精品解析：山东烟台市某校（五四制）2025-2026学年七年级上学期期中质量测试数学试题

2025-2026学年度第一学期期中质量检测 七年级 数学 （时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题 （本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面四幅图是由体育运动项目抽象出来的简笔画，其中是轴对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 两根木棒的长分别为4cm和9cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形如果第三根木棒的长度为奇数，那么第三根木棒的长度的取值情况有( ) A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系可得，再解不等式，求出第三边得取值范围，找出符合条件的数即可． 【详解】设第三根木棒的长为 ，根据三角形的三边关系可得： ， 解得：， 长度为奇数的有：7，9，11三种 故选：A． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边． 3. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，根据相关知识逐个选项判断即可． 【详解】解：A、，不满足三角形的三边关系，本选项不符合题意． B、边边角，三角形不能唯一确定，本选项不符合题意． C、角角边，三角形唯一确定，本选项符合题意． D、一边一角无法确定三角形，本选项不符合题意， 故选：C． 4. 若等腰三角形的一个角是 ，则它的一个底角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据未明确给出 是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论，利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和为计算底角即可． 【详解】解：当 为底角时，则另一个底角是 ； 当 为顶角时，可得底角为. 则该等腰三角形的底角为或 ． 5. 的三边长分别为，，，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，若三角形的一个角为或三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 【详解】A、∵，， ∴． ∴． ∴为直角三角形． 该选项不符合题意． B、∵，， ∴，． ∴不是直角三角形． 该选项符合题意． C、∵， ∴． ∴为直角三角形． 该选项不符合题意． D、∵， ∴． ∴为直角三角形． 该选项不符合题意． 故选：B 6. 在中， ，平分交于点D，且，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半.根据题意可得，即可求解． 【详解】解：如图所示： 由题意得：， ∴， ∵ ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：C 7. 如图，在四边形中， ，平分，， ， ，则四边形的面积是（ ） A. 40 B. 42 C. 46 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】过点作 交的延长线于点，根据角平分线的性质得到 ，然后将四边形的面积转化为 与的面积之和进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作 交的延长线于点， ∵平分 ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形的面积为   ． 8. 如图，矩形纸片中，， ，将矩形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据折叠可得，在中，根据勾股定理列方程，求出的长，进一步求的面积即可． 【详解】解：设， 在长方形中， ，，， 根据折叠，可得， 在中，根据勾股定理， 得， 解得， ， 的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠问题，矩形的性质，三角形的面积，勾股定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 9. 如图，，， ， 于D， ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．根据题意证明，得到，，故可求出的长． 【详解】解： ， ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 10. 如图，在中， ， 的平分线交于点D．过C点作，交于E，过D点作于F．下列结论： ①；②；③；④ ． 其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可得，，利用等角的余角相等及对顶角相等可证，从而判断①④；过点作，利用角平分线性质得，结合三角形面积公式判断②；根据题意无法推出与的倍数关系，判断③． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分 ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故①正确； ∵平分 ，，， ∴， ∴ ，故④正确； 如图，过点作于， ∵平分 ，，， ∴， ∴，故②正确； ∵，， 又∵， ∴， ∴， 即，则， 故由题意无法得出，故③错误； 综上所述，正确的结论是①②④． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 将一副直角三角板如图放置，点C在 的延长线上， ，，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意得，结合 即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ∴ 故答案为： 12. 已知a，b，c 是的三边长，化简： _______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可． 【详解】解：∵a，b，c 是的三边长， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 13. 如图，等腰中，， ，是底边的中线，如果 ，则 _________ 【答案】 【解析】 【分析】由等腰三角形三线合一性质可得 且平分 ，从而求出 的度数，在 中利用含角的直角三角形性质求出斜边的长，最后利用勾股定理求出的值． 【详解】解： ，是底边的中线， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， 由勾股定理得：  ． 14. 如图，已知△ABC的面积为16，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是 ___． 【答案】8 【解析】 【分析】如图所示，延长AP交BC于D，可证明，由全等三角形的性质得， 故可得，，从而得出算出即可． 【详解】 如图所示，延长AP交BC于D， BP平分∠ABC， ， ， ， 在和 中， ， ， ， ，， ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质以及三角形面积公式是解题的关键． 15. 如图，线段，的垂直平分线分别过点B，C，则 ___度． 【答案】60 【解析】 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得到，，证明为等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】解：连接， ∵线段，的垂直平分线分别过点B，C， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：60． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 16. 圆柱底面周长为4cm，高为9cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为________cm. 【答案】15 【解析】 【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】 圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB； 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短； ∵圆柱底面半径为cm， ∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×=4cm； 又∵圆柱高为9cm， ∴小长方形的一条边长是3cm； 根据勾股定理求得AC=CD=DB=5cm； ∴AC+CD+DB=15cm. 三、解答题（本题共7小题，共70分） 17. 如图，在正方形网格中有一个，且每个小正方形的长为1（其中点A，B，C均在格点上）． （1）作出关于直线l的轴对称图形； （2）在l上确定点P的位置，使得 值最小，在图中体现点P的确定方法． 【答案】（1）解：如图所示： （2）解：点P如图所示： 【解析】 【分析】（1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）根据对称可知，若使 值最小，则 值最小，只有当点C，点P，点三点共线时， 值最小，即 值最小，连接与l的交点即为点P． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 和 都为等腰三角形，为顶角的顶点，连接、，则 ，且 ，求 的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先由等腰三角形性质，得，，再结合 ，证，接着由全等得 ，同减，推出 ，最后代入 ，得 ． 【详解】解：∵和 都为等腰三角形，为顶角的顶点， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【点睛】本题利用共顶点等腰三角形的边相等，通过 全等实现角的全等转化，关键是证，得到 ． 19. 如图，有一块四边形草地，其中 ， ， ， ，求这块草地的面积． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理，可求 ，再求两个直角三角形的面积，相加即可． 【详解】解：连接， 由题可知，和是直角三角形， 根据勾股定理，可得， ， ， ， ，解得 ， 则四边形的面积为： （）， 则这块草地的面积为． 20. 如图，， ，的垂直平分线交于点D． （1）尺规作图：作的垂直平分线，并求 的度数． （2）试说明： ． 【答案】（1）解：的垂直平分线如图所示： （2）解：∵ ， ， ∴ ， 在 中， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法作图即可，先求解出 的度数，再由垂直平分线的性质得到 ，得到 ，再由三角形外角性质求解 的度数即可． （2）先得到 ，再由 ，即可得到 ． 【小问1详解】 解：图略， 连接，如图， ∵， ， ∴ ， ∵的垂直平分线交于点D， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【小问2详解】 略 21. 如图，，F为垂足．求证． 【答案】见解析 【解析】 【分析】（1）连接，根据题意直接证明，可得，根据HL证明，即可得证． 【详解】如图，连接 在和中， ∴， ． ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，HL证明直角三角形全等，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 22. 笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B，其中，由于某种原因，则C到A的路现在不通，为方便游客，决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路，测得千米， 千米， 千米． （1）请通过计算说明，是否为从旅游地C到河边的最近的路线． （2）求原来路线的长． 【答案】（1）解：是从旅游地C到河边的最近的路线，理由如下， ， ， ， ，即， 是直角三角形， ， 即的长是点到的距离， 是从旅游地C到河边的最近的路线． （2）千米 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，易得 是直角三角形， ，再根据“垂线段最短”，即可说明； （2）设千米，则千米，根据勾股定理，列方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设千米，则千米， 由（1）可知， ，则 ， 在中，， 即，解得， ， 则原来路线的长为千米． 23. 如图，点P是等边内的一点，分别连接 ，以为边作，且连接． （1）判断与 之间的大小关系，并说明理由． （2）若，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理逆定理． （1）证明，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质，勾股定理逆定理求出，进一步求出的度数即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： 证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，且， ∴ 为等边三角形， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0<t<4） （1）运动　 　秒时，AE=DC； （2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由； （3）若△ABD≌△DCE，∠BAC=α，则∠ADE=　 　（用含α的式子表示）． 【答案】（1）3 （2）2秒，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）依据BD=CE=2t，可得CD=12-2t，AE=8-2t．再根据当时，，解出t的值即可； （2）当△ABD≌△DCE成立时，AB=CD=8，即得出12-2t=8，解出t的值即可； （3）由三角形全等的性质可知∠CDE=∠BAD．由∠ADE=180°-∠CDE-∠ADB，∠B=∠180°-∠BAD-∠ADB，即可得到∠ADE=∠B，再根据∠BAC=α，AB=AC，即可得出∠ADE的大小． 【小问1详解】 由题可得，BD=CE=2t， ∴CD=12-2t，AE=8-2t， ∴当时，即， 解得t=3， 故答案为：3； 【小问2详解】 当△ABD≌△DCE成立时，AB=CD=8， ∴12-2t=8， 解得t=2， ∴运动2秒时，△ABD≌△DCE能成立； 【小问3详解】 当△ABD≌△DCE时， ∴∠CDE=∠BAD， 又∵∠ADE=180°-∠CDE-∠ADB，∠B=∠180°-∠BAD-∠ADB， ∴∠ADE=∠B， 又∵∠BAC=α，AB=AC， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．利用全等三角形的对应边相等得出方程是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中质量检测 七年级 数学 （时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题 （本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面四幅图是由体育运动项目抽象出来的简笔画，其中是轴对称图形的是（   ） A. B. C. D. 2. 两根木棒的长分别为4cm和9cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形如果第三根木棒的长度为奇数，那么第三根木棒的长度的取值情况有( ) A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 3. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. B. C. D. 4. 若等腰三角形的一个角是 ，则它的一个底角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 的三边长分别为，，，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 在中， ，平分交于点D，且，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 如图，在四边形中， ，平分，， ， ，则四边形的面积是（ ） A. 40 B. 42 C. 46 D. 48 8. 如图，矩形纸片中，， ，将矩形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 9. 如图，，， ， 于D， ， ，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中， ， 的平分线交于点D．过C点作，交于E，过D点作于F．下列结论： ①；②；③；④ ． 其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 将一副直角三角板如图放置，点C在 的延长线上， ，，则的度数为_________． 12. 已知a，b，c 是的三边长，化简： _______ 13. 如图，等腰中，， ，是底边的中线，如果 ，则 _________ 14. 如图，已知△ABC的面积为16，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是 ___． 15. 如图，线段，的垂直平分线分别过点B，C，则 ___度． 16. 圆柱底面周长为4cm，高为9cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为________cm. 三、解答题（本题共7小题，共70分） 17. 如图，在正方形网格中有一个，且每个小正方形的长为1（其中点A，B，C均在格点上）． （1）作出关于直线l的轴对称图形； （2）在l上确定点P的位置，使得 值最小，在图中体现点P的确定方法． 18. 和 都为等腰三角形，为顶角的顶点，连接、，则 ，且 ，求 的度数． 19. 如图，有一块四边形草地，其中 ， ， ， ，求这块草地的面积． 20. 如图，， ，的垂直平分线交于点D． （1）尺规作图：作的垂直平分线，并求 的度数． （2）试说明： ． 21. 如图，，F为垂足．求证． 22. 笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B，其中，由于某种原因，则C到A的路现在不通，为方便游客，决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路，测得千米， 千米， 千米． （1）请通过计算说明，是否为从旅游地C到河边的最近的路线． （2）求原来路线的长． 23. 如图，点P是等边内的一点，分别连接 ，以为边作，且连接． （1）判断与 之间的大小关系，并说明理由． （2）若，求的度数． 24. 如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0<t<4） （1）运动　 　秒时，AE=DC； （2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由； （3）若△ABD≌△DCE，∠BAC=α，则∠ADE=　 　（用含α的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $