2025-2026学年七年级数学下册期末考试高频重难点易错题检测卷二（苏科版）

**基本信息** 聚焦七年级下册高频重难点，以易错题为载体，系统整合代数运算、方程不等式与几何变换，通过分层题型渗透抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数运算|选择1-3、填空11-12|幂的运算法则、新定义转化、完全平方配方|从基本运算到符号抽象，构建“定义-法则-应用”链条| |方程与不等式|选择5-8、填空13-14|同解方程组求解、不等式实际建模|方程与不等式的转化，培养数据观念与模型意识| |几何变换|选择9-10、填空15-16|平移性质应用、旋转角度计算|从图形运动到性质推导，发展几何直观与空间观念| |综合应用|解答19-24|动态几何分类讨论、折纸问题建模|跨模块知识融合，提升应用意识与创新思维|

2025-2026学年七年级数学下册期末考试高频重难点易错题检测卷二 一、选择题 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知 ，，则的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 3．现定义一种新运算“”．对任意有理数、，规定：，例如，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．下列命题是真命题的是（     ） A．同位角相等 B．一对邻补角的角平分线互相垂直 C．垂直于同一直线的两直线互相平行 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 5．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．某商场促销，小明将促销信息告诉了妈妈，小明妈妈假设某一商品的定价为x元，并列出不等式为，那么小明告诉妈妈的信息是（   ） A．买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不超过900元 B．买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不超过900元 C．买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到900元 D．买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不到900元 7．如关于的方程组和有相同的解，则的值是（    ） A．2 B． C．1 D．0 8．在“双减”政策下，王老师把班级里40名学生分成若干小组，每组只能是4人或6人，则不同的分组方案有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 9．如图，将直角三角形沿方向，平移3个单位到三角形的位置，与相交于点H，连接，，，，．有下列结论： ①；②；③； ④阴影部分的面积与四边形的面积相等； ⑤三角形与三角形的周长和是16． 其中正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，将绕点顺时针旋转，使点落在边上的点处，点落在点处，连接，若，则为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如果等式，则等式成立的x的值为_____ ． 12．若多项式是一个完全平方式，则的值是___________． 13．已知关于、的方程组，解满足不等式，则__________． 14．若与互为相反数，则的值为_____________． 15．如图，已知，平分平分，则的度数为______． 16．如图，将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形，交于点H，若，，阴影部分的面积为21，则图中平移距离为_____． 三、解答题 17．计算： (1) (2) 18．解方程组： (1)； (2) 19．为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该校从商店购买了A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． (1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买A种品牌的足球不超过43个，则有哪几种购买方案？ 20．如图，已知现有三个条件：①；②；③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题． (1)你能构造几个真命题？把它们都写出来； (2)请选择一个真命题进行证明． 21．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则， 即． (1)根据上述规定，填空：_____；_____；_____． (2)计算_____． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意正整数都成立． 22．为了提高业主的宜居环境，某小区准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一横一竖、互相垂直且宽度均为的通道． (1)求通道的面积； (2)求剩余草坪的面积； (3)当时，求剩余草坪的面积． 23．已知：如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线上，连接平分，平分． (1)如图1，当时，请求出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好与的其中一条边所在直线平行，请直接写出所有满足条件的t的值． 24．折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】动手折叠若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，在长方形纸片的边上找到一个异于A，D的点E，连接，，将纸片分别沿，折叠，点A落在点F处，点D落在点G处． (1)【问题初探】如图（1），若点F在线段上，直接写出 °； (2)【问题再探】如图（2）、（3），当E，F，G三点不共线时，若，请在图（2）、（3）中选取一个，求出的度数（用含β的代数式表示）； (3)【问题深探】如图（4），在边上取一点M，连接，将纸片沿折叠，点A落在点H处，当点M在边上移动到使时，若，直接写出和的数量关系． 参考答案 1．D 【分析】根据幂的运算法则与合并同类项法则逐一计算选项即可判断正误． 【详解】解：A、，，故A错误． B、，，故B错误． C、，，故C错误． D、 ，运算正确，故D正确． 2．C 【分析】运用幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则，将所求式子变形后代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 3．B 【分析】根据新运算列出算式，再根据平方差公式和单项式乘多项式法则计算即可． 【详解】解：根据新运算得： ． 4．B 【详解】解：选项A，只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，原命题未说明两直线平行，所以A是假命题，不符合题意； 选项B，一对邻补角的和为，角平分线将两个邻补角各分为一半，两个半角的和为，即两条角平分线夹角为直角，互相垂直，所以B是真命题，符合题意； 选项C，只有在同一平面内，垂直于同一直线的两直线才互相平行，原命题未限定同一平面，所以C是假命题，不符合题意； 选项D，只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出已知直线的平行线，原命题未限定点的位置，所以D是假命题，不符合题意． 5．B 【分析】由第一个不等式的解集确定，且，化简第二个不等式可得，结合可得． 【详解】解：， ∴， ∵解集为， ∴，且， ∴， ， ∴， 移项并合并同类项，得， ∵， ∴两边同除以，得． 6．C 【分析】本题考查根据不等式还原实际问题描述，解题关键是按照运算顺序理解不等式各部分的实际意义，明确不等号的含义． 【详解】解：∵一件商品定价为元，列出的不等式为 . ∴表示两件等值商品的总价，表示两件商品总价减去100元，即先减100元； 整体乘表示减100元后再打八折； 不等号表示最后总价不到900元； 因此信息为：买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到900元． 7．D 【分析】根据两个方程组有相同解，说明该解满足所有方程，先联立不含参数的方程求出，再代入含参数的方程求出，即可计算的值． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴该解满足所有方程， 先联立不含的方程得， 由①②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 把代入含的方程，得， 由④得 ，代入③得 ， 整理得， 解得， 把代入 ， 得， ． 8．B 【分析】设4人组数量为，6人组数量为，根据总人数得到二元一次方程，结合均为非负自然数，找出所有符合条件的解，即可得到分组方案的数量． 【详解】解：设可以分成组4人组，组6人组， 依题意得：， 化简得：， 变形得：， ∵均为非负自然数， ∴为非负偶数， 可得的所有可能取值为， 对应得到的值分别为，均符合要求， 因此共有4种不同的分组方案． 9．C 【分析】根据平移的性质得到，， ，据此逐一判断即可． 【详解】解：由平移的性质可得，， ，故①正确， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴阴影部分的面积与四边形的面积相等，故④正确； 三角形与三角形的周长和 ，故⑤错误； ∴正确的有4个． 10．A 【分析】本题主要考查了旋转的性质以，涉及三角形内角和定理，设，依据旋转的性质，可得，，再根据三角形内角和定理列方程求解即可得出．熟记旋转前、后的图形是全等图形是解决问题的关键． 【详解】解：设，由旋转的性质，可得 ， ， 又， ， 又中，， ， ，即， 故选：A． 11．或2或1 【分析】需分三种情况讨论：①指数为且底数不为；②底数为；③底数为且指数为偶数，分别计算验证即可． 【详解】解：分三种情况讨论： （1）当且时， 由得， 此时，则，符合题意． （2）当时， 解得， 此时，则，符合题意． （3）当时， 解得， 此时，则，符合题意． 综上所述，等式成立的的值为或或． 12． 【分析】根据在完全平方式中，两项是两个数或式的平方且符号相同，另一项是这两个数或式乘积的2倍，符号可正可负，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵多项式是完全平方式， ∴， ∴，即． 13． 【分析】先得出方程组的解为，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由可得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 14． 【分析】由题意可得关于a、b的二元一次方程组，解方程组得到a、b的值，然后可以得解． 【详解】解：由题意，得， ∴， 解得：，， ∴． 15． 【分析】根据角平分线可设，过点作，过点作，则，再由平行线的性质建立方程组求解即可． 【详解】解：∵平分平分 ∴， 设 过点作，过点作 ∵ ∴ ∴，， ∴ ∴ 解得 ∴． 16．3 【分析】因为平移前后图形全等，所以，由此可得阴影部分面积等于梯形的面积． 根据，，求出的长度．利用梯形面积公式列出关于的方程，求解即可． 【详解】由平移得，，，平移距离为的长度． 两个三角形面积相等，同时减去公共部分的面积， 可得：． ∵， ∴． ∵梯形是直角梯形， ∴， ∴ ， 解得， 即平移距离为． 17．(1) 7 (2) 1 【分析】（1）先分别计算绝对值，零次幂，负整数指数幂，及根据积的乘方逆运算计算高指数幂乘法，再计算乘法及加法即可； （2）根据完全平方公式分解因式进行计算 【详解】（1）解： （2） 18．(1) (2) 【分析】（1）根据代入消元法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可； （2）根据加减消元法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】（1）解： 将①代入②，得 ， 解得， 将代入①，得 ， ∴原方程组的解为； （2）解： ，得 ， ，得 ， 解得， 将代入①，得 ， 解得， ∴原方程组的解为． 19．(1)A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元 (2)共有2种购买方案，分别为：方案一：购买42个A种品牌足球，8个B种品牌足球；方案二：购买43个A种品牌足球，7个B种品牌足球 【分析】（1）根据总花费和单价差的条件列二元一次方程组，求解即可得到单价； （2）设购买A种足球的数量，根据总费用限制和A数量的限制列不等式组，结合数量为正整数，即可得到所有购买方案． 【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价是元，B种品牌足球的单价是元， 根据题意得： 解得： 答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元. （2）设购买A种品牌足球个，则购买B种品牌足球个，为正整数， 根据题意得： 解得， ∵为正整数， ∴的取值为42，43， 当时，； 当时，； 因此共有2种购买方案，分别是：方案一：购买42个A种品牌足球，8个B种品牌足球；方案二：购买43个A种品牌足球，7个B种品牌足球． 20．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，真假命题的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）两两组合，可以组成三个命题，且均为真命题； （2）利用平行线的判定与性质证明即可． 【详解】（1）解：可以构造3个真命题， 若，，则； 若，，则； 若，，则； （2）解：若，，则 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若，，则； 证明：∵， ∴，， ∴， ∴； 若，，则； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．(1)2，0，3 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题干规定计算即可得到结论； （2）设，，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）设，于是得到，即根据“雅对”定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∴，即， ∴，即， ∴． 22．(1)通道的面积为 (2)剩余草坪面积为 (3)剩余草坪面积为 【分析】本题考查代数式的计算以及求值，熟练运用代数式进行计算是解题的关键． （1）通道总面积可视为互相垂直的矩形面积之和减去重叠部分的面积，利用代数式进行计算化简即可； （2）利用原草坪面积减去通道面积即可； （3）将代入（2）中结果即可． 【详解】（1）解：通道总面积可视为互相垂直的矩形面积之和减去重叠部分的面积， 故面积为： 故通道的面积为． （2）解：∵ 原草坪面积为：， 剩余草坪面积：， 故剩余草坪面积为． （3）解：将，代入， 得， 故剩余草坪面积为． 23．(1) (2) (3)或5.5或11.5 【分析】本题考查了平行线判定，三角形内角和定理及其推论，旋转的性质，四边形内角和等知识，解决问题的关键是正确分类，并找出相等关系列方程． （1）过点作，过点作，利用平行线的性质和角平分线的性质计算角度即可； （2）按照（1）的思路即可解答； （3）分为的三边分别与平行，当时，与同的夹角（锐角）相等，从而列出方程求得结果，同样的方法求得当和，当时的结果． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， 设， ， ， ， 平分，平分， ，， 如图，过点作， ， ， ， ， ; （2）解：如图，过点作，过点作， 则可得，， 设，， 根据上述原理可得，， ，， ， 即； （3）解：如图，当时， 设交于， ， ，， ， 由题意可得， ， ， ，即， ， 如图，当时， 同理可得：， ， 如图，当时， 设的延长线交于， ，， ， ， ， 由，得， ， 综上所述：或5.5或11.5． 24．(1)90 (2)选择图（2）：；选择图（3） (3)或 【分析】（1）根据折叠可得：，，再根据，即可得出答案； （2）设，，根据图形中角度关系求出，根据求出结果即可； （3）分两种情况讨论：当在下方时，当在上方时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠可得：，， ∵， ∴； （2）解：选图（2），由折叠可知：，， 设，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴ ； 选图（3），由折叠可知，， 设，， ∵， ∴， 即， ∴ ； （3）解：如图，当在下方时， 由折叠可知：，， 设，则， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴； 如图，当在上方时， 由折叠可知：，， 设，则， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴； 综上，或． 学科网（北京）股份有限公司 $