初鱼群数量的总和，并求满足时的最小值. 参考数据：，. 例3．（25-26高三上·上海·期中）2025年6月底，某厂的废水池已储存废水75吨，以后每月新产生的6吨废水也存入废水池．该厂2025年7月开始对废水处理后进行排放，7月底排放4吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加1吨． (1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？ (2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用．该厂从2026年1月开始对废水池中的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化？ 变式1．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）京都议定书正式生效后，全球碳交易市场出现了爆炸式的增长．某林业公司种植速生林木参与碳交易，到2022年年底该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率20%，为了利于速生林木的生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子．设从2023年开始，第年年底的速生林木保有量为万立方米． (1)求，请写出一个递推公式表示与之间的关系； (2)求数列的通项公式. (3)该公司在接下来的一些年里深度参与碳排放，若规划速生林木保有量实现由2022年底的200万立方米翻两番，则估计至少到哪一年才能达到公司速生林木保有量的规划要求？ （参考数据：，，，） 变式2．（24-25高二下·上海浦东·月考）在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取.甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加. （参考数据：） (1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？ (2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元.那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？ 变式3．（24-25高二下·福建龙岩·月考）党的十八大以来，我国防沙治沙工作取得显著成效，《全国防沙治沙规划（20212030年）》的提出明确了今后一个阶段防沙治沙工作的总体思路、工作重点和目标任务.某地区政府顺势提出了沙漠治理的十年计划.已知第年该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，是绿洲.从第年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造成绿洲，而原有绿洲的被沙漠所侵蚀后又变成沙漠.设第年的绿洲面积为万平方千米，其中，. (1)证明：为等比数列； (2)假设把沙漠改造成绿洲的改造费为每万平方千米亿元，请计算该地区政府完成沙漠治理计划总共需要拨款的费用. 考点二 数学归纳法与数列问题综合 例1．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）首项为正数的数列满足，． (1)证明：若为奇数，则对一切，都是奇数； (2)证明：若时，，都有； (3)若对一切，都有，求的取值范围． 例2．（25-26高二下·湖南衡阳·阶段检测）记为数列的前n项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明：. 例3．（25-26高二上·河北张家口·期末）已知数列是等差数列，其前项和为，数列是正项等比数列，，，，是和的等比中项. (1)求.和的通项公式. (2)求的前项和. (3)设，求证：. 变式1．（25-26高三上·北京西城·阶段检测）正整数列定义如下：，对有， . (1)直接写出； (2)对，若，求的值； (3)证明：每个正整数在数列中出现且恰好出现一次． 变式2．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 变式3．（25-26高二上·北京·期中）设集合．若的子集不含两个相邻的正整数，则称该子集为的“孤立子集”． (1)写出的所有“孤立子集”； (2)求的“孤立子集”个数； (3)设集合的“孤立子集”个数为，求证：当时，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：数列的实际应用问题、数学归纳法与数列问题综合专项训练 期末复习：数列的实际应用问题、数学归纳法与数列问题综合专项训练 考点目录 数列的实际应用问题 数学归纳法与数列问题综合 考点一 数列的实际应用问题 例1．（25-26高二下·河南南阳·期中）一辆快递车从A地往B地运送快递，沿途（包括A，B）共有10站．从A地出发时，装上发往后面9站的快递各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的快递，同时装上该站发往后面各站的快递各1件．设快递车在各站装卸完成后剩余快递的件数构成数列． (1)求，，，并写出与的递推关系式； (2)求数列的通项公式，并求出的最大值． 【答案】(1)，，；（） (2)， 【分析】（1）根据题意求前三项，分析可知在第n个快递站卸下件快递，同时装上件快递，即可得递推公式； （2）根据题意利用累加法求通项公式，结合二次函数求最大值. 【详解】（1）由题意可知：，，． 在第n个快递站卸下件快递，同时装上件快递， 则，所以，． （2）由（1）知：，， 可得， 且，符合上式，所以， 可得． 例2．（25-26高二下·广东佛山·期中）某池塘今年初投放鱼苗800尾，预计以后每年鱼群数量的增长率为，且在每年年底捕捞50尾鱼.设池塘从今年起每年年初的鱼群数量依次为. (1)求，并写出一个递推公式，表示与之间的关系； (2)证明是等比数列，并求的通项公式； (3)求前年年初鱼群数量的总和，并求满足时的最小值. 参考数据：，. 【答案】(1)，； (2)证明见解析，； (3)，的最小值为11． 【分析】（1）直接代入计算即可得到，根据题意写出； （2）构造得，再判断首项不为0即可证明其为等比数列，再求出其通项即可； （3）根据等比数列求和公式求得，再求解不等式即可. 【详解】（1）由题意知，． 递推关系为． （2）由（1）得，则． 因为． 所以． 所以数列是以 为首项，1.1为公比的等比数列． 所以，即． （3）前年年初鱼群数量的总和 . 求 ，即 ． 因为数列单调递增，且 ， ， 所以的最小值为11． 例3．（25-26高三上·上海·期中）2025年6月底，某厂的废水池已储存废水75吨，以后每月新产生的6吨废水也存入废水池．该厂2025年7月开始对废水处理后进行排放，7月底排放4吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加1吨． (1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？ (2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用．该厂从2026年1月开始对废水池中的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化？ 【答案】(1)2026年9月 (2)2026年的11月 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式得到不等式，解出即可； （2）设从2025年7月起第个月深度净化的废水量为，由已知条件，，当时，数列是首项为5，公比为1.2的等比数列，而从2025年7月起第个月废水存量为：，再结合等比数列的前项和公式求解． 【详解】（1）设从2025年7月起第个月处理后的废水排放量为， 则数列是首项为4，公差为1的等差数列， 所以， 令，整理得， 解得或， 又因为是正整数，则， 当时，处理后的废水排放量大于新产生的6吨废水，所以不会有废水存积. 故该厂在2026年9月底第一次将废水池中的废水排放完毕； （2）设从2025年7月起第个月深度净化的废水量为吨， 由已知条件，， 当时，数列是首项为5，公比为1.2的等比数列， 则数列的前项和， 而从2025年7月起第个月废水存量为：， 当时，， 当时，， 所以2026年的11月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化． 变式1．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）京都议定书正式生效后，全球碳交易市场出现了爆炸式的增长．某林业公司种植速生林木参与碳交易，到2022年年底该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率20%，为了利于速生林木的生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子．设从2023年开始，第年年底的速生林木保有量为万立方米． (1)求，请写出一个递推公式表示与之间的关系； (2)求数列的通项公式. (3)该公司在接下来的一些年里深度参与碳排放，若规划速生林木保有量实现由2022年底的200万立方米翻两番，则估计至少到哪一年才能达到公司速生林木保有量的规划要求？ （参考数据：，，，） 【答案】(1)（万立方米），. (2)，理由见解析. (3)至少到年底才能达到公司速生林木保有量的规划要求. 【分析】（1）根据题意可得及递推关系； （2）将变形为，此时为等比数列，利用等边数列通项公式求解通项公式即可； （3）令，根据题设中给出的数据可得至少到年底才能达到公司速生林木保有量的规划要求. 【详解】（1）（万立方米）， 又即. （2），设存在非零常数，使得， 整理得到，而，故即. 所以，而， 故即， 所以是首项为，公比为的等比数列， 故即； （3）由（2）知. ， 所以为递增数列， 令，则， 当时，， 当时，， 故至少到年底才能达到公司速生林木保有量的规划要求. 变式2．（24-25高二下·上海浦东·月考）在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取.甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加. （参考数据：） (1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？ (2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元.那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？ 【答案】(1)约万元 (2)11年 【分析】（1）利用乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加8%，即可求出他在第5年的年薪； （2）求出小李在甲公司工作连续工作n年的工资总收入，小李在乙公司工作10年的总收入，建立不等式，即可得出结论． 【详解】（1）小李在乙公司工作第年的年薪为, 小李在乙公司连续工作年，万元， 所以，小李在乙公司连续工作5年，他在第5年的年薪约是万元； （2）由题意，小李在甲公司工作连续工作年的工资总收入为， 小李在乙公司工作10年的总收入， 则， 即, ，， 小李在甲公司至少要连续工作11年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入. 变式3．（24-25高二下·福建龙岩·月考）党的十八大以来，我国防沙治沙工作取得显著成效，《全国防沙治沙规划（20212030年）》的提出明确了今后一个阶段防沙治沙工作的总体思路、工作重点和目标任务.某地区政府顺势提出了沙漠治理的十年计划.已知第年该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，是绿洲.从第年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造成绿洲，而原有绿洲的被沙漠所侵蚀后又变成沙漠.设第年的绿洲面积为万平方千米，其中，. (1)证明：为等比数列； (2)假设把沙漠改造成绿洲的改造费为每万平方千米亿元，请计算该地区政府完成沙漠治理计划总共需要拨款的费用. 【答案】(1)证明见解析 (2)约为亿元 【分析】（1）由题意得到递推公式，化简得出，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）求出数列的通项公式，计算出该地区政府完成沙漠治理计划时，把沙漠改造成绿洲的面积，结合题意可求得改造的费用. 【详解】（1）由题意，当时， ， 变形为，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， （2）由（1）可得，所以数列的通项公式. 则， 由题意可知，该地区政府完成沙漠治理计划时，把沙漠改造成绿洲的面积为 ， 所需的改造费用为（亿元）. 考点二 数学归纳法与数列问题综合 例1．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）首项为正数的数列满足，． (1)证明：若为奇数，则对一切，都是奇数； (2)证明：若时，，都有； (3)若对一切，都有，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）（2）利用数学归纳法进行证明； （3）利用，得到不等式，求出或，作差法得到与，从而对，都有，得到的取值范围． 【详解】（1）证明：已知是奇数，假设是奇数，其中m为正整数， 则由递推关系得是奇数， 根据数学归纳法，对任何，都是奇数． （2）证明：当时，左式， 右式， 又， 当时，成立， 则时， ． 根据数学归纳法，若时，，都有． （3）解法一：由知，当且仅当或， 另一方面，若，则；若，则， 根据数学归纳法，，，；，． 综合所述，对一切都有的充要条件是或． 解法二：由，得，于是或， ， 又，，则所有的均大于0，因此与同号． 根据数学归纳法，，与同号． 因此，对一切都有的充要条件是或． 解法三（不动点法）：记，则，，于是为凸函数． 则不动点满足，则得到不动点方程，解得不动点，， 由对一切，都有得数列为递增，所以或， 又，故的取值范围或． 例2．（25-26高二下·湖南衡阳·阶段检测）记为数列的前n项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据求解； （2）先证明当时，不等式成立，再假设当时，不等式成立，再证明当时，不等式也成立，即可得证． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，上式也成立， 所以； （2）当时，，， 所以成立， 假设当时，不等式成立， 即， 则当时，， ， 又， 所以， 所以， 即当时，不等式也成立. 综上，. 例3．（25-26高二上·河北张家口·期末）已知数列是等差数列，其前项和为，数列是正项等比数列，，，，是和的等比中项. (1)求.和的通项公式. (2)求的前项和. (3)设，求证：. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由和可求出等差数列公差，根据定义即可求出，由是和的等比中项，可求出，可求出公比，即可求出； （2）由（1）可知与代入利用错位相减法求出； （3）利用放缩法和裂项错位相减即可证明. 【详解】（1）因为，，所以， 所以， 因为，由题意得， 因为，，所以， 因为数列是正项等比数列，所以，所以. （2）由（1）得， 则，， 故， 所以. （3）因为， 所以 ，而设， 两式错位相减即可求得，可得 所以， 则原不等式得证. 变式1．（25-26高三上·北京西城·阶段检测）正整数列定义如下：，对有， . (1)直接写出； (2)对，若，求的值； (3)证明：每个正整数在数列中出现且恰好出现一次． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据数列递推关系式求解即可； （2）结合数列定义有，然后用数学归纳法证明即可； （3）利用数学归纳法证明即可 【详解】（1）根据数列新定义可知； （2），下面用数学归纳法证明： 当时，由数列定义，且对任意，均有，所以； 当时假设有，即为数列中唯一取值为的项， 若，其中， 若，， 因为为正整数，所以有不小于3的奇因子，与矛盾， 故，，若为偶数，则为奇数，矛盾； 故为奇数，此时，可知， 由归纳假设，l有唯一解，故有唯一解， 所以对一切自然数m，； （3）由定义，由（1）知，即当时，取遍中的正整数， 假设当时，取遍中的正整数， 不妨取，则当为偶数时，，当为奇数时，，即总有， 从而，由归纳假设，k取遍中的正整数时，亦取遍中的正整数， 故，则当n取遍中的正整数时，也取遍中的正整数， 综上所述，对一切自然数s，区间中的正整数在数列中恰出现一次，从而每个正整数在数列中均出现且恰好出现一次. 变式2．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据数学归纳法的证明步骤证明． 【详解】（1）存在， 由题可得，解得， 所以存在，； （2）证明： 当时，， 假设时，等式成立， 时， 成立， 综上，成立． 变式3．（25-26高二上·北京·期中）设集合．若的子集不含两个相邻的正整数，则称该子集为的“孤立子集”． (1)写出的所有“孤立子集”； (2)求的“孤立子集”个数； (3)设集合的“孤立子集”个数为，求证：当时，. 【答案】(1)的孤立子集有，的孤立子集有 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题目所给“孤立子集”定义，写出结果即可； （2）根据“孤立子集”定义，判断之间的关系，求出递推公式，写出结果即可； （3）根据递推公式，求出数列的表达式，再根据数学归纳法，求出数列前项和的递推公式，再根据数学归纳法，对题干条件进行化简，证明结果即可. 【详解】（1）由题意可知， 则的孤立子集有， 的孤立子集有. （2）设集合的“孤立子集”个数为，对于的“孤立子集”可分为两类， 一类为不包含的孤立子集，等价于的孤立子集个数，另一类为包含，但不包含的孤立子集，等价于的孤立子集个数， 可得； 由（1）可知， 则， ， ， ， ， ； （3）由（2）可知，且， 猜想， 当时，左边，右边， 所以左边右边，即时，猜想成立； 设时，猜想成立，即， 当时，， 即时，猜想成立， 所以； 当时，左边， 右边， 左边右边，即当时，等式成立； 设时等式成立，即成立， 当时， 左边 因为，又因为， 所以， 由可知， 所以， 即左边， 右边，所以左边=右边； 即时，等式成立； 综上所述，当时，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $