精品解析：上海市南洋中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

高一年级数学学科期末考试试题 （满分120分，考试时间100分钟） 一、填空题（本大题共有12题，满分48分，每题4分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分． 1. 异面直线所成的角的取值范围：___________． 2. 用集合符号表述语句“平面经过直线”：________． 3. 已知扇形半径 ，圆心角为，那么它的面积为________． 4. 若，则 ________． 5. 函数，的值域是________． 6. 向量在向量上的投影向量的坐标为________． 7. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ， ，则原四边形中最长边的长度为________． 8. 如图，在边长为4的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面面积是________． 9. 在复平面内，已知复数满足， 为虚数单位，则的最大值为____________. 10. 已知平面向量，，，．若与的夹角为锐角，则的取值范围是________． 11. 把函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数的图象关于点对称，则实数的最小值为___________. 12. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若 平面BEF，则AP与平面成角的正弦值的取值范围是___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分16分，每题4分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分． 13. 已知函数 的最小正周期为 ，则实数的取值是（ ） A. B. C. D. 14. 已知函数，则函数的部分图象可以为（ ） A. B. C. D. 15. 设，为不重合的平面，，，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（ ） ①若 ， ，则； ②若， ，则； ③若，，则； ④若， ，，则； A. ① B. ①② C. ①③ D. ①④ 16. 在单位正方体中，点P在线段上，点Q线段上．①二面角的大小为定值；②长度的最小值为．对于以上两个命题，下列判断正确的是（ ） A. ①正确，②正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①错误，②错误 三、解答题（本大题共有5题，满分56分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17. 已知实系数一元二次方程有虚根 ，另一根为． （1）求实数 的值； （2）求的值． 18. 如图，在四面体中，，，､分别为､的中点 （1）求证：直线和为异面直线. （2）求直线和所成角的大小. 19. 如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米， 千米． （1）求线段的长度； （2）若，求两条观光线路与之和的最大值． 20. 已知，，记． （1）求函数的解析式，并求在上的单调减区间； （2）若，恰有2个零点，，求实数的取值范围和的值． 21. 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.两个复向量的数量积记作，定义为，复向量的模定义为.记 为虚数单位. （1）设，求复向量与的模； （2）对两个复向量与，若时，称与平行.设，，是否存在实数，使与平行，若存在，求出；若不存在，请说明理由. （3）我们知道对于任意平面向量与，都有；对任意两个复向量与，不等式是否仍成立，试给出判断，并说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级数学学科期末考试试题 （满分120分，考试时间100分钟） 一、填空题（本大题共有12题，满分48分，每题4分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分． 1. 异面直线所成的角的取值范围：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的范围可得结果. 【详解】异面直线所成的角的取值范围是. 故答案为：. 2. 用集合符号表述语句“平面经过直线”：________． 【答案】 【解析】 【详解】略. 3. 已知扇形半径 ，圆心角为，那么它的面积为________． 【答案】 【解析】 【详解】扇形半径 ，圆心角为， 所以扇形面积为. 4. 若，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数诱导公式化简即可求解. 【详解】. 5. 函数，的值域是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据的取值范围求出的范围，再结合余弦函数的单调性计算值域. 【详解】令，由，可得， 又余弦函数 在区间上单调递减，因此在上也单调递减， 当 时，函数取得最大值 ； 当时，函数取得最小值， 故函数，的值域为. 6. 向量在向量上的投影向量的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的公式，结合向量数量积运算的坐标公式代入求解即可. 【详解】解：由在上的投影向量为， 因为，，所以， 因此，在上的投影向量的坐标为. 7. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ， ，则原四边形中最长边的长度为________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据斜二测画法还原规则，将直观图中相关线段长度按“平行于轴长度不变，平行于轴长度加倍”还原，再通过勾股定理计算出原四边形各边长度，即可求得最长边. 【详解】将直观图还原为原图，如图： 在直观图中， ，则，故在原图中，， ， 所以 ，而 ，故原四边形中最长边的长度为3. 8. 如图，在边长为4的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面面积是________． 【答案】18 【解析】 【分析】首先根据平行的性质，作出截面，再求面积. 【详解】连接，， 因为 且 ，所以四边形为平行四边形，所以 . 又因为为中点，为中点， 所以 ，所以即四点共面，而平面是过、、的截面，且三点、、不共线， 所以四边形为截面图形，且截面为等腰梯形，由棱长为4， ，过点作于点， 所以， 所以截面的面积为 . 9. 在复平面内，已知复数满足， 为虚数单位，则的最大值为____________. 【答案】6 【解析】 【分析】将问题化为定点到圆上点距离的最大值，即可求解. 【详解】令且，则，即复数对应点在原点为圆心，半径为1的圆上， 而，即点 到定点距离的最大值， 所以的最大值为. 故答案为： 10. 已知平面向量，，，．若与的夹角为锐角，则的取值范围是________． 【答案】; 【解析】 【分析】依题意可知且与不共线，由向量数量积的坐标表示计算解不等式可得结果. 【详解】由可得，； 若与的夹角为锐角，可知且与不共线， 因此，且； 即可得且， 因此的取值范围为. 11. 把函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数的图象关于点对称，则实数的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题得，再根据题意得，再求解最小值即可得答案. 【详解】解：，把函数的图象向右平移个单位长度后得函数，图象关于点对称， 所以，， 因为 ，当时，实数的最小值为. 故答案为： 12. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若 平面BEF，则AP与平面成角的正弦值的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线面平行判定定理以及面面平行判定定理，利用线面角的定义，结合锐角三角函数的定义，可得答案. 【详解】如图，取的中点，的中点M，连接AM，AN，MN，，， 由正方体，E，N分别为，的中点， 易知，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面BEF，平面BEF，所以平面BEF， 因为E，F分别为，的中点，由中位线性质可得，同理可知，所以， 又因为 平面 ，平面 ，所以 平面 ，又，平面AMN，所以平面平面 ， 因为P是底面上一点，且 平面 ，所以点， 由分别为的中点，且，，则，，即， 由，则 在等腰 中，底边上的高， 则AP的长度的取值范围为， 设与平面成角为，在正方体中，易知平面，且为垂足， 所以． 故答案为：. 【点睛】本题的解题关键在于面面平行的性质定理以及线面角定义的理解，利用正方体的几何性质，得以解题. 二、选择题（本大题共有4题，满分16分，每题4分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分． 13. 已知函数 的最小正周期为 ，则实数的取值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由 ，得 . 14. 已知函数，则函数的部分图象可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由奇偶性可排除BD，再取特殊值可判断AC，从而得解 【详解】因为的定义域为，且 ， 所以为奇函数， 故BD错误； 当时，令，易得 ， 解得， 故易知的图象在轴右侧的第一个交点为， 又，故C错误，A正确； 故选：A 15. 设，为不重合的平面， ， ，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（ ） ①若 ， ，则； ②若， ，则； ③若，，则； ④若， ，，则； A. ① B. ①② C. ①③ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】由平行公理即可判断①；平行于同一平面的两条直线可能平行、相交、异面，可判断②错误；根据直线平行于一组平行平面中的一个平面，该直线可能平行于另一平面，也可能在另一平面内，即可判断③；根据两平行平面中的任意两条直线可能平行，也可能异面，可判断④. 【详解】解：由平行公理可知， ， ，则，所以①正确； 平行于同一平面的两条直线可能平行、相交、异面，所以②错误； 由，，则或，所以③错误； 由， ，，则或 与 异面，所以④错误. 16. 在单位正方体中，点P在线段上，点Q线段上．①二面角的大小为定值；②长度的最小值为．对于以上两个命题，下列判断正确的是（ ） A. ①正确，②正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①错误，②错误 【答案】A 【解析】 【分析】由题意根据平面具有延展性可知二面角的大小实质为面与平面所成的二面角判断①；将平面沿直线翻折到平面内，过点做，，此时，的值最小，判断②. 【详解】 对于①，平面即为平面，平面与平面所成的二面角为定值，故二面角为定值，①正确; 对于②，将平面沿直线翻折到平面内，平面图如下， 过点做，，此时，的值最小. 由题可知， 则， 故，又故的最小值为，故②正确. 故选：A. 三、解答题（本大题共有5题，满分56分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17. 已知实系数一元二次方程有虚根 ，另一根为． （1）求实数 的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将根代入方程，根据复数相等的条件求出 的值；（2）由根与系数的关系得到 ，代入求解. 【小问1详解】 实系数一元二次方程有虚根 ， 代入可得 ， 化简得 ， ，解得. 【小问2详解】 ， ， . 18. 如图，在四面体中， ，，､分别为､的中点 （1）求证：直线和为异面直线. （2）求直线和所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据异面直线的定义判断证明； （2）取中点，连接、 ，根据已知及异面直线所成角的定义找到其平面角，进而确定其大小. 【小问1详解】 由平面，故平面，而平面，， 又平面，故平面，故直线和为异面直线； 【小问2详解】 取中点，连接、 ，由于、分别为、的中点， 所以，且， 故直线和所成角，即 或其补角， 因为，故，因为 ，故 ，故， 所以直线和所成角为. 19. 如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米， 千米． （1）求线段的长度； （2）若，求两条观光线路与之和的最大值． 【答案】（1）3千米 （2）6千米． 【解析】 【分析】（1）在 中，根据余弦定理解三角形即可； （2）设，由正弦定理得，，可得，根据可得其最大值. 【小问1详解】 在 中，由余弦定理得， ，得， 所以线段的长度为3千米． 【小问2详解】 设，因为， 所以，在中，由正弦定理得， ， 所以，， 因此 因为，所以． 所以当，即时，取到最大值6． 所以两条观光线路 与 之和的最大值为6千米． 20. 已知，，记． （1）求函数的解析式，并求在上的单调减区间； （2）若，恰有2个零点，，求实数 的取值范围和的值． 【答案】（1） ； （2） ； 【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积的运算公式，可得 ，结合三角函数的性质，即可求解； （2）化简得到，转化为有两个根，即可求得 的取值范围，再由正弦函数的对称性，即可求解. 【小问1详解】 解：由向量，， 可得 ， 因为，可得， 令，解得， 所以函数在上的单调减区间. 【小问2详解】 解：由， 因为，所以 ， 当时，即时，函数单调递增； 当 时，即时，函数单调递减， 且当时，可得，可得， 当时，可得，可得 ， 当 时，可得，可得 ， 因为在恰有2个零点，则 有两个根， 即有两个根，则 ，解得 ， 即实数 的取值范围为 ， 由函数在恰有2个零点，即在的两个根， 令，可得 ，即在 的两个根， 又由 的图象关于直线对称，所以，即 ， 即 ，所以，所以. 21. 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.两个复向量的数量积记作，定义为，复向量的模定义为.记 为虚数单位. （1）设，求复向量与的模； （2）对两个复向量与，若时，称与平行.设，，是否存在实数 ，使与平行，若存在，求出 ；若不存在，请说明理由. （3）我们知道对于任意平面向量与，都有；对任意两个复向量与，不等式是否仍成立，试给出判断，并说明理由； 【答案】（1）；； （2）不存在，理由见解析 （3）成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由复向量的模的定义代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由给定的平行条件代入计算，即可判断； （3）根据题意，由复数的三角不等式代入计算，即可判断. 【小问1详解】 因为，所以， 所以的模为； 因为，所以， 可得的模为； 【小问2详解】 不存在 ， 得， 若与平行，则， 得， 得，而，则此方程无实数根， 故不存在实数 ，使得与平行. 【小问3详解】 因为，所以， 由复数的三角不等式， 由，得，所以， 所以， 综上所知，. 【点睛】关键点睛：本题主考考查了向量的新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于理解所给定义并且结合向量坐标运算的相关知识解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $