期末培优：解三角形与三角恒等变换综合问题、解三角形与平面向量综合问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦解三角形与三角恒等变换、平面向量的综合应用，通过精选典例与变式构建知识交叉训练体系，强化数学思维与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解三角形与三角恒等变换综合|3例+3变式|求角、面积最值、存在性证明|以三角恒等变换为工具，结合正余弦定理解决三角形度量问题，体现运算能力与推理意识| |解三角形与平面向量综合|3例+3变式|向量表示下的边长、面积、取值范围|通过向量线性运算与数量积构建三角形边角关系，强化几何直观与模型观念|

期末培优：解三角形与三角恒等变换综合问题、解三角形与平面向量综合问题专项训练 期末培优：解三角形与三角恒等变换综合问题、解三角形与平面向量综合问题专项训练 考点目录 解三角形与三角恒等变换综合问题 解三角形与平面向量综合问题 考点一 解三角形与三角恒等变换综合问题 例1．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角A； (2)已知，，点P，Q是边上的两个动点（P，Q不重合），记. ①当时，设的面积为S，求S的最小值： ②记，.问：是否存在实常数 和k，对于所有满足题意的，，都有成立?若存在，求出 和k的值；若不存在，说明理由. 参考公式：；； ；. 【答案】(1) (2)①；②存在，， 【分析】（1）先由正弦定理边角互化，由三角恒等变换、三角函数化简得解. （2）①先用正弦定理建立BP、BQ的关系式，结合面积公式转化为所求表达式的最小值，用基本不等式得面积最小值； ②利用三角形内角和和三角恒等变换化简等式，根据恒成立对应系数相等求解常数和k. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 所以， 所以，所以， 因为，， 所以或或， 即或（舍去）或（舍去），又，所以； （2）①因为，，，所以， . 如图，设，， 则在中，由正弦定理，得，所以. 在中，由正弦定理，得，所以， ， 因为，所以，故当，即时，， 即S的最小值为. ②假设存在实常数 ，k，对于所有满足题意的，，都有成立， 则存在实常数 ，k，对于所有满足题意的，， 都有， 由题意，是定值，所以，是定值， 对于所有满足题意的，成立， 故有， 因为，从而，即， 因为，为的内角，所以，从而，. 例2．（25-26高一下·辽宁大连·阶段检测）已知向量，，函数． (1)求函数的最小正周期及单调增区间； (2)若，且，求的值． (3)在锐角中，若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示，写出函数解析式，根据三角恒等变换对函数解析式进行化简，进而求出结果； （2）根据函数解析式求出，进而根据同角三角函数关系，求出，再由两角和的正弦公式求出结果即可； （3）根据函数关系式求出，根据三角恒等变换，对进行化简，进而根据三角形形状求出角的范围，再构造函数，根据函数单调性，判定函数值域求出结果. 【详解】（1）可知 ， 所以函数的最小正周期为， 可知，解得， 即函数的单调增区间为. （2）， 因为，所以，所以， 可知. （3），因为为锐角三角形，所以， 则，所以，解得， 则 方法一：因为， 令，， 则， 因为因为为锐角三角形，， 所以，所以， 所以， 当时，即时， 取最大值，最大值为， 当趋近时，， 当趋近时，， 所以的取值范围为. 方法二：因为为锐角三角形，所以，即，即， 所以 ， 因为，所以，即，解得，所以， 令，其中， 设，则 ， 可知， 令，即，即， 得， 可知当时，，此时满足，即， 即当时，此时，即在上函数单调递增， 当时，此时，即在上函数单调递减， 当时，， 当时，， 可知，所以当时，， 所以，即， 即的取值范围为. 例3．（25-26高一下·江西·阶段检测）若的内角的对边分别为，设，，且. (1)求角的值； (2)若 ， ，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量共线可得 ，结合正弦定理运算求解； （2）根据题意结合正弦定理可得 ，整理可得，利用正弦定理运算求解即可. 【详解】（1）因为 ，且，则 ， 由正弦定理得 ， 且，则 ，可得 ，即 ， 又因为，所以. （2）由（1）知， 因为 ，由正弦定理得 ， 则， 整理可得 ，即， 且，可得， 由正弦定理得，所以. 变式1．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且， (1)求角 ； (2)若，求 的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理可求出，再根据，即可求解； （2）结合（1）的结果求出，再利用正弦定理求出，即可求得答案. 【详解】（1）由于在中，， 故，结合，得， 而，故， 结合，得. （2）由（1）可知，故， 由正弦定理得，即， 可得， 故 的周长为. 变式2．（25-26高一下·山东·阶段检测）在中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且． (1)求的值． (2)若为锐角三角形． ①求的取值范围； ②当，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】(1)通过三角形面积公式与余弦定理化简求出. （2）①通过正弦定理转换后进行化简求出只与有关的三角函数并求出范围.②通过①求得的比值表示出的范围后，利用余弦定理求出相对应的的范围并求出周长范围. 【详解】（1）因为， ， 根据余弦定理得，即， ，又因为， 所以，解得或，但是， 所以. （2）①因为，所以， 根据正弦定理. 因为为锐角三角形．，且单调递减，单调递增， 所以， 因此. ②因为，所以， 因为， 所以，且在时单调递增， 所以， 因为周长，所以. 变式3．（25-26高一下·江西新余·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)证明：． (2)求的最小值． (3)求的最小值． 【答案】(1)已知． 由余弦定理，得， 则， 所以． (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理将已知等式中的替换为边的表达式，代入化简整理，即可推导出待证式； （2）结合第一问得到的边的等量关系，用余弦定理将表示为仅含的分式，再利用基本不等式即可求得的最小值； （3）利用正弦定理、三角恒等变换将边的条件转化为，结合三角形内角正切关系换元构造一元二次方程，利用判别式求解的最小值 【详解】（1）略 （2）由（1）得． 由余弦定理得． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 故的最小值为． （3）由（1）知，由正弦定理得， 得，得， 得， 得， 得． 由题可知有意义，因此都不是直角， 由（2）可知不是直角，所以不是直角三角形， 则， 等式两边同时除以， 得， 等式两边同时除以，得． 因为， 所以， 则． 设，，则． 令，则，， 即． 由，得． 当， 即时，取得最小值，且最小值为． 考点二 解三角形与平面向量综合问题 例1．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求B； (2)若D是边AC的中点，，，求的面积； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式与同角三角函数基本关系计算即可得； （2）借助向量模长与数量积的关系计算可得，再利用面积公式计算即可得. 【详解】（1），由正弦定理，得， 又， 则有， 即，又，故， 则，即，又，则； （2）由D是AC的中点，则， 由（1）知， 则， 又，， 则，则， 解得或（负值，舍去）， 则. 例2．（25-26高一下·江苏泰州·期中）的内角的对边分别为，且. (1)已知. ①若是的角平分线，，求的长； ②若，求面积的最大值. (2)若是边的三等分点（靠近点），，求实数的取值范围. 【答案】(1)① ；② ； (2) 【分析】首先利用正弦定理将题干中的边角关系转化为边的关系式，结合余弦定理求出. （1）①结合角平分线定理、正弦定理以及已知条件求解的长度. ②根据向量关系转化为线段比例，利用向量模长公式结合基本不等式求面积的最大值. （2）根据三等分点的向量关系，结合向量模长公式，通过换元法求解实数的取值范 【详解】（1）， 由正弦定理，可得， 代入得，展开得，整理得. 由余弦定理， ， ① 已知是的角平分线，由角平分线定理得. ，且，，则， 故为等边三角形. 已知，为等边的角平分线、中线和高，故， 代入得，即. 为中点，. ② 当时，，在线段上，且，即. ，， 对等式两边同时平方，得：， 展开得：. 设，，已知，， ，由数量积定义得， 代入得：， 整理得：. 由基本不等式得：，当且仅当时等号成立， ，即， 当时，代入验证得，，等号成立. 的面积， 面积的最大值为. （2）设，，∵ 是边靠近点的三等分点，∴ ， ∴ . ∵ ， ∴ . ∵ ，，且， ∴ ，即. 由余弦定理，∵ ， ∴ ，故. ∵ ，∴ . 令，即，代入得. 设，则. 令，则，代入得. ∵ ，由基本不等式，当且仅当即时取等号， ∴ . 当时，；当时，， ∴ ，故. ∵ ， ∴ ，即. 例3．（25-26高一下·云南昆明·期中）如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中点，且，， (1)求； (2)求； (3)设，分别为边，上的动点，线段交于，且四边形的面积为面积的，求的取值范围. 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）根据和差角公式以及正弦定理即可求解， （2）根据向量的线性运算，结合模长公式即可求解， （3）根据共线，利用向量的线性表示，结合三点共线得，根据面积之比得，即可根据数量积的运算律，得，利用不等式的性质求解即可. 【详解】（1）由，得, 即， 由于，所以， 则，即. 由正弦定理，得. （2）由于为边上的中点，所以， 则， 所以. （3）设，，， 所以，. 由于，所以. 由于、、三点共线，可得，所以. 由于 ； 由题意知，而， 所以. 由于. 所以 . 由于，而，所以， 则，所以， 所以. 变式1．（25-26高一下·浙江·期中）在中，角的对边分别为，若， (1)求角的大小； (2)若为中点，，求边. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理对把边转换为三角函数，变形化简计算出角的三角函数值，计算角的大小； （2）利用向量加法的法则可知，再利用余弦定理，计算边a. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 在中，， 所以， 即， 因为，所以， 因为，所以； （2）因为，所以 ， 又，所以,所以， 又因为，所以. 变式2．（25-26高一下·四川眉山·阶段检测）已知，，分别为△三个内角，，的对边, (1)从下列中选择一个证明： ①证明：；②证明： (2)，，△的面积为，求. 【答案】(1)选择见解析，证明见解析 (2) 【分析】（1）选择①，分角都是锐角；角一个是钝角，一个是锐角；角一个是直角，一个是锐角三种情况，结合向量数量积运算证明即可； 选择②，设，，，则，再结合数量积运算证明即可； （2）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换得，进而求得，再结合已知求得，最后根据面积，结合余弦定理建立方程并求解即可. 【详解】（1）证明：若选择①，当角都是锐角，过点作与垂直的单位向量， 则与的夹角为，与的夹角为，    因为， 所以， ，即 ，即； 当角一个是钝角，一个是锐角，不妨设为钝角， 如图，过点作与垂直的单位向量， 则与的夹角为，与的夹角为，    因为， 所以， ，即 ，即； 当角一个是直角，一个是锐角，不妨设为直角，    如图，易知，即，又，所以， 所以， 综上，成立. 若选择②，如图，设，，， 则，两边平方后， 则，即    （2）解：由正弦定理知：，又， 所以，即，又， 所以，即，又， 所以，则. 因为，所以（为△外接圆半径）， 所以，又，所以，即， 因为△的面积为， 所以，即， 将代入，整理得：，则，即，故. 变式3．（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，点是边上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，对已知条件进行三角恒等变换即可求出A； （2）用表示，利用向量数量积的运算律即可求解． 【详解】（1）已知，由正弦定理得， 即， 则， ，即． ∵，∴，那么，解得． 又∵，∴． （2）∵，∴， 即， 两边同时平方： ， ， ∴， ∴， 即． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：解三角形与三角恒等变换综合问题、解三角形与平面向量综合问题专项训练 期末培优：解三角形与三角恒等变换综合问题、解三角形与平面向量综合问题专项训练 考点目录 解三角形与三角恒等变换综合问题 解三角形与平面向量综合问题 例1.(25-26高一下四川成都阶段检测)在Rt△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知 考点cosB+c解无角形与三角恒等变换综合问题 b+c (1)求角A: Q记如B=受a=2店.点卫、Q是边1C上的两个动点R,Q不里合)，记∠PBQ-0 ①当0-名时，设△PBQ的面积为8求的最小值： ②记∠BPQ=Q,∠BQP=B.问：是否存在实常数日和k,对于所有满足题意的Q,B,都有 sin2a+sin2B+k=4 ksin a sinβ成立？若存在，求出日和k的值；若不存在，说明理由： 参考公式：i=引snla+B+sn(a-=snla+p)-sina-B coscB=cos(aB)+cos()siB-(+B)-cos(a-B) 例2.(25-26高一下辽宁大连阶段检测)已知向量i= 函数 fx=i·i. ④)求函数)的最小正周期及单调增区间， +=.22 若f22 .22,a7召kna的位 期末培优：解三角形与三角恒等变换综合问题、解三角形与平面向量综合问题专项训练 △ABC (3)在锐角 中，若f =1, 求sinB+2sinC的取值范围. 2 期末培优：解三角形与三角恒等变换综合问题、解三角形与平面向量综合问题专项训练 例3.(25-26高一下江西·阶段检测)若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,设i=b,C, n=-sinB,cosC,且m//i. (1)求角C的值： ②若c=4,2a=3+1b,求” 变式1.(25-26高一下贵州遵义：阶段检测)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 3 sin A=tanC. (1)求角C; ②若5=5+6，求△MBC的周长 期末培优：解三角形与三角恒等变换综合问题、解三角形与平面向量综合问题专项训练 变式2.(25-26高一下·山东阶段检测)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,S为△ABC的面 S=a2-(b-c)2 积， (1)求cosA的值. (2)若△ABC为锐角三角形. b ①求。的取值范围： ②当b=17,求△ABC周长的取值范围. 变式3.(25-26高一下江西新余阶段检测)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 2c2-b2=2abcosC (1)证明：a+2b2=3c2. (2)求cosC的最小值. 1+1 (3)求tanA'tanB的最小值. 期末培优：解三角形与三角恒等变换综合问题、解三角形与平面向量综合问题专项训练 考点二 解三角形与平面向量综合问题 例1.(2026河南开封模拟预测)如图，在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且 a=csin B+bcos C D (1)求B: @去D是边4C的肿点，a=3.D=厘 2,求△ABC的面积： 例2.(25-26高一下江苏泰州期中)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 (a-c)(sinA+sinc)=(a-b)sinB BD=DC(L∈R),AD=V3 (1)已知 ①若AD是∠BAC的角平分线， sinB=3 2,求CD的长： ②若入=2，求△ABC面积的最大值 (2)若E是边AB的三等分点（靠近点A),AE=tCE,求实数t的取值范围. 期末培优：解三角形与三角恒等变换综合问题、解三角形与平面向量综合问题专项训练 例3.(25-26高一下·云南昆明期中)如图，设△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,C,D为边AB上 的中点，且 in(4+2B)-2-2cosC,b=2,CD=22 sinB B (1)求a; (2)求cos∠ACB: 2 (B)设M,N分别为边CA'CB上的动点，线段MN交CD于P,且四边形ABNM的面积为△CAB面积的3，求 CP.MN 的取值范围。 变式1，(2526高-下浙江期中)在。4BC中，角4BC的对边分别为a.6c,若6=acosc+V3 3 sinc (1)求角A的大小： ②若D为8C中点，D=E,b= ,求边a 6 期末培优：解三角形与三角恒等变换综合问题、解三角形与平面向量综合问题专项训练 变式2.(25-26高一下·四川眉山阶段检测)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边， (1)从下列中选择一个证明： ①证明： sA5i日：②证明：c0sA=+c2-a 2bc ②acosC+asinC-b-c=0,beosC+cosB=2,△ABC的面积为5，求b 变式3.（2526商二上贵州六盘水阶段检测)记。ABC的内角4B,C的对边分别为2，c,已知0s8=2C 2a· (1)求A: (2)若AC=3,AB=2,点D是BC边上一点，且BD=2DC，求AD的长.