精品解析：2025年福建省南平市光泽县模拟考试数学试题

2025年福建省初中学业水平考试卷 数 学 本试卷满分150分．考试时间：120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡相应位置上． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后使用0.5毫米黑色字迹签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列各数中最小的是（ ） A. B. C. 1 D. 2. 线锤在生活中的使用场景非常广泛，主要用于测量和定位．如图是一个线锤，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 剪纸是中国优秀的民间传统文化艺术之一，下面的剪纸图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，数轴上与对应的点大致是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线平分一组对角 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 7. 某校开展“烹饪小能手”评比活动，在全校名学生中随机抽取了若干名，统计这些学生在寒假期间学会炒的菜品数量，并绘制成如图所示的扇形统计图．下列说法错误的是（ ） A. 学会炒道菜的学生占 B. 学会炒道菜所在扇形的圆心角度数为 C. 全校学会炒道菜的学生约有名 D. 学会炒道菜的学生人数最少 8. 数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学领域，比如在学习化学的醚类化学式中，甲醚化学式为，乙醚化学式为，丙醚化学式为……当碳原子的数目为2n（n为正整数）时，醚类的化学式可以表示为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是线段所在直线上的一动点，点 在的两侧， ，，， ，，连接，分别取的中点，连接．随着点的运动，线段的长（ ） A. 随着点的位置变化而变化 B. 保持不变，长为 C. 保持不变，长为 D. 保持不变，长为 10. 已知抛物线经过点，，若A，B两点均在直线的下方，且，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如果向南走记为“”，那么向北走可以记为________m． 12. 二元一次方程组的解为________． 13. 某试管中液体发生化学反应后，温度是时间的反比例函数，其图象如图所示，则该试管中液体的温度从降到，要经过________． 14. 某班学生一周参加体育锻炼的时间统计如下表所示，其中有一个数据被墨汁污染了．若这组数据的唯一众数和中位数相等，则该班学生人数最少为________人． 锻炼时间/时 7 8 9 10 11 人数 5 11 12 4 15. 如图1，在边长为的正方形纸片上，以它的中心为圆心，以为半径作半圆；再分别以，为圆心，以为半径作四分之一圆，剪去图中的阴影部分，得到图．用两个图中的纸片，在每个纸片上各剪刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（无缝隙、无重叠），则不同的裁剪方法共有________种． 16. 具有对称性且富有节奏感的正六边形，不仅为建筑和装饰增添了现代感，还能与多种设计风格相融合．如图1是阅览室墙上设计的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成几何图形如图2所示，若每个正六边形的边长均为2，则该置物架所占用墙面的长度d的值为________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 已知：如图，在▱中，、是对角线上的两点，且，求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，点是半圆的圆心，直径． （1）分别在半圆上取点和点（点在点右侧），顺次连接点 ，，，，使得以这四点为顶点的四边形是菱形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求（1）中所作菱形的面积． 21. 小明和小亮要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区的汽车有三辆（舒适程度不同，票价相同），但他们不知道这些车开过来的顺序．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题： （1）三辆车按出现的先后顺序，其舒适程度共有哪几种不同的可能？ （2）如果计划小明乘开来的第一辆车，小亮不乘第一辆车，并且仔细观察第二辆车的情况，若比第一辆车好，就乘第二辆车；若不比第一辆车好，就乘第三辆车．判断小明和小亮谁乘坐舒适程度为上等的车的可能性更大，并说明理由． 22. 阅读下列材料，解答问题． 【背景】为建设宜居宜业和美乡村，某乡镇筹集资金2000万元，准备购买污水处理设备，分别安装在10个村专门设置的场地，用于处理排放的污水，经办人员了解到如下信息． 【信息】①市场上有甲、乙两种污水处理设备，每套乙种设备价格比甲种高； ②用360万元恰好可以购买3套甲种设备和1套乙种设备； ③安装1套甲种设备需占地，1套乙种设备需占地； ④安装污水处理设备前期准备工程的费用不少于总资金的． 【解答问题】 （1）甲、乙两种污水处理设备每套的价格分别是多少万元？ （2）若每个村需要2套污水处理设备，求该乡镇安装污水处理设备总占地面积的最小值． 23. 实践课上，同学们利用量角器、三角尺 进行实践操作，其中 ，，小明和小华的操作如下． 小明： 做法：如图①，小明将三角尺 放置在量角器上，点与圆心重合，已知这把三角尺的直角边和量角器外弧所在圆的半径相等，点是斜边与量角器外弧所在圆的交点，点的对应刻度为． 问题1：求点对应的刻度． 问题2；将三角尺 绕点顺时针旋转，能否使得与量角器外弧所在圆相切？若能，请写出旋转度数；若不能，请写出理由． 小华： 做法：如图②，小华把斜边的三角尺 叠放在量角器上，且 ，点 ，恰好落在量角器的外弧所在圆上，点 的对应刻度为，与外弧交于点． 问题3：求的长． 请你根据上述内容，回答小明和小华的问题． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点 ，，与轴交于点．已知点为该抛物线上一动点（不与点 重合），且横坐标为． （1）求点 的坐标． （2）将抛物线上， 两点之间的部分（包括端点）记作图象，当图象的高度（图象上的最高点与最低点的纵坐标之差）为时，求点的坐标． （3）已知动点的坐标为，若是锐角，求的取值范围． 25. 如图1，已知是等边三角形，点D在内部，且，以为边作等边三角形 ，点E，B在的两侧，连接． （1）求证： ． （2）如图2，延长ED交BC于点F． ①求证：F是BC的中点； ②设AC，EF交于点O，若，求的值． （3）若的边长是12，点P是CE的中点，请直接写出点B，P之间距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年福建省初中学业水平考试卷 数 学 本试卷满分150分．考试时间：120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡相应位置上． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后使用0.5毫米黑色字迹签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列各数中最小的是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解题的关键．根据实数的大小比较方法即可得到答案． 【详解】解：，，，， 故选：A． 2. 线锤在生活中的使用场景非常广泛，主要用于测量和定位．如图是一个线锤，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从上面看到的图形即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：它的俯视图为 故选：． 3. 剪纸是中国优秀的民间传统文化艺术之一，下面的剪纸图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、不是中心对称图形，该选项不符合题意； 、是中心对称图形，该选项符合题意； 、不是中心对称图形，该选项不符合题意； 、不是中心对称图形，该选项不符合题意； 故选： ． 4. 如图，数轴上与对应的点大致是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】C 【解析】 【分析】先估算出的范围，结合数轴排除A、B，然后利用二次根式的大小比较方法比较与的大小即可得答案． 【详解】解：∵9<10<16， ∴，即， ∴由数轴知，排除A、B， ∵，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，利用夹逼法求得的大致范围是解题的关键． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法，合并同类项，多项式除以单项式，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别根据同底数幂乘法，合并同类项，多项式除以单项式，幂的乘方的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故该选项计算错误； B、，故该选项计算错误； C、，故该选项计算错误； D、，故该选项计算正确； 故选：D． 6. 矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线平分一组对角 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】A 【解析】 【详解】解：菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角， 矩形的对角线互相平分、相等， ∴矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等， 故选A． 【点睛】本题考查菱形的性质和矩形的性质．掌握特殊四边形的性质是解题关键． 7. 某校开展“烹饪小能手”评比活动，在全校名学生中随机抽取了若干名，统计这些学生在寒假期间学会炒的菜品数量，并绘制成如图所示的扇形统计图．下列说法错误的是（ ） A. 学会炒 道菜的学生占 B. 学会炒道菜所在扇形的圆心角度数为 C. 全校学会炒道菜的学生约有名 D. 学会炒 道菜的学生人数最少 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，样本估计总体，根据扇形统计图逐项判断即可求解，看懂扇形统计图是解题的关键；根据统计图逐项进行分析即可得． 【详解】解：∵学会炒 道菜的扇形圆心角为 ， ∴学会炒 道菜的学生占，故选项正确； ∵学会炒道菜的学生占比为， ∴学会炒道菜所在扇形的圆心角度数为，故选项 正确； ∵， ∴学会炒 道菜的学生占比为 ， ∴学会炒道菜的学生占比为， ∴全校学会炒道菜的学生约有名，故选项错误； ∵， ∴学会炒 道菜的学生人数最少，故选项正确； 故选：． 8. 数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学领域，比如在学习化学的醚类化学式中，甲醚化学式为，乙醚化学式为，丙醚化学式为……当碳原子的数目为2n（n为正整数）时，醚类的化学式可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，通过观察甲醚、乙醚、丙醚的化学式，发现醚类由两个相同的烷氧基组成．总碳原子数为时，每个烷氧基含 个碳原子，对应的氢原子数为 ．由此可归纳出醚类化学式的通式． 【详解】解：观察甲醚、乙醚、丙醚的化学式，发现醚类由两个相同的烷氧基组成．总碳原子数为时，每个烷氧基含 个碳原子，对应的氢原子数为 ， ∴醚类的化学式可以表示为； 故选B． 9. 如图， 是线段 所在直线上的一动点，点 在 的两侧， ，，，，，连接，分别取的中点 ，连接．随着点 的运动，线段的长（ ） A. 随着点 的位置变化而变化 B. 保持不变，长为 C. 保持不变，长为 D. 保持不变，长为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，连接 ，过点作 ，交的延长线于，可得四边形为矩形，即得，，得到，进而由勾股定理得，再根据三角形中位线的性质得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接 ，过点作 ，交的延长线于， ∵ ，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵点 分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， 即的长保持不变， 长为， 故选：． 10. 已知抛物线经过点，，若A，B两点均在直线的下方，且，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数，掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键． 根据题意，抛物线开口向上，点A、B在直线下方，且．通过代入点坐标建立不等式，求解t的范围． 【详解】∵点在直线下方， ∴， 解得． ∵点在直线下方， ∴， 解得． ∵ ： ∴， 解得． ∴． 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如果向南走记为“”，那么向北走可以记为________m． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：∵向南走记为“”， ∴向北走可以记为． 故答案为：． 12. 二元一次方程组的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：， ，得， ，得，即， 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解为 故答案为：． 13. 某试管中液体发生化学反应后，温度是时间的反比例函数，其图象如图所示，则该试管中液体的温度从降到，要经过________． 【答案】2 【解析】 【分析】该题考查了反比例函数的应用，根据题意求出，再代入和求解即可． 【详解】解：设该函数的表达式为， 将代入上式，得， ， ， 当时，， 当时，， 则则该试管中液体的温度从降到，要经过． 故答案为：2． 14. 某班学生一周参加体育锻炼的时间统计如下表所示，其中有一个数据被墨汁污染了．若这组数据的唯一众数和中位数相等，则该班学生人数最少为________人． 锻炼时间/时 7 8 9 10 11 人数 5 11 12 4 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了众数和中位数，熟练应用众数和中位数的概念进行求解是解决本题的关键． 这组数据中大于9的有个，小于9的有个，即可得到中位数为9，根据这组数据的唯一众数和中位数相等得到这组数据的众数为9，得到参加体育锻炼的时间为9小时的人数最少为13人，把各组人数求和即可． 【详解】解：根据题意可知，这组数据中大于9的有个，小于9的有个， ∴中位数为9， ∵这组数据的唯一众数和中位数相等， ∴这组数据的众数为9， ∴某班学生一周参加体育锻炼的时间为9小时的人数最少为13人， ∴该班学生人数最少为（人）， 故答案为： 15. 如图1，在边长为 的正方形纸片上，以它的中心为圆心，以 为半径作半圆；再分别以，为圆心，以 为半径作四分之一圆，剪去图 中的阴影部分，得到图 ．用两个图 中的纸片，在每个纸片上各剪 刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（无缝隙、无重叠），则不同的裁剪方法共有________种． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形的剪拼，能够灵活运用面积关系是解题的关键．可求得 个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为 ，由此可得到剪拼方法． 【详解】解： 由题意可知， 个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为 ，因此各剪 刀都得到边长为 的边，再将剪下的部分拼如图相应的位置，得到一个正方形． 在每个图形上各剪一刀，如图所示： 拼接成的图形，如图所示： 拼接成的图形，如图所示： 拼接成的图形，如图所示： 共3种方法， 故答案为：． 16. 具有对称性且富有节奏感的正六边形，不仅为建筑和装饰增添了现代感，还能与多种设计风格相融合．如图1是阅览室墙上设计的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成几何图形如图2所示，若每个正六边形的边长均为2，则该置物架所占用墙面的长度d的值为________． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添适当的辅助线是解题的关键．根据题意可得：点A，B，C，D，E，F，G，H共线，连接 并延长到点H，则，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图：由题意得：点A，B，C，D，E，F，G，H共线，连接 并延长到点H，则， 由题意得：，， 在中，， ∴， ∴， ∴该置物架所占用墙面的长度d的值为19， 故答案为：19． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据根数性质，去绝对值及负指数幂直接求解即可得到； 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查根数性质，去绝对值及负指数幂，解题的关键是注意符号选取． 18. 已知：如图，在▱中，、是对角线 上的两点，且，求证：． 【答案】 证明：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 即， 在和 中， ， ， ． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出， ，得到 ，推导出，再根据 证得，即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明出． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值和二次根式化简的运算，解题的关键是根据运算法则来计算． 根据分式的运算法则进行化简，再将 的值代入求出答案． 【详解】解：， ， 当时， 原式． 20. 如图，点是半圆的圆心，直径． （1）分别在半圆上取点和点（点在点右侧），顺次连接点，，，，使得以这四点为顶点的四边形是菱形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求（1）中所作菱形的面积． 【答案】（1） 菱形 为所求 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质、菱形的判定等相关知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）根据菱形的四条边都相等，以点和点为圆心， 长为半径画弧，与半圆交于点、，连接即可完成作图． （2）连接 ，则 ，过点作 于点，得出是等边三角形，进而求得的长，即可求出菱形的面积． 【小问1详解】 解：①以为圆心，为半径作弧，交半圆于点, ②以为圆心，为半径作弧，交半圆于点, ③连接，， ，从而得到菱形 【小问2详解】 连接 ，则 ，过点作 于点， ∵ ， ∴是等边三角形， ∴ ， , ∴ , ∴， ∴． 21. 小明和小亮要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区的汽车有三辆（舒适程度不同，票价相同），但他们不知道这些车开过来的顺序．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题： （1）三辆车按出现的先后顺序，其舒适程度共有哪几种不同的可能？ （2）如果计划小明乘开来的第一辆车，小亮不乘第一辆车，并且仔细观察第二辆车的情况，若比第一辆车好，就乘第二辆车；若不比第一辆车好，就乘第三辆车．判断小明和小亮谁乘坐舒适程度为上等的车的可能性更大，并说明理由． 【答案】（1）共有6种：（上中下），（上下中），（中上下），（中下上），（下上中），（下中上）； （2）小亮坐上上等车的可能性大． 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． （1）利用列表的方法得出所有6种可能的结果； （2）利用列表法展示乘车的所有结果，然后计算他们乘坐上等车的概率，再比较概率的大小． 【小问1详解】 解：三辆车开来的先后顺序列表如图1所示： 顺序 上、中、下 上、下、中 中、上、下 中、下、上 下、上、中 下、中、上 所有可能的结果有6种； 【小问2详解】 解：列表如图2所示： 顺序 小明 小亮 上、中、下 上 下 上、下、中 上 中 中、上、下 中 上 中、下、上 中 上 下、上、中 下 上 下、中、上 下 中 小明坐上等车的概率， 小亮坐上等车的概率， 因为 所以小亮坐上等车的可能性大． 22. 阅读下列材料，解答问题． 【背景】为建设宜居宜业和美乡村，某乡镇筹集资金2000万元，准备购买污水处理设备，分别安装在10个村专门设置的场地，用于处理排放的污水，经办人员了解到如下信息． 【信息】①市场上有甲、乙两种污水处理设备，每套乙种设备价格比甲种高； ②用360万元恰好可以购买3套甲种设备和1套乙种设备； ③安装1套甲种设备需占地，1套乙种设备需占地； ④安装污水处理设备前期准备工程的费用不少于总资金的． 【解答问题】 （1）甲、乙两种污水处理设备每套的价格分别是多少万元？ （2）若每个村需要2套污水处理设备，求该乡镇安装污水处理设备总占地面积的最小值． 【答案】（1）甲种污水处理设备每套的价格为万元，则乙种污水处理设备每套的价格为 万元； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程、一次函数、一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程、函数、不等式是关键． （1）设甲种污水处理设备每套的价格为万元，则乙种污水处理设备每套的价格为万元，用360万元恰好可以购买3套甲种设备和1套乙种设备，据此列出方程并解方程即可； （2）设购买 套甲种污水处理设备，则购买乙种污水处理设备，安装污水处理设备前期准备工程的费用不少于总资金的．据此列出不等式求出 的取值范围，再设该乡镇安装污水处理设备总占地面积为，安装1套甲种设备需占地，1套乙种设备需占地，据此列出一次函数，根据一次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：设甲种污水处理设备每套的价格为万元，则乙种污水处理设备每套的价格为万元， 则， 解得 ， ∴， 答：甲种污水处理设备每套的价格为万元，则乙种污水处理设备每套的价格为 万元； 【小问2详解】 设购买 套甲种污水处理设备，则购买乙种污水处理设备， 则， 解得， 设该乡镇安装污水处理设备总占地面积为，则 ， ∵， ∴随着 的增大而增大， ∵且 为正整数， ∴当时，取得最小值，最小值为， 答：该乡镇安装污水处理设备总占地面积的最小值为． 23. 实践课上，同学们利用量角器、三角尺进行实践操作，其中 ，，小明和小华的操作如下． 小明： 做法：如图①，小明将三角尺放置在量角器上，点与圆心重合，已知这把三角尺的直角边和量角器外弧所在圆的半径相等，点是斜边 与量角器外弧所在圆的交点，点的对应刻度为． 问题1：求点对应的刻度． 问题2；将三角尺绕点顺时针旋转，能否使得 与量角器外弧所在圆相切？若能，请写出旋转度数；若不能，请写出理由． 小华： 做法：如图②，小华把斜边的三角尺叠放在量角器上，且 ，点，恰好落在量角器的外弧所在圆上，点的对应刻度为， 与外弧交于点． 问题3：求的长． 请你根据上述内容，回答小明和小华的问题． 【答案】问题1： ； 问题2：将三角尺绕点O顺时针旋转，不能使得 与量角器外弧所在圆相切，理由如下： 过点O作于点E，如图所示： ∵ ， ∴， ∴O到 的距离小于圆的半径， ∴将三角尺绕点O顺时针旋转，不能使得 与量角器外弧所在圆相切； 问题3： ． 【解析】 【分析】本题考查圆心角与它所对弧关系，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，求扇形弧长等．作出辅助线，结合图形求解是解题关键． 问题1：连接 ，由， ，推出 是等边三角形，得到 ，由B点的对应刻度为，即可求出D点的对应刻度． 问题2：过点O作于点E，然后由正弦函数得出，即可判断； 问题3：连接，设 与 交于点F，根据平行线的性质得出，再由等边三角形的判定和性质得出，然后利用解三角形求解即可 【详解】解：问题1：连接 ，如图， 在中， ∵，， ∴ ， ∵， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∵B点的对应刻度为， ∴D点的对应刻度是． 问题2：略； 问题3：连接，设 与 交于点F，如图所示： ∵点A的对应刻度为， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为：． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知点 为该抛物线上一动点（不与点重合），且横坐标为 ． （1）求点的坐标． （2）将抛物线上 ，两点之间的部分（包括端点）记作图象，当图象的高度（图象上的最高点与最低点的纵坐标之差）为时，求点 的坐标． （3）已知动点的坐标为，若是锐角，求 的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）待定系数法求解析式，即可求解，进而令，解方程，即可求得的坐标； （2） 顶点为，当 在对称轴的右侧时，即 ， 为最高点，为最低点，解方程得出 的值，当 在点的左侧，即 ，根据题意列出方程，解方程，即可求解． （3）分别求得，根据是锐角，结合勾股定理可得，进而列出不等式，解不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，抛物线与轴交于点，，与轴交于点 ∴ 解得： ∴抛物线的方程为 当时， 解得 ∴ 【小问2详解】 解：∵A的坐标是 ，P的坐标是，图象W是抛物线上从A到P的部分 ∵ 顶点为 由于抛物线开口向上，顶点在处； ∵当图象的高度为 当 在对称轴的右侧时，即 ， 为最高点，为最低点，此时 解得：或（舍去） 此时 当 在对称轴的左侧时， ∵A的坐标是 ，抛物线顶点为，高度差为 ∴ 在点的左侧，即 ∴ 解得：或 （舍去） 此时， 综上所述，或 【小问3详解】 ∵动点的坐标为，P的坐标是， ∴，， 当时，是锐角， ∴ ∴ ∴ 即 ∴ 由于，则 解得： 25. 如图1，已知 是等边三角形，点D在 内部，且，以为边作等边三角形 ，点E，B在的两侧，连接． （1）求证： ． （2）如图2，延长ED交BC于点F． ①求证：F是BC的中点； ②设AC，EF交于点O，若，求的值． （3）若 的边长是12，点P是CE的中点，请直接写出点B，P之间距离的最大值． 【答案】（1）证明：∵ 是等边三角形，是等边三角形， ∴， ∴， 即 ， ∴， ∴ （2）①证明：如图2，连接，过点作交 的延长线于点． 同上可知 ，， ． ， ， ． 又， ， ， ． 又， ， ， 即是 的中点； ② （3）． 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）①连接，过点作交 的延长线于点，证明即可得出结论； ②连接，根据条件证明，利用锐角三角函数比和相似三角形的性质，设，表示出相关线段的长度即可得出结果； （3）根据题目要求，分析各个动点的运动轨迹，确定最长时点 的位置，然后利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：如图2，连接． 是等边三角形，是 的中点， ． 又， ， ． ， 设，则，， ； 【小问3详解】 解：如图所示， 以 为直径作圆，因为，所以点的运动轨迹在此圆上， 以 为直径作圆，点为 中点，因为，所以点的运动轨迹在此 上，此时，， ∵点 为中点，点为 中点， ∴点 的运动轨迹在以为直径的上，此时，， 当点在同一条直线上时，且点 在点右侧时，取得最大值， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ， 所以，点， 之间距离的最大值为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数解直角三角形，动点的最值问题等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $