上海市上海中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题

上海中学2022学年第二学期高一年级数学期末 2023.6 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 已知复数，为虚数单位，则_________． 2. 已知点，，若点满足，则点坐标为_________． 3. 已知复数满足 (为虚数单位)，则=__________ 4. 若非零向量、，满足，，则与的夹角为___________. 5. 在正方体中，与交于点，则直线与直线的夹角为________. 6. 已知复平面上平行四边形的顶点，，，按逆时针方向排列，则向量所对应的复数为_________． 7. 设，则集合的子集个数是___________. 8. 已知向量，且，的夹角为，，则在方向上的投影向量等于___________. 9. 如图，在四棱锥中，底面，若为棱上一点，满足，则__________． 10. 已知复数，，为虚数单位，若，复数，对应向量分别为，，存在使得等式成立，则实数的取值范围为_________． 11. 如图，在中，分别为上的点，且，，.设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为______ 12. 已知的外接圆圆心为O，，，若（为实数）有最小值，则参数的取值范围是______. 二、选择题（每题4分，共16分） 13. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则，则 D. 若，，则 14. 已知为所在平面内一点，是中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ） A. 内心 B. 垂心 C. 重心 D. 边的中点 15. 如图，在矩形中，分别为边上的点，且，，设分别为线段的中点，将四边形沿着直线进行翻折，使得点不在平面上，在这一过程中，下列关系不能成立的是（ ） A. 直线直线 B. 直线直线 C. 直线直线 D. 直线平面 16. 已知个两两互不相等的复数，满足，且，其中；，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 三、解答题（本大题共有5题，共48分，解答时必须写出必要的步骤） 17. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）求． 18. 如图，为平面外一点，底面，四边形是矩形，，点是的中点，点在边上移动． （1）当点为中点时，求证：平面； （2）求证：无论点在边的何处，都有． 19. 已知关于x的实系数一元二次方程. （1）若复数z是该方程的一个虚根，且，求m的值； （2）记方程的两根为和，若，求m的值. 20. 利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． （1）设，，为虚数单位，求复向量、的模； （2）设、是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数． 21. 如图，已知是边长为1的正的外心，为边上的等分点，为边上的等分点，为边上的等分点． （1）当时，求的值； （2）当时． ①求值（用含，的式子表示）； ②若，分别求集合中最大元素与最小元素的值． 上海中学2022学年第二学期高一年级数学期末 2023.6 一、填空题（每题3分，共36分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】## 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】## 【7题答案】 【答案】8 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（每题4分，共16分） 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（本大题共有5题，共48分，解答时必须写出必要的步骤） 【17题答案】 【答案】（1）； （2）. 【18题答案】 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析. 【19题答案】 【答案】（1）－2 （2）或 【20题答案】 【答案】（1）， （2）①证明见解析；② 【21题答案】 【答案】（1）； （2）①；②最大值为，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $