2025-2026学年高一下学期数学期末复习课程任务九·对勾函数、抽象函数、一次分式函数课件

这是一份高一数学期末复习课件，共33页，聚焦对勾函数、抽象函数、一次分式函数三大核心内容。包含定义、图象性质、典型例题解析、规律方法总结及及时练，为学生搭建系统复习支架。 资料特色突出，注重数学核心素养培养。通过对勾函数基本不等式应用、抽象函数特殊值法推理、一次分式函数分离常数等实例，发展学生抽象能力、推理意识与模型观念。典型例题与及时练结合，帮助学生掌握解题方法，为教师期末复习教学提供清晰思路与实用素材，助力高一学生适应抽象思维，巩固重点提升解题能力。

高一数学期末复习课程 任务九·对勾函数、抽象函数、一次分式函数 1.对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数,又被称为“双勾函数”“对号函数”“双飞燕函数”;所谓的对勾函数,是形如f(x)=ax+(ab>0)的函数.当a≠0,b≠0时,对勾函数f(x)=ax+是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=“相加”而成的函数. 一、对勾函数 2.对勾函数的图象与性质 函数解析式 f(x)=ax+(a>0,b>0) f(x)=x+(a>0) 定义域 (-∞,0)∪(0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 值域 (-∞,-2]∪[2,+∞) (-∞,-2]∪[2,+∞) 奇偶性 奇函数 奇函数 单调性 在区间(-∞,-),(,+∞)上单调递增;在区间(-,0),(0,)上单调递减 在区间(-∞,-),(,+∞)上单调递增;在区间(-,0), (0,)上单调递减 函数解析式 f(x)=ax+(a>0,b>0) f(x)=x+(a>0) 图象     1.求函数f(x)=在x∈(-∞,0)∪(0,+∞)的值域: 解:当x>0时,由基本不等式,有x+≥2=2,当且仅当x=,即x=时,等号成立; 当x<0时,有x+=-[(-x)+]≤-2,当且仅当-x=,即x=-时,等号成立, 所以函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). 2.求下列函数在x∈(1,2]的值域: (1)y=; (2)y=. 解:(1)由已知,变形得y=, 因为x∈(1,2],所以x+∈(2,],所以∈[),所以函数值域为[). (2)由已知,变形得y==x++3, 因为x∈(1,2],所以x+∈[2,3],所以函数值域为[3+2,6]. 3.当x∈[2,5]时,函数y=的最小值为(　　) A.2 B.2-1 C.3 D.4 C 解析 y=+x=(1+x)+-1,令1+x=t,因为x∈[2,5],所以t∈[3,6],则y=t+-1,由于函数y=x+在区间[,+∞)上单调递增,所以函数y=t+-1在区间[3,6]上单调递增,因此函数在t=3时取最小值3+-1=3,故选C. 4.函数f(x)=在[0,]上的值域为　 . [] 解析 令sin x+cos x=t,则sin 2x=t2-1,于是y=,而t=sin x+cos x=sin(x+),由于x∈[0,],所以t∈[1,],因为函数y=x+在区间(0,2)上单调递减,所以g(t)=t+在[1,]上单调递减,所以g(t)∈[3,5],故y=[],即f(x)=在[0,]上的值域为[]. 及时练：已知x∈(0,),则函数y=cos x+(　　) A.有最小值4 B.有最大值4 C.无最小值 D.有最大值5 C 解析 因为x∈(0,),令t=cos x,则t∈(0,1),则y=t+,由于y=t+在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增,故y=t+在区间(0,1)上单调递减,故y=t+>5,即值域是(5,+∞),所以函数无最大值和最小值,故选C. 1.我们把不给出具体解析式,只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数,解决抽象函数问题的两种常用方法有函数性质法和特殊值法. 2.常见的抽象函数模型: 条件 案例 类型 f(x+y)=f(x)+f(y) f(x)=x 正比例函数 f(xy)=f(x)f(y) f(x)=x3 幂函数 f(x+y)=f(x)f(y) f(x)=2x 指数函数 f(xy)=f(x)+f(y) f(x)=log2x 对数函数 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) f(x)=cos x 余弦函数 f(x+T)=f(x)(T≠0) f(x)=sin x 周期函数 二、抽象函数 例1 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则f(-2)等于　　　　　. 2 解析:∵f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2, ∴令x=y=1,得f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2=6, 再令x=2,y=-1,得f(2-1)=f(2)+f(-1)-4=2,∴f(-1)=0,∴f(-2)=f(-1)+f(-1)+2=2. ①.抽象函数求值 (2)f(x)满足对任意的实数a,b都有f(a+b)=f(a)·f(b),且f(1)=2,则+…+=　　　　　. 2 024 解析:由f(a+b)=f(a)·f(b),f(1)=2,令b=1可得f(a+1)=f(a)·f(1)=2f(a), 所以+…+ +…+=2×1 012=2 024. 及时练1： (1)已知f(x)是定义域为R的奇函数,且 f(1+x)=f(-x),若f(-)=,则f()=　　　　　. - 解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(1+x)=f(-x)=-f(x), 所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即f(x)周期T=2,所以f()=f(+4)=f()=-f(-)=- (2)对于函数f(x),满足“∀x∈R,都有f(10-x)=f(x),f(5+x)=-f(x)”,且f(3)=1, 则f(7)+f(9)+f(24)=　　　. 1 解析:因为f(x)=-f(5+x)=f(x+10),所以函数f(x)的周期为10.当x=3时, 由f(10-x)=f(x)得f(7)=f(3)=1;当x=9时,由f(5+x)=-f(x)得f(9)=-f(5+9),即f(9)+f(14)=0,又因为f(14)=f(24),所以f(9)+f(24)=0,所以f(7)+f(9)+f(24)=1. 例2 (1)(多选)已知定义域为R的函数f(x)满足对任意的x≠0,y≠0都有f(xy)=f(x)+f(y),且x>1时,f(x)>0,则下列结论正确的是(　　) A.f(1)=0　　　　　　　　 B.f(x)为奇函数 C.f(x)在(0,+∞)上单调递增 D.f(x)有最小值 AC ②.抽象函数的性质 解析:令x=y=1,得f(1)+f(1)=f(1),所以f(1)=0,A正确;令x=y=-1,得f(-1)+f(-1) =f(1),所以f(-1)=0,∵f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x),∴函数f(x)为偶函数,B错误;设0<x2<x1,则f(x2)-f(x1)=f(x2)-f(x2)=f(x2)-f(x2)-f()=-f(),因为0<x2<x1,所以>1,所以f()>0,所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,C正确;根据f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,但由于f(0)的值无法确定,故无法确定函数的最小值,D错误.故选AC. (2)已知f(x)是定义在区间(0,+∞)上的增函数,且f()=f(x)-f(y),f(2)=1,如果x满足f(x)-f()≤2,则x的取值范围为　　　　　. (3,4] 解析:∵f()=f(x)-f(y),∴f(y)+f()=f(x).在上述等式中取x=4,y=2,则有f(2)+f(2)=f(4).又f(2)=1,∴f(4)=2,∴f(x)-f()≤2可变形为f[x(x-3)]≤f(4). 又f(x)是定义在区间(0,+∞)上的增函数, 解得3<x≤4.故x的取值范围是(3,4]. 及时练2： (1)已知函数y=f(x)是定义在R上的函数,那么函数y=-f(x+4)的图象与函数y=f(6-x)的图象(　　) A.关于点(1,0)对称 B.关于直线x=1对称 C.关于点(5,0)对称 D.关于直线x=5对称 A 解析:设P(m,n)是函数y=-f(x+4)图象上的任意一点,则n=-f(m+4),作等量变换n=-f[6-(2-m)],即-n=f[6-(2-m)],则点P'(2-m,-n)在y=f(6-x)的图象上, ∵P(m,n),P'(2-m,-n)关于点(1,0)对称, ∴函数y=-f(x+4)的图象与函数y=f(6-x)的图象关于点(1,0)对称,故选A. (2)(多选)已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足 f(xy)=,则(　　) A.f(x)是奇函数 B.f(x)在(-∞,0)上单调递减 C.f(x)是偶函数 D.f(x)在(0,+∞)上单调递增 AB 解析:定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足f(xy)=,令x=y=-1,则f(1)=-2f(1)+1,所以f(1)=,令x=y=1,则f(1)=2f(-1)+1,所以f(-1)=-,令y=-1,则f(-x)=-f(-x)+=-f(-x)+=-f(-x)-,所以f(-x)=-,令y=1,则f(x)=f(-x)+=-,所以f(x)=,因为f(-x)=-=-f(x),且定义域关于原点对称,所以函数f(x)是奇函数,由反比例函数的单调性可得函数f(x)=在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减.故选AB. 1.若函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1, 则f(k)=(　　) A.-3 B.-2 C.0 D.1 A ③.抽象函数高考真题 解析 令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x),即f(x+1)=f(x)-f(x-1). 从而f(x+2)=f(x+1)-f(x),f(x+3)=f(x+2)-f(x+1). 消去f(x+2)和f(x+1),得到f(x+3)=-f(x),从而f(x+6)=f(x),故f(x)的周期为6. 令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),得f(0)=2, f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2, f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1,f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1, f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2, f(k)=3[f(1)+f(2)+…+f(6)]+f(19)+f(20)+f(21)+f(22) =f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1+(-1)+(-2)+(-1)=-3. 即f(k)=-3,故选A. 2.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2), 且当x<3时,f(x)=x,则下列结论中一定正确的是(　　) A.f(10)>100 B.f(20)>1 000 C.f(10)<1 000 D.f(20)<10 000 解析 ∵当x<3时,f(x)=x, ∴f(1)=1,f(2)=2. ∵f(x)的定义域为R,且f(x)>f(x-1)+f(x-2), ∴f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5,f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21,f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89,f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377,f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987,f(16)>f(15)+f(14)>1 000. ∴f(20)>1 000.结合各选项知,选项B一定正确. B 3.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R, f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则(　 　) A.f(0)=0 B.f(1)=0 C.f(x)是偶函数 D.x=0为f(x)的极小值点 ABC 解析 对于选项A,令x=0,y=0,f(0)=0,所以A正确; 对于选项B,令x=1,y=1,f(1×1)=12×f(1)+12×f(1)=2f(1),解得f(1)=0, 所以B正确; 对于选项C,令x=-1,y=-1,f[(-1)×(-1)]=(-1)2×f(-1)+(-1)2×f(-1)=2f(-1),解得f(-1)=0;再令x=-1,y=x,f[(-1)×x]=x2×f(-1)+(-1)2×f(x),f(-x)=f(x),所以C正确; 对于选项D,用特值法,函数f(x)=0,为常数函数,且满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),而常数函数没有极值点,所以D错误. 故选ABC. 1.一次分式函数的定义:形如y=(a≠0,ad≠bc)的函数称为一次分式函数. 2.一次分式函数的图象和性质 定义域与值域 定义域:{x|x≠-};值域:{y|y≠} 对称中心 (-) 渐近线方程 x=-和y= 单调性 当ad>bc时,函数在区间(-∞,-)和(-,+∞)内分别单调递减; 当ad<bc时,函数在区间(-∞,-)和(-,+∞)内分别单调递增 三、一次分式函数 图象   例1 已知函数f(x)=的定义域是{x|x≠-3}. (1)求函数f(x)的值域; (2)若f(x)在(-∞,a)上单调递增,求实数a的取值范围. 解:依题意知,不等式x+a≠0即x≠-a的解集为{x|x≠-3},所以a=3. (1)因为f(x)==2+,由于0,所以2+2, 因此函数的值域为{y|y∈R,y≠2}. (2)因为f(x)=2+,所以函数的单调递增区间是(-∞,-3)和(-3,+∞). 又因为f(x)在(-∞,a)上单调递增,所以a的取值范围为(-∞,-3]. 及时练：(1)已知函数y=,x∈(a,b]的最小值为2,则a的取值范围是(　　) A.(1,2) B.(-1,2) C.[1,2) D.[-1,2) D 解析 由于y==1+,所以函数在(-∞,-1)内单调递减且y<1,在(-1,+∞)内单调递减且y>1,又因为当y=2时x=2,因此要使函数在(a,b]上的最小值为2,应有b=2且-1≤a<2,即a的取值范围是[-1,2),故选D. (2)(多选)已知函数f(x)=,则下列结论正确的是(　 　) A.f(x)的值域是{y|y≠4} B.f(x)的定义域为x≠2 C.f(2 026)+f(-2 022)=8 D.f(2 023)+f(-2 019)=8 ACD 解析:由f(x)==4+,则定义域为{x|x≠2},值域为{y|y≠4}, 所以(2,4)是f(x)的对称中心,则f(2 026)+f(-2 022)=f(2 023)+f(-2 019)=8, 综上,ACD正确,B错误.故选ACD. 任 务 完 成 $