精品解析：福建省南平第一中学2026届九年级模拟考试 数学试卷

南平一中2026届九年级模拟考试 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确答案） 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形由四个全等的直角三角形（、、，）和中间一个小正方形组成．若，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长 尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（　　） A. B. 2 C. 2 D. 8 10. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于 的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 12. 已知是方程的解，则______． 13. 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球__________个． 14. 用一个半径为10的半圆，围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径为______________． 15. 如图，点A、B在反比函数的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接、，则的面积是__________． 16. 如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=；③当0＜t≤5时，y=t2；④当t=秒时，；其中正确的结论是_______（填序号）． 三、简答题（本大题9小题，共86分） 17. 计算： 18. 如图，交于点E，、．求证：． 19. 先化简，再求值；，其中为满足的整数． 20. 假日里，亮亮和华华在家人的陪伴下，漫步在春日河畔，望着眼前静静流淌的小河，他们萌生了探究的冲动：想用课堂上学到的数学知识测量小河的宽度．在亲近自然的过程中，他们也体会到了数学的实用与探索的乐趣．测量中，他们在河边的缓坡上的点处安装测角仪，，绘制测量示意图如图，测得河对岸点的俯角为，与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为，点，，，，，在同一平面上，点，，在同一水平直线上，且．请你帮亮亮和华华计算出河宽．（精确到参考数据：，，，） 21. “双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，B绘画，C舞蹈，D跆拳道四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． （1）本次抽取调查学生共有___________人，估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为___________人． （2）请将以上两个统计图补充完整． （3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率． 22. 如图1，在纸片中，，将该纸片折叠，使得点C的对应点P落在边上且，折痕为． 　 （1）若，求的长； （2）请在图2中探究思考，用无刻度的直尺和圆规作出符合题意的折痕．（不需要写出作法，但要保留作图痕迹） 23. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上两个不同的点． （1）当时，求的值； （2）当，时，比较与的大小； （3）若对于，，都有，求的取值范围． 24. 已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标为． （1）求抛物线的解析式及B、C两点的坐标． （2）若点M是线段上一个动点（不与A、C重合），点N是线段上一个动点，设 ①如图1，当点N运动到的中点时，作轴交于点M，求证：． ②当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得且恰好平分？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由． 25. 如图，与相切于点，以为边作菱形，交于点C，D，E是对角线上一点，在，上取点F，G，使． （1）求证：是切线； （2）求证：是等边三角形； （3）若，求的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南平一中2026届九年级模拟考试 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确答案） 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用实数大小比较的基本规则即可求解． 【详解】解：∵实数比较大小中，负数小于0，负数小于所有正数， ∴， ∴四个数中最小的数是，选项A符合题意． 2. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 3. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的识别；根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， A选项图形不是中心对称图形是轴对称图形，不符合题意， B选项图形是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， C选项图形是中心对称图形不是轴对称图形，符合题意， D选项图形是中心对称图形也是轴对称图形，不符合题意， 故选：C． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，故本选项运算错误； B、，故本选项运算错误； C、，故本选项运算正确； D、，故本选项运算错误． 5. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，两直线平行，内错角相等．由，推出，从而求出，又因为，所以． 【详解】， ， ， ， 6. 不等式的解在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及在数轴上表示解集，关键是熟练应用； 先移项再合并同类项，系数化为，即可算出解集. 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 7. 如图，正方形 由四个全等的直角三角形（、、，）和中间一个小正方形组成．若，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出，根据全等三角形的性质得出，结合图形得出，从而求出的长，最后在中利用正切定义求解． 【详解】解：四边形是正方形，， . ，  ， 由图可知点在线段上， . 在中，， ． 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设木长尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，列出一元一次方程即可求解． 【详解】解：设木长尺，根据题意得， ， 故选：A 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 9. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（　　） A. B. 2 C. 2 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA－AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30°的直角三角形的性质计算出OH=OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=，所以CD=2CH=2． 【详解】作OH⊥CD于H，连结OC，如图， ∵OH⊥CD， ∴HC=HD， ∵AP=2，BP=6， ∴AB=8， ∴OA=4， ∴OP=OA﹣AP=2， 在Rt△OPH中，∵∠APC=30°， ∴∠OPH=30°，∴OH=OP=1， 在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1， ∴CH=， ∴CD=2CH=2． 故选C． 【点睛】本题主要考查圆中的计算问题，熟练掌握垂径定理、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点，掌握数形结合的思想是解答的关键 10. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数性质，待定系数法求二次函数解析式等．根据题意求出的值，代入得到的关系，再根据对称轴在直线的右侧即可求出本题答案． 【详解】解：∵点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”， ∴点关于原点对称， ∴， ∴， 将代入中，， 解得：， ∴①②正确，符合题意， ∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧， ∴，即， ∴， 故④正确，符合题意， ∵， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴③错误，不符合题意， 综上所述：正确的是①②④， 故选：C． 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， x的取值范围是． 12. 已知是方程的解，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，理解题意，把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把代入，得， ∴， ∴， 故答案为：2 13. 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球__________个． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设红球有x个，利用频率=红球个数÷总数，计算即可得出答案． 【详解】解：设红球有x个，由题意可得， ， 解得：， 经检验：是方程的解， 故答案为：12． 14. 用一个半径为10的半圆，围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径为______________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，需要掌握弧长计算公式以及圆周长计算公式．解答此类试题时注意：锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥的底面圆的半径为，根据半圆的弧长等于圆锥底面周长，列出方程求解即可． 【详解】解：半径为10的半圆的弧长为：， 围成的圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得， 故答案为：5 15. 如图，点A、B在反比函数的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接、，则 的面积是__________． 【答案】9 【解析】 【分析】设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，AC与OB的交点为点E，证得S四边形EBDC=S△AOE即可得S△AOB=S四边形ABDC，根据梯形的面积公式求解即可． 【详解】如图，设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，AC与OB的交点为点E， ∵A、B的纵坐标分别是3和6， 代入函数关系式可得横坐标分别为4,2； ∴A（4,3），B（2,6）； ∴AC=4，BD=2，CD=3 由反比例函数的几何意义可得S△BOD=S△AOC， ∴S四边形EBDC=S△AOE， ∴S△AOB=S四边形ABDC= ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了反比例函数中三角形面积的求解，要能够熟练掌握反比例函数的性质和几何意义；双曲线上任意一点向x轴或y轴引垂线，则该点、垂足、原点组成的三角形的面积相等，都是． 16. 如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=；③当0＜t≤5时，y=t2；④当t=秒时，；其中正确的结论是_______（填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【详解】 根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C， ∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒， ∴BC=BE=5， ∴AD=BE=5，故①小题正确； 又∵从M到N的变化是2， ∴ED=2， ∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3， 在Rt△ABE中，AB= =4， ∴cos∠ABE==，故②小题错误； 过点P作PF⊥BC于点F， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠PBF， ∴sin∠PBF=sin∠AEB==， ∴PF=PBsin∠PBF=t， ∴当0＜t≤5时，y=BQ•PF=t•t=t2，故③小题正确； 当t=秒时，点P在CD上，此时，PD=﹣BE﹣ED=﹣5﹣2=， PQ=CD﹣PD=4﹣=， ∴， ∴， 又∵∠A=∠Q=90°， ∴△ABE∽△QBP，故④小题正确． 综上所述，正确的有①③④． 三、简答题（本大题9小题，共86分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：． 18. 如图，交于点E，、．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，对顶角相等；由证，即可得结论． 【详解】证明：∵在和中， ∴， ∴ 19. 先化简，再求值；，其中 为满足的整数． 【答案】， 【解析】 【分析】利用分式的混合运算的法则化简后，将代入运算即可. 【详解】解：原式 ∵a为满足的整数且， ∴， ∴取，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的运算，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键. 20. 假日里，亮亮和华华在家人的陪伴下，漫步在春日河畔，望着眼前静静流淌的小河，他们萌生了探究的冲动：想用课堂上学到的数学知识测量小河的宽度．在亲近自然的过程中，他们也体会到了数学的实用与探索的乐趣．测量中，他们在河边的缓坡上的点处安装测角仪，，绘制测量示意图如图，测得河对岸点的俯角 为，与的夹角 为，又测得点与河岸点 之间的距离为，点， ，， ，，在同一平面上，点， ，在同一水平直线上，且．请你帮亮亮和华华计算出河宽．（精确到参考数据：，，，） 【答案】河宽约为 【解析】 【分析】延长，交于点，先解直角三角形求出的长，再在中，解直角三角形即可． 【详解】解：如图，延长，交于点， ∵， ∴， 由题意得：，，，， ∴，， 在中，，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 答：河宽约为． 21. “双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，B绘画，C舞蹈，D跆拳道四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． （1）本次抽取调查学生共有___________人，估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为___________人． （2）请将以上两个统计图补充完整． （3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率． 【答案】（1）60，300 （2） 补全两个统计图如下： （3） 【解析】 【分析】（1）根据喜欢绘画的条形统计图和扇形统计图信息即可得本次抽取调查学生的总人数，再利用3000乘以喜欢跆拳道的学生所占百分比即可得； （2）先求出喜欢书法的学生人数，据此补全条形统计图，再求出喜欢舞蹈和跆拳道的学生所占百分比，据此补全扇形统计图即可得； （3）先画出树状图，从而可得甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果，再找出两人恰好选择同一类的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【小问1详解】 解：本次抽取调查学生的总人数为（人）， 估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为（人）， 故答案为：60，300． 【小问2详解】 解：喜欢书法的学生人数人（人）， 喜欢舞蹈的学生所占百分比为， 喜欢跆拳道的学生所占百分比为． 【小问3详解】 解：由题意，画树状图如下： 由图可知，甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果共有16种，其中，两人恰好选择同一类的结果有4种， 则两人恰好选择同一类的概率为， 答：两人恰好选择同一类的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图和扇形统计图、利用列举法求概率，熟练掌握统计调查的相关知识和列举法是解题关键． 22. 如图1，在纸片中，，将该纸片折叠，使得点C的对应点P落在边上且，折痕为． 　 （1）若，求的长； （2）请在图2中探究思考，用无刻度的直尺和圆规作出符合题意的折痕．（不需要写出作法，但要保留作图痕迹） 【答案】（1） （2）如图所示： 【解析】 【分析】（1）连接，根据折叠可得，从而得到然后设点M到的距离为，点O到的距离为，证明，利用，即可求解； （2）作的角平分线交于点E，作线段的垂直平分线交于点O， 于点M，则直线即为所求折痕． 【小问1详解】 解：如图，连接， 根据题意得：， ∴， ∵ ∴ ∴ 设点M到的距离为，点O到的距离为， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ 解得： 【小问2详解】 能，理由如下： 由（1）可得： 而 可得： 是的垂直平分线， ∴ ∴作的角平分线交于点P，作线段的垂直平分线交于点O，交于点M，则直线即为所求折痕． 23. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上两个不同的点． （1）当时，求的值； （2）当，时，比较与的大小； （3）若对于，，都有，求 的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，；当时， （3） 的取值范围是或 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数关系直接求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，然后分当时和当时两种情况讨论，根据抛物线的增减性比较大小即可； （3）先表示出，根据已知可得，分两种情况讨论：若和若，根据的取值范围列式求解即可． 【小问1详解】 解：当时，，是一元二次方程的两个根， ． 【小问2详解】 解：抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线． 当时，抛物线开口向上，在对称轴右侧， 随的增大而增大， ， ； 当时，抛物线开口向下，在对称轴右侧， 随的增大而减小， ， ； 【小问3详解】 解： ， ，， ，， ， ， ，即， ， 若，则，即恒有， ，解得； ； 若，则，即恒有， ，解得； ； 综上， 的取值范围是或． 24. 已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标为． （1）求抛物线的解析式及B、C两点的坐标． （2）若点M是线段上一个动点（不与A、C重合），点N是线段上一个动点，设 ①如图1，当点N运动到的中点时，作轴交于点M，求证：． ②当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得且恰好平分？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2） ①如图： 设直线的函数解析式为：， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为：， ∵，，点N运动到的中点， ∴， 把代入得：， ∴，则， ∵，， ∴，则， ∵，，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴； ②存在，，点G的坐标为． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法先求出函数解析式，再根据函数图象与坐标轴的交点坐标的特征即可求解． （2）①设直线的函数解析式为：，利用待定系数法求出的解析式，由中点的性质可求得，进而可求得点，即，由，则，根据，，，可得，再由平行线的性质可得，进而可得，进而可求解；②过点G作轴于点H，设点，利用相似三角形的判定及性质可得，解出方程即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：， 把代入得：， ∴； 把代入得：， 解得：， ∴． 【小问2详解】 ①略 ②过点G作轴于点H， 由①可得：， ∴， ∴，则， 设点， ∵， ∴，，则， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 整理得：， 令，则， 解得：， 当时，不符合题意，舍去； 当时，解得：，， 此时，或（舍）， 综上：存在，，点G的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用、相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，借助恰当的辅助线，构造相似三角形解决问题． 25. 如图，与相切于点 ，以为边作菱形 ，交于点C，D，E是对角线 上一点，在， 上取点F，G，使． （1）求证： 是切线； （2）求证：是等边三角形； （3）若，求的半径． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，，根据切线的性质得出，根据菱形的性质得出，证明，得出，即，结合是的半径，即可证明 是的切线； （2）在菱形 中，，，，，证明，根据得出，结合，与三角形内角和定理得出，即，证出是等边三角形； （3）如图，作于点M，作于点N，作于点H，连接，设，由（2）知是等边三角形，证明，得出，进而得到，根据三角函数得到，进而得到的值，同理得到的值，根据得到，进而得到，根据求出，进而求出，即可求出，证明是等边三角形，根据圆周角定理及垂径定理得到，，根据三角函数计算即可． 【小问1详解】 证明：连接，，， ∵与相切于 ，是的半径， ∴， ∵四边形 是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， 故 是的切线； 【小问2详解】 证明：在菱形 中，，，，， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∵与相切于 ，是的半径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， 在中，且， 故是等边三角形； 【小问3详解】 解：如图，作于点M，作于点N，作于点H，连接，设． 由（2）知是等边三角形， ， ， ， 在中，， ， 又∵， ， ∴，． ∴， ． ∵， ∴ ∴． ∵， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∵四边形 是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵ ∴， ，经检验，是原分式方程的解， ∴的半径是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $