期末复习：平面向量的数量积、平面向量的坐标运算、向量新定义问题解答题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦期末复习，整合平面向量数量积、坐标运算及新定义问题，以题载法构建概念-运算-创新应用的递进逻辑，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面向量的数量积|3例+3变式，精选多地区阶段检测题|涉及夹角计算、模长求解、几何图形中动态向量问题|从数量积定义出发，结合几何图形性质，强化向量工具性| |平面向量的坐标运算|3例+3变式，覆盖坐标求解、夹角与投影|包含坐标表示、平行垂直判定、投影向量计算|实现数量积的代数化，建立向量运算与坐标的对应关系| |向量新定义问题|3例+3变式，融合创新运算与函数知识|涉及新运算定义、伴随函数、变换规律探究|综合前两模块知识，培养数学抽象与模型观念|

期末复习：平面向量的数量积、平面向量的坐标运算、向量新定义问题解答题专项训练 期末复习：平面向量的数量积、平面向量的坐标运算、向量新定义问题解答题专项训练 考点目录 平面向量的数量积 平面向量的坐标运算 向量新定义问题 考点一 平面向量的数量积 例1．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）已知向量，满足：，，. (1)求与的夹角的余弦值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由条件可得，再结合条件的数量积得，用向量的夹角公式可得； （2）直接由向量的垂直可得关于实数的一元二次方程，解一元二次方程可得. 【详解】（1）因为，所以①， 又因为，得，且， 代入①上式得，即， 所以，因此与的夹角的余弦值. （2）因为，所以， 化简可得， 将，，代入可得， 即，解得或. 因此实数的值为或. 例2．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）如图，在梯形中，，，，、分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． (1)若，求的值； (2)求的长； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】建立平面直角坐标系，明确各点的坐标. （1）用表示，可得的值，可求的值. （2）设，利用可求的值. （3）利用坐标运算得到，再结合二次函数的值域求的范围. 【详解】（1）如图： 以为原点，建立如图平面直角坐标系，设，， 则，，，，，. 所以， 又，，所以. 又，所以，， 所以. （2）因为，， 由，又，所以. 故. （3）设，， 则，， 所以， 当时，；当或时，. 所以. 例3．（25-26高一下·天津宝坻·期中）已知向量，且与的夹角为． (1)求的值； (2)求的值； (3)若与垂直，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量，且与的夹角为，利用数量积的定义求解； （2）由求解； （3）根据与垂直，由求解. 【详解】（1）因为向量，且与的夹角为， 所以； （2）因为向量，且， 所以， ； （3）因为与垂直， 所以， ， 解得. 变式1．（25-26高一下·四川广安·阶段检测）如图，在梯形中，为线段中点，记 (1)用表示向量； (2)求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量加法法则，结合向量的线性运算可得结果； （2）由向量的数量积和向量的夹角公式计算即可. 【详解】（1）因为，为线段中点，且， 则； （2）由于，可得，又有， 所以. 由，可得， 且，故. 变式2．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）已知两个单位向量与的夹角为，设，. (1)求最小值； (2)若与的夹角为钝角，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得，，然后利用模长公式将所求转换为关于的函数的最小值即可； （2）由题意得且，不共线，由此可列出关于的不等式组，从而求解. 【详解】（1）由题意， 因为，，所以 所以， 所以，等号成立当且仅当， 所以最小值是； （2）因为，， 所以， 设，共线，即设， 因为向量与不共线， 所以，解得， 若与的夹角为钝角， 则，且， 解得的取值范围是. 变式3．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，已知中，，，，，为线段上两点（包括端点），且． (1)若，求的值； (2)设，试将的面积表示为的函数，并求其最大值． 【答案】(1) (2)，最大值为 【分析】(1)由直角三角形边角关系求出，利用数量积的定义计算； (2)用正弦定理表示，，代入面积公式，通过三角恒等变换化简，利用正弦函数的有界性求最值. 【详解】（1）由题意可知，，， ，则，，， ． （2），则，，， 在中，由正弦定理可得， 则， 在中，，则， 可得 ， 因为，则， 当，即时，取到最大值． 考点二 平面向量的坐标运算 例1．（25-26高一下·山西忻州·阶段检测）已知向量，． (1)若，且，求向量与向量的夹角； (2)若，且，求向量的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）借助向量垂直性质及数量积公式计算即可得； （2）借助向量平行性质计算即可得. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以，即， 所以，因为，所以； （2）因为，，所以， 因为，设， 则，解得， 故或． 例2．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）已知向量，． (1)求，的坐标； (2)求与夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标规则，对应坐标分别运算； （2）根据平面向量夹角的坐标运算公式即可求解； （3）根据投影向量的计算公式即可求解． 【详解】（1）． ． （2）． （3）在上的投影向量为。 例3．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知平面向量，且， (1)求在方向的投影向量的坐标； (2)若，且，求向量的坐标； (3)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用在上的投影向量为求解即可； （2）设，然后根据已知条件列方程组求解即可； （3）由题意可得且与不共线，从而可求出实数的取值范围. 【详解】（1），， 故，所以 所以在上的投影向量为 所以在上的投影向量为. （2）设，， ，又， 或， 或 （3）因为， 所以，， 因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线 即 解得且 即k的取值范围是 变式1．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知平面向量，． (1)求和； (2)求向量与的夹角． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算以及模长的坐标公式即可求解； （2）根据平面向量夹角的坐标公式结合数量积的坐标公式即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以， ，所以. （2），                                             ，                                             ，，                               设向量与的夹角为，则，                 又因为，所以. 变式2．（25-26高一下·吉林延边·期中）已知向量，且与的夹角为. (1)求； (2)若与平行，求实数的值； (3)求与上的投影向量. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，利用向量的夹角公式，列出方程，求得的值，结合模的计算公式，即可求解； （2）先求得，且，结合与平行，列出方程，即可求解； （3）根据题意，结合向量的投影向量的公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为，可得且， 又因为与的夹角为，可得， 解得或， 因为，所以，所以， 则，所以. （2）解：因为， 所以，， 又因为与平行，所以，解得. （3）解：因为，可得， 可得，且， 所以在上的投影向量为. 变式3．（25-26高一下·北京西城·期中）已知向量． (1)若，求实数k的值； (2)若，求的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用共线向量的坐标表示列式求解. （2）利用向量垂直的坐标表示求出值，进而求出向量的模. （3）利用向量夹角公式及共线向量的坐标表示列式求解. 【详解】（1）由向量，，得， 所以. （2）依题意，，由，得，解得， 因此，所以. （3）由与的夹角是钝角，得且与不共线， 因此且，解得且， 所以实数k的取值范围是. 考点三 向量新定义问题 例1．（25-26高一下·上海·阶段检测）对于向量集，记向量．如果存在向量，使得，那么称是向量集的“长向量”． (1)设向量，．若是向量集的“长向量”，求实数x的取值范围； (2)已知均是向量集的“长向量”， (i)求证：； (ii)若，．设在平面直角坐标系xOy中的点集，其中，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值． 【答案】(1) (2)(i)证明见解析；(ii)4048 【分析】（1）根据向量模长的不等关系，解得的范围即可； （2）(i)结合“长向量”的概念，根据向量模的公式，数量积的运算法则得，进而得，即可得到； (ii)设，由得，，设，由对称得到方程组，求出，再根据，即可得结果. 【详解】（1）解：因为向量，， 所以，，， 因为是向量集的“长向量”， 所以，由题意可得：，即，解得：. 所以实数x的取值范围为 （2）(i)证明：因为均是向量集的“长向量”， 所以，由题意得，，即，即， 同理， 三式相加并化简得：， 所以，即， 所以，即，证毕. (ii)设，因为，， 所以，即， 因为，，所以， 设，因为与关于点对称，与关于点对称 则依题意得：， 将①代入②得，， 从而， …… ， 以上k个式子相加化简得， ， 又由②知， ， 即， 所以， 其中， ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以，当时，. 例2．（25-26高一下·青海西宁·期中）设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题： (1)已知向量，满足，，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； (3)已知向量，，，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）先求，再求，最后根据定义求解即可； （2）先求，再求，最后根据定义求解即可； （3）由题意可得，从而得，利用换元法及基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 又因为， 所以，解得， 所以， 所以， 所以； （2）由题意可得， 所以 所以, 所以， 所以， 所以； （3）因为，，， 所以， 所以， 所以， 所以 ， 令， 则 ， 当且仅当时等号成立， 即的最小值. 例3．（25-26高一下·北京·期中）定义向量的“相伴函数”为，函数的“相伴向量”为，其中为坐标原点，记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为. (1)设函数，求证: ； (2)将（1）中函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变)得到的图象.已知，，问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. (3)已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值.当运动时，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且点坐标为 (3) 【分析】（1）借助两角差的正弦公式化简后，利用定义即可得； （2）设出点，表示出、后，借助数量积为计算即可得解； （3）利用辅助角公式结合二倍角公式计算即可得. 【详解】（1）， 故是向量的“相伴函数”，故； （2）， 设，则，， 则， 即， 由，则，故， 又，故当且仅当且时，原式成立， 即有，解得，故， 即存在点，使得； （3）由题意可得，其中， 由在处取得最大值，则， 即，则， 由，则， 则， 由函数在上单调递减，故， 由，即， 则， 即的取值范围为. 变式1．（25-26高一下·上海静安·期中）定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． (1)若向量为函数的伴随向量，求； (2)若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； (3)已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设，且的伴随函数为，其最大值为p．求证：向量的充要条件是． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先对进行化简，然后按照伴随向量的定义写出，最后求出. （2）先求出，再根据求出，然后根据正弦定理和求出的值，最后根据余弦定理求出的值. （3）先证必要性，利用设出，然后根据写出的伴随函数，求出其最大值即可；再证充分性，设出，写出的伴随函数，由题意可得，进而可得. 【详解】（1）由题意得 ， . （2）∵函数为向量的伴随函数， ， ，或. 即或（舍）， 又，由正弦定理得，，即，， ，即. 由余弦定理，得， 得，即． （3）证明：先证必要性．由题可知， ， 设，， ， ， . 再证充分性．由， 设，，则， ， 因为，，， 又因为，，得到， 根据，得. 综上，向量的充要条件是． 变式2．（25-26高一下·辽宁大连·期中）平面向量与轴非负半轴所成角为，，定义“变换”：将绕起点逆时针旋转角，得到新向量. (1)求证：，并已知，将经过变换得到，求点的坐标. (2)设非零向量，对连续作次变换依次得到.若，求与的关系，并求时的值. (3)已知，，，取（2）中时求得的，将经过变换得，经过变换得，若，在上有且仅有两个不同的根，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2)，，. (3). 【分析】（1）利用三角函数得两角和公式证明向量旋转后的坐标公式，再根据该公式求出点的坐标. （2）根据向量旋转的坐标公式，找出与的关系，进而得到与的关系，再代入求出的值. （3）先根据（2）中求出的值，得到和的坐标，再根据向量数量积公式列出方程，结合三角函数的性质求解的取值范围. 【详解】（1）由题意可知， 逆时针旋转角后得， ， ， 故. 由变换可知 ， ， 所以点的坐标为. （2）连续对作次变换，等价于将向量逆时针旋转角. 由，得，， 即，， 当时，， 因为，所以时. （3）由可知， ， 所以， 得. 由，得， 因为在上有且仅有两个不同的根， 所以，解得， 所以的取值范围为. 变式3．（25-26高一下·河北邢台·期中）对于三维向量（，），定义“F变换”：，其中，，，．记． (1)若，求． (2)已知（），． (ⅰ)求p，q的值； (ⅱ)若经过m次“F变换”后，最小，求m的最小值． 【答案】(1)4； (2)(ⅰ)，；(ⅱ)9． 【分析】(1)根据题干给的定义，代入计算即可； (2)(ⅰ)根据给出的坐标设的坐标，根据给出的定义找出两参数的关系，代入中计算参数的值； (ⅱ)由第(ⅰ)问的结论推出向量坐标的规律，通过归纳总结判断结果． 【详解】（1）因为，则，，， 故，又因为：，，， 故，所以． （2）(ⅰ)设，则，，则； 若（等号不同时取）或（等号不同时取），不满足，不符合题意； 若（等号不同时取）或（等号不同时取），，不满足，不符合题意； 当时，可得则； ，则，，； 当时，同理可得，即，； 综上：，． (ii)因为，从开始，后续向量的各分量始终为偶数， 且在迭代的过程中多数向量的分量中均有2， 设的三个分量为2，，这三个数． 当时，的三个分量为，2，这三个数，所以． 当时，的三个分量为2，2，4，则的三个分量为0，2，2， 的三个分量为2，0，2， 所以， 所以由，可得． 所以的三个分量只能是2，2，4三个数，的三个分量只能是0，2，2三个数， 所以当时，，当时，，故的最小值为9． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：平面向量的数量积、平面向量的坐标运算、向量新定义问题解答题专项训练 期末复习：平面向量的数量积、平面向量的坐标运算、向量新定义问题解答题专项训练 考点目录 平面向量的数量积 平面向量的坐标运算 向量新定义问题 考点一 平面向量的数量积 例1．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）已知向量，满足：，，. (1)求与的夹角的余弦值； (2)若，求实数的值. 例2．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）如图，在梯形中，，，，、分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． (1)若，求的值； (2)求的长； (3)求的取值范围． 例3．（25-26高一下·天津宝坻·期中）已知向量，且与的夹角为． (1)求的值； (2)求的值； (3)若与垂直，求的值． 变式1．（25-26高一下·四川广安·阶段检测）如图，在梯形中，为线段中点，记 (1)用表示向量； (2)求与夹角的余弦值. 变式2．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）已知两个单位向量与的夹角为，设，. (1)求最小值； (2)若与的夹角为钝角，求的取值范围. 变式3．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，已知中，，，，，为线段上两点（包括端点），且． (1)若，求的值； (2)设，试将的面积表示为的函数，并求其最大值． 考点二 平面向量的坐标运算 例1．（25-26高一下·山西忻州·阶段检测）已知向量，． (1)若，且，求向量与向量的夹角； (2)若，且，求向量的坐标． 例2．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）已知向量，． (1)求，的坐标； (2)求与夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量． 例3．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知平面向量，且， (1)求在方向的投影向量的坐标； (2)若，且，求向量的坐标； (3)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 变式1．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知平面向量，． (1)求和； (2)求向量与的夹角． 变式2．（25-26高一下·吉林延边·期中）已知向量，且与的夹角为. (1)求； (2)若与平行，求实数的值； (3)求与上的投影向量. 变式3．（25-26高一下·北京西城·期中）已知向量． (1)若，求实数k的值； (2)若，求的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围． 考点三 向量新定义问题 例1．（25-26高一下·上海·阶段检测）对于向量集，记向量．如果存在向量，使得，那么称是向量集的“长向量”． (1)设向量，．若是向量集的“长向量”，求实数x的取值范围； (2)已知均是向量集的“长向量”， (i)求证：； (ii)若，．设在平面直角坐标系xOy中的点集，其中，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值． 例2．（25-26高一下·青海西宁·期中）设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题： (1)已知向量，满足，，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； (3)已知向量，，，求的最小值． 例3．（25-26高一下·北京·期中）定义向量的“相伴函数”为，函数的“相伴向量”为，其中为坐标原点，记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为. (1)设函数，求证: ； (2)将（1）中函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变)得到的图象.已知，，问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. (3)已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值.当运动时，求的取值范围. 变式1．（25-26高一下·上海静安·期中）定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． (1)若向量为函数的伴随向量，求； (2)若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； (3)已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设，且的伴随函数为，其最大值为p．求证：向量的充要条件是． 变式2．（25-26高一下·辽宁大连·期中）平面向量与轴非负半轴所成角为，，定义“变换”：将绕起点逆时针旋转角，得到新向量. (1)求证：，并已知，将经过变换得到，求点的坐标. (2)设非零向量，对连续作次变换依次得到.若，求与的关系，并求时的值. (3)已知，，，取（2）中时求得的，将经过变换得，经过变换得，若，在上有且仅有两个不同的根，求的取值范围. 变式3．（25-26高一下·河北邢台·期中）对于三维向量（，），定义“F变换”：，其中，，，．记． (1)若，求． (2)已知（），． (ⅰ)求p，q的值； (ⅱ)若经过m次“F变换”后，最小，求m的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $