2025-2026学年高一下学期数学期末复习课程任务十 幂函数与二次函数课件

这是一份高一数学期末复习课件，聚焦幂函数与二次函数，通过主干知识梳理、知识深化、基础检测、能力达标及补充知识构建学习支架，涵盖定义、图象、性质、最值、根的分布等核心内容，助力学生系统复习。 资料特色鲜明，通过“指大图低”等口诀直观呈现幂函数图象规律（数学眼光），分类讨论二次函数在区间上的最值培养逻辑推理（数学思维），结合幂函数解析式求解、二次函数根的分布等实例强化应用表达（数学语言），助力学生巩固基础、提升解题能力，为教师提供系统复习资源，适配高一学生知识衔接需求。

高一数学期末复习课程 任务十·幂函数与二次函数 一、主干知识梳理 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数　　　　　叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.  (2)常见的五种幂函数的图象 y=xα (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0,+∞)内都有定义; ②当α>0时,幂函数的图象都过点　　　　和　　　　,且在(0,+∞)内单调递增;  ③当α<0时,幂函数的图象都过点　　　　,且在(0,+∞)内单调递减;  ④当α为奇数时,y=xα为　　　　　;当α为偶数时,y=xα为　　　　　　.  (1,1) (0,0) (1,1) 奇函数 偶函数 [知识深化] 1.幂函数图象的特征 (1)在(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越接近x轴(简记为“指大图低”). (2)在(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴. 2.幂函数y=xα(α∈R)在第一象限内图象的画法 (1)当α<0时,其图象可类似y=x-1画出. (2)当0<α<1时,其图象可类似y=画出. (3)当α>1时,其图象可类似y=x2画出. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式:f(x)=　　　　　　　　.  顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为　　　　.  零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的　　　　.  ax2+bx+c(a≠0) (m,n) 零点 (2)二次函数的图象和性质 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象(抛物线)     定义域 　　   值域 　　　　　   　　　 　　  对称轴 x=　 　  顶点坐标 　　　　　　　  R [,+∞) (-∞,] - (-) 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 奇偶性 当b=0时是　　　函数,当b≠0时是非奇非偶函数  单调性 在(-∞,-]上单调递　　　;  在[-,+∞)内单调递　　  在(-∞,-]上单调递　　　;  在[-,+∞)内单调递　　  偶 减 增 增 减 2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在[m,n]上的最值情况 二、基础检测 1.已知幂函数y=f(x)的图象过点(8,2),则f(9)的值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.9 B 解析:设幂函数为f(x)=xa,图象过点(8,2),故f(8)=8a=2, 故a=,f(x)=,f(9)==3. 2.(多选)已知α∈{-1,1,2,3},则使函数y=xα的值域为R, 且为奇函数的α的值为(　　) A.-1 B.1 C.2 D.3 BD 解析:当α=-1时,y=x-1=为奇函数,但值域为{y|y≠0},不满足条件;当α=1时, y=x为奇函数,值域为R,满足条件;当α=2时,y=x2为偶函数,值域为{y|y≥0},不满足条件;当α=3时,y=x3为奇函数,值域为R,满足条件. 3.函数f(x)=(x+2)-2的定义域为　　 　,单调递增区间是　　　　, 单调递减区间是　　　　. {x|x∈R,x≠-2} (-∞,-2) (-2,+∞) 解析:由于f(x)=(x+2)-2=,所以其定义域为{x|x∈R,x≠-2},单调递增区间是(-∞,-2),单调递减区间是(-2,+∞). 4.已知a=0.40.3,b=0.30.3,c=0.30.4,则a,b,c的大小关系是　　　　　.(用“<”连接) c<b<a 解析:由指数函数、幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3,0.40.3>0.30.3,即c<b<a. 5.已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,-3]上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　　. (-∞,4] 解析:由函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,-3]上单调递减,可得--3,即a≤4,故实数a的取值范围是(-∞,4]. 6.已知函数y=-x2+4x+2在区间[3,m]上的最大值为10, 则m的取值范围是　　　　　. [4,+∞) 解析:y=-x2+4x+2=-(x-4)2+10,当x=4时,函数y=-x2+4x+2取得最大值10, 所以m≥4. 7.f(x)=(m2-m-1)·是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数, 则实数m=(　　) A.2 B.-1 C.4 D.2或-1 A 解析:因为f(x)=(m2-m-1)是幂函数, 所以m2-m-1=1,解得m=2或m=-1, 由于f(x)在(0,+∞)内是减函数,所以m2-2m-3<0,故-1<m<3,因此m=2,故选A. 8.已知函数f(x)=x2-6x+8,x∈[1,a]的最小值为f(a), 则实数a的取值范围是　　　　　. (1,3] 解析:由于x∈[1,a],根据区间的定义可知a>1. ∵函数f(x)=x2-6x+8=(x-3)2-1,x∈[1,a],并且函数f(x)的最小值为f(a), 又函数f(x)在(-∞,3]上单调递减,在(3,+∞)内单调递增,∴1<a≤3. ①.幂函数的图象与性质 三、能力达标 例1 (1)如图所示,图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象,已知n取±2,±四个值,则相对应曲线C1,C2,C3,C4的n依次为(　 ) A.-2,-,2　　　　　　　　 B.2,,-,-2 C.-,-2,2, D.2,,-2,- B 解析:根据幂函数y=xn的性质,其在第一象限内的图象,当n>0时,n越大,y=xn增长速度越快,n越小,增长速度越慢,所以曲线C1的n为2,C2的n为;当n<0时, |n|越大,曲线减少的越快,所以曲线C3的n为-,C4的n为-2. (2)“n=1”是“幂函数f(x)=(n2-3n+3)x2n-3在(0,+∞)上单调递减”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C 解析:因为f(x)=(n2-3n+3)x2n-3是幂函数,所以n2-3n+3=1,即n2-3n+2=0,解得n=1或n=2,当n=1时,f(x)=x-1=在(0,+∞)上单调递减;当n=2时,f(x)=x在(0,+∞)上单调递增.所以“n=1”是“幂函数f(x)=(n2-3n+3)x2n-3在(0,+∞)上单调递减”的充要条件. (3)若a=(,b=(,c=(,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a B 解析:因为函数y=的图象在(0,+∞)内单调递增,所以a=(>c=(, 因为y=()x是减函数,所以c=(>b=(,所以a>c>b. (2)幂函数y=xα的图象关键要抓住第一象限内的特征与形状, 其余象限部分由奇偶性、单调性决定. (3)比较幂值大小时,务必结合幂值特点,选择恰当的函数, 借助单调性进行比较. 及时练1：(1)如图所示是函数y=(m,n∈N*且互质)的图象,则(　　) A.m,n是奇数,且<1 B.m是偶数,n是奇数,且>1 C.m是偶数,n是奇数,且<1 D.m,n是偶数,且>1 C 解析 函数y=的图象关于y轴对称,故m为偶数,n为奇数,当x∈(0,1)时,y=的图象在y=x的图象的上方,当x∈(1,+∞)时,y=的图象在y=x的图象的下方,故<1. (2)幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm在区间(0,+∞)上单调递减, 则下列说法正确的是(　　) A.m=4 B.f(x)是减函数 C.f(x)是奇函数 D.f(x)是偶函数 C 解析 函数f(x)=(m2-3m-3)xm为幂函数,则m2-3m-3=1,解得m=4或m=-1. 当m=4时,f(x)=x4在区间(0,+∞)上单调递增,不合题意;当m=-1时,f(x)=x-1在区间(0,+∞)上单调递减,满足题意,所以A错误;又f(x)=x-1在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,但不是减函数,所以B错误;又因为f(-x)==-f(x),所以f(x)是奇函数,故C正确,D错误,故选C. (3)幂函数y=(m∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)内单调递减,则m的值是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 A 解析 因为幂函数y=(m∈Z)在区间(0,+∞)内单调递减, 所以m2-2m-3<0,解得-1<m<3,因为m∈Z,得m=0,或m=1,或m=2. 当m=0时,函数y=x-3是奇函数,不关于y轴对称,故舍去,当m=1时,函数y=x-4是偶函数,关于y轴对称,符合题意,当m=2时,函数y=x-3是奇函数,不关于y轴对称,故舍去,所以m=1.故选A. ②.二次函数的解析式 例2 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,求f(x)的解析式. 解:(方法一)利用二次函数的一般式,设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由题意得解得 故所求二次函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7. (方法二)利用二次函数的顶点式, 设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ∵f(2)=f(-1),∴抛物线对称轴为x= ∴m=又根据题意函数有最大值8,∴n=8,∴y=f(x)=a(x-)2+8. ∵f(2)=-1,∴a(2-)2+8=-1,解得a=-4, ∴f(x)=-4(x-)2+8=-4x2+4x+7. (方法三)利用二次函数的两点式, 由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值为8, 即=8, 解得a=-4或a=0(舍去),故所求二次函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 及时练2 已知二次函数f(x)满足下列性质: ①定义域为R,值域为[1,+∞); ②在区间(-∞,0)上是减函数; ③图象关于直线x=2对称. 请写出满足条件的f(x)的解析式:　　　 　　.(写出一个即可)  f(x)=x2-4x+5 解析:由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式f(x)=(x-2)2+1,此时f(x)图象的对称轴为直线x=2,开口向上,满足③.因为对任意x1,x2∈(-∞,0),且x1≠x2,都有<0,等价于f(x)在(-∞,0)上单调递减,所以f(x)=(x-2)2+1,满足②.又f(x)=(x-2)2+1≥1,满足①. ③.二次函数的图象与性质 例3 (1)(多选)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,图象过点 A(-3,0),且图象的对称轴为直线x=-1,则以下选项正确的为(　　) A.b2>4ac B.2a-b=1 C.a-b+c=0 D.5a<b AD 二次函数图象的识别 解析:∵二次函数的图象与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,即b2>4ac,故A正确; ∵图象的对称轴为直线x=-=-1,∴b=2a,即2a-b=0,故B错误; 由图象可知,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,故C错误; 把x=1,x=-3代入解析式可得a+b+c=0,9a-3b+c=0, 两式相加整理可得5a-b=-c. 又当x=0时,y=c>0, ∴5a-b<0,故D正确. 例：已知函数f(x)=(m+1)x2-mx-1(m∈R)在(0,+∞)内单调递增,则实数m的取 值范围是　　　　.  [-1,0] 解析 若m+1=0,则m=-1,此时f(x)=x-1,在(0,+∞)内单调递增,符合题意; 若m≠-1,依题意应有解得-1<m≤0. 综上所述,实数m的取值范围是[-1,0]. 二次函数的单调性 变式探究1：本例中,函数解析式不变,若函数在[1,2]上单调递减,则实数m的取值范围是　　　　.  (-∞,-2] 解析 若m+1=0,则m=-1,此时f(x)=x-1,在[1,2]上单调递增,不符合题意; 若m+1>0,即m>-1时,依题意应有解得无解; 若m+1<0,即m<-1时,依题意应有解得解得m≤-2. 综上所述,实数m的取值范围是(-∞,-2]. 变式探究2：本例中,函数解析式不变,若函数在区间[-3,-2]上不单调,则实数m的取值范围是　　　　.  (-,-) 解析 若m+1=0,则m=-1,此时f(x)=x-1,在[-3,-2]上单调递增,不符合题意; 若m+1≠0,则应有-3<<-2,解得-<m<-, 因此实数m的取值范围是(-,-). 变式探究3：本例中,若函数解析式不变,且对于任意的x1,x2∈(0,+∞),当x1≠x2时都有>-2,则实数m的取值范围是　　　　　.  [-1,2] 解析 不妨设x1>x2,则>-2可化为f(x1)-f(x2)>-2x1+2x2,即f(x1)+2x1>f(x2)+2x2,若令g(x)=f(x)+2x=(m+1)x2-(m-2)x-1, 则g(x)在(0,+∞)内单调递增. (1)若m+1=0,则m=-1,此时g(x)=3x-1,在(0,+∞)内单调递增,符合题意; (2)若m≠-1,依题意应有解得-1<m≤2. 综上所述,实数m的取值范围是[-1,2]. (2)记函数f(x)=|x2-ax|在区间[0,1]上的最大值为g(a),则g(a)的最小值为(　　) A.3-2 B.-1 C. D.1 A 解析:①以下只分析函数f(x)=|x2-ax|在[0,1]上的 图象及性质,分类讨论如下: (ⅰ)当a≤0时,画出f(x)的大致图象,如图,可知函 数f(x)=|x2-ax|在区间[0,1]上单调递增, 所以g(a)=f(1)=1-a,此时g(a)单调递减, 所以g(a)min=g(0)=1. 二次函数的最值 (ⅱ)当0<a<1时,f(x)=|x2-ax|= 画出f(x)的大致图象,如图,所以g(a)=max{f(1),f()}=max{1-a,}, 易知当0<a≤2-2时,1-a,所以g(a)=1-a,当2-2<a≤1时,1-a<,所以g(a)=,所以当0<a<1时,g(a)min=g(2-2)=1-(2-2)=3-2 (ⅲ)当a≥1时,画出f(x)的大致图象,如图③④,当x∈[0,1]时,f(x)=|x2-ax|=ax-x2,易知当1≤a<2时,<1,则f(x)在[0,]上单调递增,在[,1]上单调递减,所以g(a)=f()=,当a≥2时,1,则f(x)在[0,1]上单调递增,所以g(a)=f(1)=a-1.所以当a≥1时,g(a)min=g(1)=因为1>>3-2,所以g(a)的最小值为3-2故选A. ③ ④ 及时练：已知函数f(x)=ax2-2ax+1+b(a>0). (1)若a=b=1,求函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值; (2)若函数f(x)在区间[2,4]上的最大值为9,最小值为1,求实数a,b的值. 解 (1)当a=b=1时,函数f(x)化为f(x)=x2-2x+2,其图象的对称轴为直线x=1, 而=t+ ①当t+1,即t时,函数在x=t时取得最大值t2-2t+2; ②当t+>1,即t>时,函数在x=t+1时取得最大值(t+1)2-2(t+1)+2=t2+1. 综上,当t时,最大值为t2-2t+2;当t>时,最大值为t2+1. (2)因为函数的图象开口向上,且对称轴方程为x=1, 所以函数在[2,4]上单调递增,所以当x=2时,函数f(x)取得最小值b+1; 当x=4时,函数f(x)取得最大值16a-8a+1+b=8a+1+b. 由题意,可得解得 例6 已知两函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x2+4x+4,其中k为实数. (1)对任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x),求k的取值范围; (2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围; (3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),求k的取值范围. 与二次函数有关的恒成立问题 解 (1)设h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k,问题转化为x∈[-3,3]时,h(x)≤0恒成立,故h(x)max≤0. 由二次函数的性质可知h(x)max=h(3)=86-k, 由86-k≤0,得k≥86,即k的取值范围为[86,+∞). (2)由题意,存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,即h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k≤0在x∈[-3,3]上有解,故h(x)min≤0. 由二次函数的性质可知h(x)min=h(-1)=-10-k, 由-10-k≤0,得k≥-10,即k的取值范围为[-10,+∞). (3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),所以f(x)max≤g(x)min,x∈[-3,3]. 由二次函数的性质可得f(x)max=f(3)=120-k,g(x)min=g(-1)=2. 由120-k≤2,得k≥118,即k的取值范围为[118,+∞). 及时练：已知二次函数f(x)的最小值为3,且f(1)=f(3)=5. (1)求f(x)的解析式; (2)若y=f(x)的图象恒在直线y=2x+2m+1的上方,求实数m的取值范围. 解 (1)根据题意得二次函数f(x)的顶点坐标为(2,3),设f(x)=a(x-2)2+3, 然后把点(3,5)代入,得a=2,所以f(x)=2(x-2)2+3=2x2-8x+11. (2)y=f(x)的图象恒在直线y=2x+2m+1的上方⇔f(x)-(2x+2m+1)>0恒成立,令g(x)=2x2-8x+11-(2x+2m+1)=2x2-10x+10-2m, 若g(x)=2x2-10x+10-2m>0恒成立, 则Δ=(-10)2-4×2×(10-2m)<0,解得m<-,即实数m的取值范围为(-∞,-). 所谓一元二次方程根的分布问题,就是已知一个一元二次方程根的分布情况,确定方程中系数的取值范围问题. 解决一元二次方程根的分布问题,主要根据以下几个方面建立系数变量的不等式(组)进行求解. (1)判别式Δ的符号; (2)根与系数的关系; (3)对应图象的对称轴方程x=-与所给区间的关系; (4)区间端点处函数值的符号. 一元二次方程根的分布 四、补充知识 一元二次方程根的分布问题,情况复杂,类型较多,但主要分为以下四类: 一、已知两根的正负情况 若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则 (1)两个正根⇔ (2)两个负根⇔ (3)一正一负根⇔x1x2=<0. 二、已知两根与实数k的大小关系 三、已知两根所在的区间 四、可化为一元二次方程根的分布的问题 一元二次方程根的分布问题是高中数学的重要知识点之一,很多涉及函数零点个数问题或方程根的个数问题,经过换元后都能转化为根的分布问题求解. ①.已知关于x的方程ax2+bx+c(a≠0)的两根的正负情况 例1 已知关于x的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0(a∈R). (1)若方程有两个不同正根,求实数a的取值范围; (2)若方程至少有一个正根,求实数a的取值范围. 解 (1)因为关于x的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0有两个不同正实根, 所以 解得a>10或1<a<2. 所以实数a的取值范围是(1,2)∪(10,+∞). (2)由(1)易知,当1<a≤2或a≥10时,方程有两个正根(a=2或10两根相等),满足题意;当a=1时,方程化为3x-4=0,有一个正根x=,满足题意;若方程有正、负根各一个,则解得a<1. 综上,实数a的取值范围是(-∞,2]∪[10,+∞). 2.若关于x的方程ax2-2ax+1=0有两个不同的正根,则实数a的取值范围是(　　) A.(0,1) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(-∞,0) C 解析:因为关于x的方程ax2-2ax+1=0有两个不同的正根, 所以解得a>1,即实数a的取值范围是(1,+∞),故选C. 3.若一元二次方程kx2+3kx+k-3=0的两根都是负数,则k的取值范围为 　　　　　. (-∞,-] 解析:依题意有k≠0,且解得k≤-. 及时练1：1.若一元二次方程kx2+3kx+k-3=0的两根都是负数,则k的取值范 围为　　　　　　　　　　.  (-∞,-]∪(3,+∞) 解析 依题意有k≠0,且解得k≤-或k>3. 及时练1： 2.一元二次方程ax2+5x+4=0(a≠0)有一个正根和一个负根的一个充要条件是(　　) A.a<0 B.a>0 C.a<-2 D.a>1 A 解析:因为一元二次方程ax2+5x+4=0(a≠0)有一个正根和一个负根, 设两根为x1和x2,所以解得故a<0.故选A. ②.已知关于x的方程ax2+bx+c(a≠0)的两根与实数k的大小关系 例2 （1）若一元二次方程x2-(2-a)x+(5-a)=0的两个根都大 于2,则实数a的取值范围是　　　 　　.  (-5,-4] 解析 因为一元二次方程x2-(2-a)x+(5-a)=0的两个根都大于2, 令f(x)=x2-(2-a)x+(5-a), 所以 解得-5<a≤-4. 故实数a的取值范围为(-5,-4]. (2).方程x2-2ax+4=0的两根均大于1,则实数a的取值范围是　　　　　. [2,) 解析:∵x2-2ax+4=0的两个根都大于1, ∴解得2≤a<,可求得实数a的取值范围为[2,). (3).若方程x2-kx+2=0的一根大于-1,另一根小于-1,则实数k的取值范围为 　　　　　. (-∞,-3) 解析:设f(x)=x2-kx+2,依题意可得f(-1)=k+3<0,解得k<-3, 所以实数k的取值范围为(-∞,-3). 及时练2： 1.已知方程2x2-(m+1)x+m=0有两个不相等的正实数根,则实数m的取值范围是　　　 　 　　. (0,3-2)∪(3+2,+∞) 解析:设f(x)=2x2-(m+1)x+m,依题意有 解得0<m<3-2或m>3+2. 及时练2：2.已知二次函数f(x)=(m+2)x2-(2m+4)x+3m+3有两个零点,一个大于1,一个小于1,则m的值可能为(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 B 解析 f(1)=m+2-2m-4+3m+3=2m+1,由题可知,(m+2)f(1)<0,即(m+2)(2m+1)<0,解得m∈(-2,-),故所有选项中满足题意的m的值是-1. ③.已知关于x的方程ax2+bx+c(a≠0)的两根所在的区间 例3(1)(多选题)已知一元二次方程x2+(m+1)x+=0(m∈Z)有两个实数根x1,x2,且0<x1<1<x2<3,则m的值为(　　) A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 BC 解析 设f(x)=x2+(m+1)x+,由0<x1<1<x2<3, 可得解得-<m<-, 又因为m∈Z,得m=-3或m=-4,故选BC. (2)若关于x的一元二次方程x2-2ax+4=0有两个实根,且一个实根小于1,另一 个实根大于2,则实数a的取值范围是　 .  (,+∞) 解析 设f(x)=x2-2ax+4, 由题意得 解得a> 及时练3： 关于x的一元二次方程x2+kx+2k-1=0在区间(-1,2)内、外各有一 个实数根,则实数k的取值范围是　　　　　. (-,0] 解析:令f(x)=x2+kx+2k-1,当x=-1,x=2不是方程的根时,得解得-<k<0;当x=-1是方程的根时,得1-k+2k-1=0,解得k=0,此时方程变为x2-1=0,解得x=1或x=-1,x=1在区间(-1,2)内,x=-1在区间(-1,2)外,符合题意;当x=2是方程的根时,得4+2k+2k-1=0,解得k=-,此时方程变为x2-x+2×(-)-1=0,解得x=2或x=-,此时方程的两根均在区间(-1,2)外,不符合题意,所以实数k的取值范围是(-,0]. 例4 已知关于x的方程2cos2x-asin x-2a+1=0在(-,0)内有两个不相等的实数 根,则实数a的取值范围为　　 　　. (,8-2) ④.可化为一元二次方程根的分布问题求参数的取值范围 解析:原方程可化为2sin2x+asin x+2a-3=0.令t=sin x,则方程可化为2t2+at+2a-3=0.因为x∈(-,0),所以t∈(-1,0).依题意,关于t的一元二次方程 2t2+at+2a-3=0在(-1,0)内有两个不相等的实数根,则有解得<a<8-2,故实数a的取值范围是(,8-2). 及时练4： 已知函数f(x)=若关于x的方程f2(x)-f(x)+m=0恰有四个不相等的实数根,则实数m的取值范围是　　　　　. (0,) 解析:作出y=f(x)的图象如图所示, 令f(x)=t,则方程f2(x)-f(x)+m=0等价于t2-t+m=0,若方程f2(x)-f(x)+m=0恰有四个不相等的实数根,则方程t2-t+m=0有两个不相等的实数根t1,t2∈(0,1),令g(t)=t2-t+m,则解得0<m<. 任 务 完 成 分类讨论 图象 最大(小)值 m<n<- f(x)max=f(m), f(x)min=f(n) 分类讨论 图象 最大(小)值 m<-<n, 即-∈(m,n) f(x)max=max{f(n),f(m)},f(x)min=f(-) -<m<n f(x)max=f(n), f(x)min=f(m) 根的分 布情况 两根都小于k 两根都大于k 一个根小于k, 一个根大于k 图象的大 致形状 (a>0) 满足的不 等式(组) f(k)<0 根的分 布情况 两根都小于k 两根都大于k 一个根小于k, 一个根大于k 图象的大 致形状 (a<0) 满足的不 等式(组) f(k)>0 根的分布 情况 两根都在(m,n)内 有两根且仅有一根在(m,n)内 一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内,且m<n<p<q 图象的大 致形状(a>0) 满足的不 等式(组) f(m)f(n)<0 或 根的分布 情况 两根都在(m,n)内 有两根且仅有一根在(m,n)内 一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内,且m<n<p<q 图象的大致形状(a<0) 满足的 不等式 (组) f(m)f(n)<0 或 $