2025-2026学年高一下学期数学期末复习课程任务五 函数概念及其表示课件

这是一份高一数学期末复习课件，聚焦函数的概念及其表示，通过主干知识梳理、基础检测、能力达标构建学习支架，涵盖函数三要素、表示方法、分段函数等核心内容，配套例题解析与规律方法总结。 资料特色突出核心素养培养，以“两个允许两个不允许”深化概念理解，通过“微思考”引导数学提问，例题与及时练结合提升推理能力，规律方法总结助力规范表达。高一学生需适应抽象思维，本资料帮助夯实基础、提升解题能力，为教师提供系统复习资源，便于高效教学。

高一数学期末复习课程 任务五·函数的概念及其表示 一、主干知识梳理 概念 一般地,设A,B是非空的　　　 ,如果对于集合A中的 　　　　　　,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有　　　　确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数  三要素 对应关系 y=f(x),x∈A 定义域 　　 　的取值范围A  值域 与x的值对应的y值的集合{f(x)|x∈A} 同一个函数 如果两个函数的　　　　　　相同,　　　　　　完全一致,那么这两个函数是同一个函数  实数集 任意一个数x 唯一 x 定义域 对应关系 1.函数的概念 [知识深化] 函数概念中的两个允许,两个不允许. (1)不允许“一对多”,允许“多对一”. (2)不允许A中存在“闲置”的元素,允许B中有“闲置”的元素. 2.函数的表示方法 表示函数的常用方法有　　　　　　、图象法、列表法.  微思考　直线x=a(a为常数)与函数f(x)的图象的交点个数是多少? 3.分段函数 如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数. 解析法 提示 直线x=a(a为常数)与函数f(x)的图象的交点个数是1或0.若设f(x)的定义域为D,则当a∈D时,有1个交点,当a∉D时,有0个交点. 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. (2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集. 1.在下列图形中,能表示函数关系y=f(x)的是(　　) D 二、基础检测 2.下列函数中与函数y=x是同一个函数的是(　　) A.y=()2 B.u= C.y= D.m= B 解析:函数y=()2与函数m=和y=x的定义域不同,则不是同一个函数,函数y==|x|与y=x的解析式不同,也不是同一个函数,故选B. 3.函数f(x)=-1的定义域为　　　　　. [-3,1] 解析:由 解得-3≤x≤1, 所以f(x)的定义域为[-3,1]. 4.已知函数f(x)=则f(f(-3))=　　　　　. 　 解析:因为f(-3)==0,所以f(f(-3))=f(0)= 5.集合M={x|y=},N={y|y=},则下列选项正确的是(　　) A.M∪N=R B.M∪N=N C.M∩N=N D.M∩N=⌀ A 解析:由条件可得M={x|x≤1},N={y|y≥0},所以M∪N=R,M∩N=[0,1].故选A. 6.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)+f(y)=x+y,则f(2)为(　　) A.0 B. C.1 D.2 解析:令x=y=2,则f(2)+f(2)=4,所以f(2)=2,故选D. D 7.若函数f(x+1)=x2-5,则f(x)=(　　) A.x2+2x-6 B.x2+2x-4 C.x2-2x-6 D.x2-2x-4 D 解析:由f(x+1)=(x+1-1)2-5,得f(x)=(x-1)2-5=x2-2x-4.故选D. 8.已知函数f(x)=则f(-3)=(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 B 解析:由函数可得,f(-3)=f(-1)=f(1)=21=2.故选B. 9.函数f(x)=的定义域为　　　 　 　. (-∞,0)∪(0,1] 解析:要使函数有意义,应满足解得x≤1且x≠0, 故定义域为(-∞,0)∪(0,1]. 10.已知a∈R,函数f(x)=若f(f())=3,则a=　　　　. 2 解析:由已知得f()=()2-4=2, 所以f(f())=f(2)=|2-3|+a=a+1=3,解得a=2. ①.函数的概念及其应用 例1 (1)已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4},给出下列四个对应关系(x∈M,y∈N),则能构成从M到N的函数是(　　) A.y=x2　　　　　　 B.y=x+1 C.y=x-1 D.y=|x| D 解析:选项A不能构成从M到N的函数,当x=4时,y=42=16∉N.选项B不能构成从M到N的函数,当x=-1时,y=-1+1=0∉N.选项C不能构成从M到N的函数,当x=-1时,y=-1-1=-2∉N.选项D能构成从M到N的函数,当x=±1时,y=|x|=1∈N,当x=2时,y=|x|=2∈N,当x=4时,y=|x|=4∈N. 三、能力达标 (2)(多选)已知函数f(x)与g(x),若存在f(x)使得f(g(x))=x2,则g(x)不可能为(　　) A.x2-2 024x B.sin x C.2x-1 D.|x| AB 解析:对于A选项,若g(x)=x2-2 024x,当x=0时,f(0)=0,当x=2 024时,f(0)=2 0242,相当于1个x值对应两个y,不符合函数定义,即A错误;对于B选项,取x=0和x=π,有f(g(0))=f(0)=0,f(g(π))=f(0)=π2,不符合函数定义,所以B选项错误;对于C选项,若f(2x-1)=x2,令t=2x-1,得x=,则f(t)=()2,即f(x)=()2,所以选项C正确;对于D选项,f(|x|)=x2,可得出f(x)=x2,所以选项D正确,故选AB. 1.函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应,即可以“多对一”,不能“一对多”,而B中有可能存在与A中元素不对应的元素. 2.对于抽象函数的求值问题,一般采用赋值法,即通过将函数所满足的等式中变量取适当的值,即可获得特殊函数值之间的等量关系,从而求出相应的函数值. 及时练1 ：已知函数f(x)的定义域为R,∀a,b∈R,均满足f(a+b)=f(a)+f(b)-ab.若f(-1)=3,则f(3)=(　　) A.0 B.-9 C.-12 D.-15 D 解析:令a=b=0,得f(0)=2f(0),所以f(0)=0;令a=1,b=-1,得f(0)=f(1)+f(-1)+1=0,又因为f(-1)=3,所以f(1)=-4;令a=b=1,得f(2)=f(1)+f(1)-1=-9; 令a=1,b=2,得f(3)=f(1)+f(2)-2=-15.故选D. 解析:(1)由已知可得解得 因此函数y=的定义域为(-1,0)∪(0,2].故选C. ②.函数的定义域 例2 (1)函数y=的定义域为(　　) A.[-2,2] B.(-1,2] C.(-1,0)∪(0,2] D.(-1,1)∪(1,2] C (2)f(2x-1)的定义域为[0,1),则f(1-3x)的定义域为 (　　) A.(-2,4] B.(-2,] C.(0,] D.(0,] C 解析:因为0≤x<1,所以0≤2x<2,所以-1≤2x-1<1,所以f(x)的定义域为[-1,1),由-1≤1-3x<1,得0<x,所以f(1-3x)的定义域为(0,],故选C. 及时练2： (1)函数f(x)=·lg()的定义域是(　　) A.[1,2] B.[2,+∞) C.[1,2) D.(1,2] C 解析:根据函数f(x)的解析式,有解得1≤x<2, 所以函数f(x)的定义域为[1,2). (2)若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域是(　　) A.[0,1] B.[0,1) C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1) D 解析:因为f(x)的定义域为[0,2],所以要使f(2x)有意义,则有0≤2x≤2,即0≤x≤1,所以要使g(x)有意义,则有解得0<x<1. (3)已知函数y=f(x-1)的定义域为(1,5),则函数y=f(x2)的定义域为(　　) A.(-2,0) B.(0,2) C.(-2,2) D.(-2,0)∪(0,2) D 解析 因为函数y=f(x-1)的定义域为(1,5),所以x-1∈(0,4),则由函数y=f(x2)可知0<x2<4,解得-2<x<0或0<x<2,函数y=f(x2)的定义域为(-2,0)∪(0,2).故选D. ③.函数的解析式 例3 (1)已知f(1-sin x)=cos2x,求f(x)的解析式; 解:(换元法)设1-sin x=t,t∈[0,2],则sin x=1-t, ∵f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x, ∴f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2],即f(x)=2x-x2,x∈[0,2]. (2)已知f(x+)=x2+,求f(x)的解析式; 解:(配凑法)∵f(x+)=x2+=(x+)2-2, 又x+2或x+-2,当且仅当x=±1时等号成立, ∴f(x)=x2-2,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞). (3)已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式; 解:(待定系数法)∵f(x)是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0), ∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17,即ax+(5a+b)=2x+17, 解得 f(x)的解析式是f(x)=2x+7. (4)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x,求f(x)的解析式. 解:(解方程组法)∵2f(x)+f(-x)=3x,① ∴将x用-x替换,得2f(-x)+f(x)=-3x,② 由①②解得f(x)=3x. 及时练3：(1)已知f(f(x))=4x+9,且f(x)为一次函数,则f(x)=　　　 　　. 2x+3或-2x-9 解析:因为f(x)为一次函数,所以设f(x)=kx+b(k≠0), 所以f(f(x))=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+b(k+1), 因为f(f(x))=4x+9,所以k2x+b(k+1)=4x+9恒成立,所以 解得所以f(x)=2x+3或f(x)=-2x-9. (2)若函数f(x),g(x)满足f(x)-2f()=2x-,且f(x)+g(x)=x+6,则f(1)+g(-1)=　　　. 9 解析:由f(x)-2f()=2x-,可知f()-2f(x)=-4x,联立可得f(x)=2x, 所以g(x)=6-x,所以f(1)+g(-1)=9. (3)已知f(+2)=2x+1,则f(x)=　　　　 　.  2x2-8x+9(x≥2) 解析:令t=+2,t≥2,则x=(t-2)2,∴f(t)=2(t-2)2+1=2t2-8t+9, ∴f(x)=2x2-8x+9(x≥2). ④.分段函数及其应用 例4(1)已知函数f(x)=满足f(π)=1,则实数m的值为(　　) A. B. C.1 D.2 B 解析 由函数f(x)= 得f(π)=f()+m=f(0)+2m=sin 0+2m=1,所以m=故选B. 分段函数求值问题 (2)已知函数f(x)=则f[f()]=　　　　.  解析 依题意,f()=sin(2)=-,所以f[f()]=f(-)= 及时练4：(1)设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f()=(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 C 解析 因为f(x)=且f(a)=f(a+1). 当0<a<1时,则1<a+1<2,由f(a)=f(a+1)可得=2a,解得a=,符合题意. 当a>1时,由f(a)=f(a+1)可得2(a-1)=2a,无解. 所以a=,f()=f(4)=2×(4-1)=6.故选C. (2)已知函数f(x)=则f(-1)=　　　　.  0 解析 由题意知,f(-1)=f(-1+2)=f(1)=log21=0. 例5(1)已知函数f(x)=若f(f(a))=1,则实数a=(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 B 解析 根据题意,当a<1时,f(f(a))=f(0)=0≠1,不符合题意;当1≤a<2时, f(f(a))=f(a+1)=-ln a+1=1,解得a=1;当a=2时,f(f(a))=f(1)=2≠1,不符合题意;当a>2时,f(f(a))=f[-ln(a-1)+1]=0≠1,不符合题意.故选B. 分段函数与方程、不等式问题 (2)设函数f(x)=若f(a)≥0,则实数a的 取值范围是　　 　.  (-∞,-2]∪[0,+∞) 解析 当a≤0时,f(a)=a2+2a,由f(a)≥0得a2+2a≥0,解得a≥0或a≤-2, 又因为a≤0,所以得a=0或a≤-2;当a>0时,f(a)=lg(a2+1), 由f(a)≥0得lg(a2+1)≥0,解得a∈R,又因为a>0,所以得a>0. 综上可得实数a的取值范围是(-∞,-2]∪[0,+∞). 解分段函数不等式的方法 对于分段函数f(x)=那么: (1)不等式f(x)>a的解集为不等式组的并集; (2)不等式f(g(x))>a的解集为不等式组的并集; (3)解不等式f(g(x))>a时,先令f(x)=t,由f(t)=a求得t的范围,再根据f(x)=t求得x的范围. 及时练5： 已知函数f(x)=若f(a)-f(-a)>0,则实数a的取值范围为　　　 　　.  (-2,0)∪(2,+∞) 解析:当a=0时,显然不成立.当a>0时,不等式f(a)-f(-a)>0可化为a2+a-3a>0,解得a>2.当a<0时,不等式f(a)-f(-a)>0可化为-a2-2a>0,解得-2<a<0. 综上所述,a的取值范围为(-2,0)∪(2,+∞). 任 务 完 成 $