2025-2026学年高一下学期数学期末复习课程任务八 函数的对称性课件

这是一份高一数学期末复习课件，共28页，包含主干知识梳理、基础检测、能力达标及补充例题。梳理了函数对称性核心内容，如奇偶函数图象对称、自身轴对称与中心对称、对称性与周期性关系等，辅以图片示意图辅助理解。 资料以“知识梳理-基础检测-能力提升”为框架，通过具体例题（如奇函数平移求函数值、对称性与周期性综合题）培养数学抽象与逻辑推理能力，结合图象直观帮助学生用数学眼光分析问题，助力学生巩固基础并提升综合应用能力，为教师期末复习教学提供系统支持。

高一数学期末复习课程 任务八·函数的对称性 1.奇函数、偶函数图象的对称性 (1)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称. (2)若f(x+a)是偶函数,则f(x)的图象关于直线x=a对称; 若f(x+a)是奇函数,则f(x)的图象关于点(a,0)对称. 2.一个函数图象的自身成轴对称 (1)函数f(x)的图象关于直线x=对称的充要条件是f(a+x)=f(b-x),其中x是f(x)定义域内的任意一个数. (2)函数f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(2a-x)=f(x)⇔(2a+x)=f(-x),其中x是f(x)定义域内的任意一个数. 一、主干知识梳理 3.一个函数图象的自身成中心对称 (1)函数f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称的充要条件是f(x)+f(2a-x)=2b,其中x是f(x)定义域内的任意一个数. (2)函数f(x)的图象关于点(a,0)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=0⇔f(2a-x)+f(x)=0⇔ f(2a+x)+f(-x)=0,其中x是f(x)定义域内的任意一个数. 4.函数的对称性与周期性的关系 (1)若函数y=f(x)的图象有两条对称轴,分别是直线x=a,x=b(a<b),则函数f(x)是周期函数,且T=2(b-a); (2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心,分别是点(a,c),(b,c)(a<b),则函数y=f(x)是周期函数,且T=2(b-a); (3)若函数y=f(x)的图象有一条对称轴直线x=a和一个对称中心点(b,c)(a<b),则函数y=f(x)是周期函数,且T=4(b-a). 5.两个函数图象的对称 (1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称; (2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称; (3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称. (4)若f(x)与g(x)关于直线x=a对称,则g(x)=f(2a-x); (5)若f(x)与g(x)关于点P(a,b)对称,则g(x)=2b-f(2a-x). 二、基础检测 1.已知函数y=f(x+2)-3是奇函数,且f(4)=2,则f(0)=　　　. 4 解析:(方法一)由y=f(x+2)-3是奇函数, ∴f(-x+2)-3=-f(x+2)+3,令x=2,f(0)-3=-f(4)+3,得f(0)=4. (方法二)由y=f(x+2)-3是奇函数,得f(x)关于(2,3)对称,故f(0)+f(4)=6,即f(0)=4. 2.若函数f(x)是R上的奇函数,则函数y=f(x-1)+1的图象必过定点　　　　. (1,1) 解析:因为函数f(x)是R上的奇函数,所以f(x)的图象过定点(0,0), 因为f(x)的图象向右平移1个单位,向上平移1个单位得到y=f(x-1)+1的图象,则函数y=f(x-1)+1的图象必过定点(1,1). 3.函数y=ex与y=e-x的图象(　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 B 4.函数y=-ex与y=e-x的图象(　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 C 解析:根据如下图象即可判断出函数 图象关于原点对称.故选C. 5.下列函数与y=ex关于x=1对称的是(　　) A.y=ex-1 B.y=e1-x C.y=e2-x D.y=ln x C 解析:f(x)=ex关于x=1对称的是f(2-x)=e2-x,即y=e2-x.故选C. 6.奇函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)的值为(　　) A.-4 B.4 C.-3 D.3 C 解析:依题意,f(x)是奇函数且关于x=2对称, 所以f(3)=f(2+1)=f(2-1)=f(1)=3,f(-1)=-f(1)=-3.故选C. 7.已知函数y=f(x)的图象经过点P(1,-2),则函数y=-f(-x)的图象必过点(　　) A.(-1,2) B.(1,2) C.(-1,-2) D.(-2,1) A 解析:y=f(x)与y=-f(-x)函数关于原点对称,y=f(x)的图象经过点P(1,-2),则函数y=-f(-x)的图象必过点(-1,2),故选A. 8.设函数f(x)=ax3-x-3+a,若函数f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,则a=( 　) A.-1 B.0 C.1 D.2 B 解析:因为函数f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,故函数f(x)的图象关于点(0,0)对称,即f(x)为奇函数,故f(-x)+f(x)=a(-x)3-(-x)-3+a+ax3-x-3+a=2a=0,所以a=0. 9.定义在R上的函数f(x),当-1≤x≤1时,f(x)=x3. 若函数f(x+1)为偶函数,则f(3)=　　　. -1 解析:函数f(x+1)为偶函数,图象关于y轴对称, 所以f(x)关于x=1对称, 即f(1+x)=f(1-x), 所以f(3)=f(1+2)=f(1-2)=f(-1)=(-1)3=-1. ①.函数图象的对称性 例1已知函数f(x)=+ax+b(x-1)3.证明:曲线y=f(x)是中心对称图形. 三、能力达标 证明:f(x)=ln+ax+b(x-1)3的定义域为(0,2), 设P(m,n)为y=f(x)图象上任意一点,P(m,n)关于(1,a)的对称点为Q(2-m,2a-n), 因为P(m,n)在y=f(x)图象上,故n=ln+am+b(m-1)3, 而f(2-m)=ln+a(2-m)+b(2-m-1)3=-[ln+am+b(m-1)3]+2a=-n+2a, 所以Q(2-m,2a-n)也在y=f(x)图象上, 由P的任意性可得y=f(x)图象为中心对称图形,对称中心为(1,a). 及时练1：(1)已知函数y=f(x)的定义域为R,且函数y=f(x+1)为偶函数,函数y=f(x+2)-1为奇函数,则(　　) A.f(-)=0 B.f(0)=1 C.f()=0 D.f(1)=1 B 解析:因为函数y=f(x+1)为偶函数,所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称,因为函数y=f(x)的定义域为R,函数y=f(x+2)-1为奇函数,所以函数y=f(x)的图象关于点(2,1)对称,且f(2)=1,所以f(0)=f(2)=1,故选B. (2)对于定义在R上的函数f(x),下述结论正确的是(　　) A.若f(x)是奇函数,则f(x-1)的图象关于点(1,0)对称 B.若f(x+1)=f(x-1),则f(x)的图象关于直线x=1对称 C.若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则f(x)为偶函数 D.函数y=f(1+x)与函数y=f(1-x)的图象关于直线x=1对称 AC 解析:对于A,∵f(x)是奇函数,∴f(x)的图象关于原点对称,而f(x-1)的图象是将f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的,∴f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,故A正确;对于B,由f(x+1)=f(x-1),得f(x)=f(x+2),其图象不一定关于直线x=1对称,若f(x)的图象如图所示,该函数解析式满足f(x)=f(x+2),但函数图象不关于直线x=1对称,故B不正确;对于C,g(x)=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则有g(x+1)=g(-x+1),即f(x)=f(-x),即f(x)为偶函数,故C正确;对于D,函数y=f(x+1)的图象与函数y=f(1-x)的图象关于y轴对称,故D不正确.故选AC. ②.对称性与周期性 例2 已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5, g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则f(k)=(　　) A.-21　 　B.-22　 　 C.-23　 　D.-24 D 解析:由g(x)的图象关于直线x=2对称,可知g(x)=g(4-x). ∵f(x)+g(2-x)=5,∴f(-x)+g(2+x)=5.又g(2-x)=g(2+x),∴f(x)=f(-x). ∵g(x)-f(x-4)=7,∴g(4-x)-f(-x)=7.又g(x)=g(4-x),∴f(x-4)=f(-x)=f(x). ∴f(x)的周期为4. 当x=0时,f(0)+g(2)=5,∴f(0)=5-g(2)=1,∴f(4)=f(0)=1. 当x=2时,g(2)-f(-2)=7,∴f(-2)=g(2)-7=-3,∴f(2)=f(-2)=-3. 当x=1时,f(1)+g(1)=5,g(1)-f(-3)=7,又f(-3)=f(1),∴g(1)-f(1)=7,∴f(1)=-1, ∴f(-1)=f(1)=-1,∴f(3)=f(-1)=-1. f(k)=5(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))+f(1)+f(2)=5×(-1-3-1+1)-1-3=-24. 及时练2： (1)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=2,则f(4)+f(5)的值为(　　) A.2 B.1 C.-1 D.-2 A 解析:∵f(x+1)为偶函数,∴f(-x+1)=f(x+1),则f(-x)=f(x+2), 又y=f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x)=f(x+2),且f(0)=0.从而f(x+4)=-f(x+2)=f(x), ∴f(x)的周期为4.∴f(4)+f(5)=f(0)+f(1)=0+2=2.故选A. (2)(多选)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x都有f(2+x)=f(2-x),且f(-x)=f(x),则下列结论正确的是(　 　) A.f(x)的图象关于直线x=2对称 B.f(x)的图象关于点(2,0)对称 C.f(x)的周期为4 D.y=f(x+4)为偶函数 ACD 解析:∵f(2+x)=f(2-x),则f(x)的图象关于直线x=2对称,故A正确,B错误; ∵f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(-x)=f(x+4),又f(-x)=f(x),∴f(x+4)=f(x), ∴周期T=4,故C正确;∵T=4且f(x)为偶函数,故y=f(x+4)为偶函数,故D正确. ③.对称性、周期性与单调性 例3 已知函数f(x)满足:①定义域为R;②f(x+1)为偶函数;③f(x+2)为奇函数;④对任意的x1,x2∈[0,1],且x1≠x2,都有(x1-x2)(f(x1)-f(x2)) >0,则f(-),f(),f()的大小关系是(　　) A.f(-)<f()<f() B.f(-)<f()<f() C.f()<f(-)<f() D.f()<f()<f(-) C 解析:∵f(x+1)在R上为偶函数,∴f(x+1)=f(-x+1),∴f(x)图象关于x=1对称. ∵f(x+2)在R上为奇函数,∴f(x+2)+f(-x+2)=0,∴f(x)图象关于(2,0)对称,且f(2)=0.又f(x+1)=f(-x+1),∴f(x)=f(-x+2)①,又f(x+2)+f(-x+2)=0,②∴由①②得f(x)=-f(x+2),∴f(x)=f(x+4),∴f(x)的一个周期为T=4,且f(0)=f(2)=0,f(x)关于(0,0)对称.又对任意x1,x2∈[0,1],都有(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0,∴f(x)在[0,1]上单调递增,∴f(x)在一个周期内的草图如图所示. ∴f(-)=f(-+4)=f()=f(2-)=f(),f()=f(-4)=f(-), 因此f(-)<f()<f(),故f()<f(-)<f(),故选C. 及时练3 (多选)定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)= f(x)+f(y),f(x+2)=-f(x),且f(x)在[-1,0]上是增函数,则下列结论中正确的是(　 ) A.f(x)是周期函数 B.f(x)的图象关于直线x=1对称 C.f(x)在[1,2]上是增函数 D.f(2)=f(0) ABD 解析:由于f(x+y)=f(x)+f(y),取x=y=0得f(0)=0;取y=-x,则有f(x)+f(-x)=f(x-x) =f(0)=0,即函数f(x)是R上的奇函数,由f(x+2)=-f(x)得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),因此函数f(x)是以4为周期的周期函数,故A选项正确;f(x+2)=-f(x)=f(-x),因此f(x)的图象关于直线x=1对称,故B选项正确;因为f(x)在[-1,0]上是增函数,f(x)为奇函数,则f(x)在[0,1]上是增函数,又因为f(x)图象关于直线x=1对称,于是得f(x)在[1,2]上是减函数,故选项C错误;由f(x+2)=-f(x)得f(2)=-f(0)=0=f(0),故选项D正确,故选ABD. 四、补充例题 1.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且函数f(x+1)为偶函数,当-1≤x≤0 时,f(x)=x3,则f()等于(　　) A. B.- C. D.- A 解析 由函数f(x+1)为偶函数,可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称, 所以f(2+x)=f(-x), 又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(4+x)=f(-2-x)=-f(2+x)=-f(-x)=f(x),可得函数f(x)的周期为4, 所以f()=f(-4)=f()=-f(-)=故选A. 2.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数,f(x)在[2,+∞)内单调递减,则不等式f(-x2)>f(-1)的解集为　　　　.  (-1,1) 解析 ∵f(x+2)是偶函数, ∴f(x)的图象关于直线x=2对称, 又f(x)在[2,+∞)内单调递减, ∴f(x)在(-∞,2]上单调递增. 又-x2,-1∈(-∞,2],f(-x2)>f(-1), ∴-x2>-1,即x2<1, ∴-1<x<1, ∴所求不等式的解集为(-1,1). 3.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)是偶函数,f(2x+1)是奇函数,则下列选项中值一定为0的是(　　) A.f(-) B.f(-1) C.f(2) D.f(43) B 解析:(方法一)因为f(2x+1)是奇函数,所以f(-2x+1)=-f(2x+1), 且有f(2×0+1)=f(1)=0,又因为f(x+2)是偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2), 令x=1代入得f(3)=f(1)=0,在f(-2x+1)=-f(2x+1)中, 令x=1代入得f(-1)=-f(3)=0,故一定有f(-1)=0,故选B. (方法二)因为函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)是偶函数,f(2x+1)是奇函数, 所以可取f(x)=cos(x),这时f(-)=,f(-1)=0,f(2)=-1,f(4)=1,故选B. 4.设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f=(　　) A.- B.- C. D. D 解析:∵f(x+1)是奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1).∴f(x+2)=f(x+1+1)=-f(-x). ∴f(2-x)=f(1-x+1)=-f(x).∵f(x+2)是偶函数,∴f(x+2)=f(2-x),∴-f(-x)=-f(x), 即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[-(x+2)+2]=f(-x)=f(x), ∴函数f(x)的周期为4,∴f(3)=f(1)=0.∵f(0)=f(-1+1)=-f(1+1)=-f(2), ∴f(0)=-f(2).∵当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b,∴由f(1)=0得a+b=0. ∵f(0)+f(3)=6,∴f(0)=6,∴f(2)=-6.即4a+b=-6,∴a=-2,b=2, ∴f=f=-f=-[-2+2]=故选D. 5.已知定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,1]上单调递增,若函数f(x+1)为偶函数,且f(3)=0,则不等式f(x)>0的解集为　　　　.  (-1,3) 解析 因为f(x)定义域为R,且f(x+1)为偶函数,则f(1+x)=f(1-x), 所以f(x)的图象关于直线x=1对称, 因为f(3)=0,则f(-1)=f(3)=0, 因为f(x)在区间(-∞,1]上单调递增,则f(x)在区间[1,+∞)上单调递减, 当x≤1时,由f(x)>0=f(-1)可得-1<x≤1;当x>1时,由f(x)>0=f(3)可得1<x<3. 综上,不等式f(x)>0的解集为(-1,3). 任 务 完 成 $