上海市静安区2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

**基本信息** 以三角函数、数列、向量等核心知识为载体，通过实际测量（篮球场测楼高）、斜坐标系创新题等设计，考查数学抽象、运算推理及应用意识，体现从数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界的素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|10/52|三角函数定义、复数方程、等差等比数列|基础巩固，如第4题等差数列应用| |选择题|4/24|复数几何意义、命题判断、函数模型（温度变化）|能力辨析，如第14题实际情境函数值域| |解答题|5/74|数列证明、复数综合、实际测量、斜坐标系|创新应用，如第17题测距/测角方案设计，第19题斜坐标系拓展|

null 高一数学 （满分150分，完卷时间120分钟） 一、填空题（本大题共10小题，满分52分）第1小题至第8小题每个空格填对得5分，第9、第10小题每个空格填对得6分，应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分． 1．若角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边过点，则_______． 2．在复数范围内，方程的根为_______． 3．化简：________． 4．某团体操队形由若干排组成，从第2排起，每一排都比前一排多相等数目的人数．若第3排有 7个人，第8排有17个人，则第10排有_______个人． 5．已知，则的值为________． 6．设数列为等比数列，已知，，则的值为_______． 7．已知，则的值为________． 8．已知向量，，设．则函数的值域为 ________． 9．已知正项数列，其前项和为，且()．则数列的通项公式为 ________． 10．如图，在平行四边形中，，，，是对角线的交点，点、满足．则的值为________．E M C B D A N 二、选择题（本大题共4小题，满分24分）每小题6分．每题有且仅有一个正确答案，应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑． 11．已知，，，则的值为………………………………………( )． A．25； B．7； C．5； D．1． 12．在复平面上，为坐标原点，设复数、所对应的点分别为、，则△ 的面积为 ……………………………………………………………………………………( )． A. 6； B. 3； C. 2； D. 1． 13．对于以下四个命题： ① 如果是第一象限的角，那么也是第一象限的角； ② 如果，且，那么； ③ 设，如果，且，那么； ④ 设，已知数列的前项和为，则数列为等比数列的充要条件是． 其中真命题的个数是 ………………………………………………………………………( )． A．0； B．1； C．2； D．3． 14．某实验室一天的温度(单位：)随时间(单位：)的变化近似满足函数关系 ，，其中时表示凌晨点． 则从上午10点到晚上8点期间，该实验室的温度变化范围为………………………( )． A．[8，10]； B．[10，11]； C．[9，12]； D．[10，12]． 三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 15．本题满分13分；第1小题6分，第2小题7分． 已知数列的递推公式为 (1) 求证：数列为等比数列； (2) 求满足不等式的整数的最小值． 16．本题满分13分；第1小题6分，第2小题7分． 设复数，，其中． (1) 若，且为纯虚数，求的值； (2) 若，且的实部与虚部相等，求 的值． 17．本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分． 如图所示，在某寄宿高中，标准篮球场的宽m，为学生宿舍楼的边沿，在篮球场与宿舍楼之间有一低矮建筑，使得人在篮球场上无法看到宿舍楼的底部处． 某班数学老师给本班同学布置了以下课外作业：在篮球场上测量学生宿舍楼的高，要求只能在以下两件测量工具中选择一件完成作业． ① 测距仪：能够测量观测点与目标点间的直线距离； ② 测角仪：能够测量观测点到目标点的仰角． (1) 甲利用测距仪测得m，m，并据此计算出宿舍楼的高．B C D A 请你写出甲的计算过程 (结果精确到0.1m)； (2) 乙利用测角仪也完成了作业，请你写出乙的测量方案， 并用假设的测量数据(字母表示)表示宿舍楼的高． 18．本题满分16分；每小题8分． 设． (1) 请写出函数，的奇偶性、单调性、最大（小）值、周期性；（不必证明） (2) 请画出该函数在一个周期内的大致图像，写出函数图像的所有垂直于轴对称轴方程，并说明理由． 19．本题满分18分；第1小题6分，第2小题8分，第3小题4分． (1) 在平面直角坐标系中，已知向量，． ① 若，求实数的值； ② 若，求实数的值． (2) 现将平面直角坐标系中轴保持不动，轴以坐标原点为中心旋转一个角，使得，这样，由平面向量基本定理，该平面内的任意向量都可以由轴与轴正方向上的单位向量与唯一的线性表示为，则我们称实数、所组成的有序 实数对为向量在该斜坐标系下的斜坐标，并表示为． 在以上平面斜坐标系中，已知向量，，． ① 若，求实数的值； ② 若，求实数的值． (3) 请以(2)中的两个问题的条件为特例，写出两个更具一般性的结论．（不必证明；评分时，按结论的一般性程度给分） 学科网（北京）股份有限公司 $