精品解析：山东省烟台市牟平区（五四制）2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期中质量检测 初二数学试题 （120分钟，120分） 说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡． 一、选择题：（本题共12个小题，每小题3分，满分36分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 3. 小强家有两块三角形的菜地，他想判断这两块三角形菜地的形状大小是否完全一样，他设想了如下四种方法，下列方法中，不一定能判断两个三角形全等的是（　　） A. 测量三边对应相等 B. 测量两角及其夹边对应相等 C. 测量两边及除夹角外的另一角对应相等 D. 测量两边及其夹角对应相等 4. 如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ） A B. C. D. 5. 5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（ ） A. B. C. D. 6. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ） A. 顶角B的角平分线 B. 边的垂直平分线 C. 边的中线 D. 边的高线 7. 第14届国际数学大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则等于（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 以下列各组数据是勾股数，以它们为边长作三角形能作成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 9. 的两边，满足，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 10. 如图，将一张正方形纸片沿箭头所示的方向依次折叠后得到一个三角形，再将三角形纸片减去一个小等腰直角三角形和一个半圆后展开，得到的图形为　　 A. B. C. D. 11. 某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图），在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（） A 8cm B. 10cm C. 12cm D. 15cm 12. 如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EBC＝110°；④AD＝AC；⑤∠EFB＝40°，正确的个数为（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 在中，为边上的高，，，则是___________度． 14. 如图，七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，将一副七巧板拼成一只小动物，则________． 15. 如图，中，若，，，则______． 16. 如图，在中，，D为上一点，若是的角平分线，则___________． 17. 如图所示的是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形，已知③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是________． 18. 如图，在锐角三角形中，是边上的高，在上分别截取线段，使；分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线交于点M，过点M作于点N，若，则________． 三、解答题（满分66分） 19. 尺规作图 已知：，和线段a，求作，使，，． 要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母． 20. 在的正方形网格中，和是关于某条直线成轴对称的两个格点三角形（顶点在网格线交点上的三角形）．现给出了，在如图所示的图中画出4个符合条件的，并画出对称轴． 21. 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地米，将它往前推3米时，踏板离地米，此时秋千的绳索是拉直的，求秋千的长度． 22. 如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 某校七年级班学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B之间的距离，设计出如下几种方案： 方案a：如图（1）所示，先在平地上取一个可直接到达A、B点C，再连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使，，最后测出DE的距离即为AB之长： 方案b：如图（2）所示，过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点，使，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出了DE的长即为A、B之间的距离． 阅读后回答下列问题： （1）方案a是否可行？请说明理由 （2）方案b是否可行？不必说明理由 （3）方案b中作，的目的是___________，若仅满足，方案b的结论是否成立． 24. 如图所示，一架25米长的梯子AC斜靠在一面竖直的墙AB上，这时梯子底端C到墙的距离BC为7米． （1）求这个梯子的顶端距地面的高度AB的长； （2）如果梯子的顶端A沿墙下滑4米到点，小明说梯子的底端C在水平方向向右也滑动4米．你认为小明说的对吗?请说明你的理由． 25. 如图，点P在的内部，点C和点P关于对称，点P关于对称点是D，连接交于M，交于N． （1）若，则________．； （2）若，求的度数； （3）若，则周长为________； （4）点在射线的同侧，在射线上找一点G，使最小，则G与图中的________点重合，的最小等于图中线段________的长度． 26. 阅读下面的证明过程： 如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线l上，求证：． 证明：由题意，，． ∴． 在和中， ， ∴． 像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索． 请结合以上阅读，解决下列问题： （1）如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论． （2）如图3，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，求证：． （3）如图4，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为12米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为18米，高为4米的矮台B，请写出旗杆的高度是 ．（不必书写解题过程） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中质量检测 初二数学试题 （120分钟，120分） 说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡． 一、选择题：（本题共12个小题，每小题3分，满分36分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可． 【详解】A．图案不成轴对称，故不符合题意； B．图案成轴对称，故符合题意； C．图案不成轴对称，故不符合题意； D．图案不成轴对称，故不符合题意； 故你：B． 2. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点， 故选：C 3. 小强家有两块三角形的菜地，他想判断这两块三角形菜地的形状大小是否完全一样，他设想了如下四种方法，下列方法中，不一定能判断两个三角形全等的是（　　） A. 测量三边对应相等 B. 测量两角及其夹边对应相等 C. 测量两边及除夹角外的另一角对应相等 D. 测量两边及其夹角对应相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定方法，即可判断． 【详解】解：全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS； A：根据SSS，两个三角形全等； B：根据ASA，两个三角形全等； C：两个三角形不一定不全等； D：根据SAS，两个三角形全等； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定方法，即 ，， ， ，解题的关键是熟练掌握并能够灵活运用三角形全等的判定方法． 4. 如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D． 【详解】解：由轴对称图形的性质得到，， ∴， ∴B、C、D选项不符合题意， 故选：A． 5. 5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点D， 中,，， ， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半． 6. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ） A. 顶角B角平分线 B. 边的垂直平分线 C. 边的中线 D. 边的高线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，根据作图痕迹判断出线段是的高即可． 【详解】解：由作图可知，故线段是的高． 故选：D． 7. 第14届国际数学大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则等于（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质，由全等三角形的性质可得，则由线段的和差关系可得，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵是四个互相全等的直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 以下列各组数据是勾股数，以它们为边长作三角形能作成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，根据勾股数定义，需满足三个正整数且能构成直角三角形．对各选项逐一验证是否满足勾股定理及是否为整数． 【详解】A．，满足勾股定理，且均为正整数，是勾股数，故符合题意； B．，虽满足勾股定理，但含小数，不符合勾股数必须为正整数的要求，不符合题意； C．，不满足勾股定理，故错误，不符合题意； D．，不满足勾股定理，且非正整数，故错误，不符合题意． 综上，只有选项A符合条件． 故选A． 9. 的两边，满足，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理． 由等式可分别得到关于a、b的等式，从而分别计算得到a、b的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形． 【详解】解∵， 又∵ ， ∴， 解得 ， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， 故选：D． 10. 如图，将一张正方形纸片沿箭头所示的方向依次折叠后得到一个三角形，再将三角形纸片减去一个小等腰直角三角形和一个半圆后展开，得到的图形为　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合空间思维，分析折叠的过程及剪三角形的位置，注意图形的对称性，易知展开的形状． 【详解】当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在直角三角形中间的位置上剪三角形和半圆，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且4个小正方形关于对角线对称可得答案为D． 故选D. 【点睛】本题考核知识点：轴对称. 解题关键点：发挥空间想象能力，也可以动手做实验. 11. 某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图），在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（） A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 15cm 【答案】D 【解析】 【分析】画出三棱柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将三棱柱沿展开，其展开图如图， 则． 故选：D． 【点睛】题目主要考查的是平面展开最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径，同时也对勾股定理的应用进行考查． 12. 如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EBC＝110°；④AD＝AC；⑤∠EFB＝40°，正确的个数为（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件证明△AEF≌△ABC，从中找出对应角或对应边,然后根据角之间的关系即可解答． 【详解】解：在△ABC与△AEF中， AB=AE ∠ABC=∠AEF BC=EF ， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴AF=AC，∠EAF=∠BAC； ∴②正确, ∠EAB=∠FAC= 40° ； ∴①正确 ∵∠ABC=∠AEF，∠ADE=∠FDB， ∴∠EFB=∠EAB= 40° ， ∴⑤正确 ∵AF=AC，∠FAC= 40° ； ∴∠AFC=∠C= 70° ； ∵∠EFB = 40° ， ∴∠EFC= 140° ∴∠EFA=∠AFC= 70° ∵∠BAF不一定等于 40° ， ∴∠ADF不一定等于 70° ∴∠ADF不一定等于∠EFA ∴AD不一定等于AF ∴④不正确 连接BE　∵AE=AB, ∠EAB=40° ∴∠AEB=∠ABE= 70° ∵ ∠ABC=∠AEF 不一定等于 40° ， ∴∠EBC不一定等于 110° ∴③不正确 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 在中，为边上的高，，，则是___________度． 【答案】40或80##80或40 【解析】 【分析】根据题意，由于类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解． 【详解】解：根据题意，分三种情况讨论： ①高在三角形内部，如图所示： 在中，为边上的高，， ， ， ； ②高在三角形边上，如图所示： 可知， ， 故此种情况不存在，舍弃； ③高在三角形外部，如图所示： 在中，为边上的高，， ， ， ； 综上所述：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键． 14. 如图，七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，将一副七巧板拼成一只小动物，则________． 【答案】##135度 【解析】 【分析】题目主要考查角度的计算，结合图形得出组成的三个角均为是解题关键． 根据图形直接求解即可． 【详解】解：根据题意得， 故答案为：． 15. 如图，在中，若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边对等角得出，再有三角形内角和定理及等量代换求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键． 16. 如图，在中，，D为上一点，若是的角平分线，则___________． 【答案】5 【解析】 【分析】首先证明，，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，过点D作的垂线，垂足为P， 在中，∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， 在中，∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 17. 如图所示的是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形，已知③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查勾股定理定理，根据正方形的边长相等，等腰直角三角形的直角边相等，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，可知，③号正方形的边长为1， 由勾股定理，得：4号正方形的面积为：， ②号正方形的面积为：， 5号正方形的面积为：， ①号正方形面积为：； 故答案为：16． 18. 如图，在锐角三角形中，是边上的高，在上分别截取线段，使；分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线交于点M，过点M作于点N，若，则________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，． 【详解】解：作图可知平分， ∵是边上的高，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（满分66分） 19. 尺规作图 已知：，和线段a，求作，使，，． 要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母． 【答案】见解析 【解析】 【分析】首先作射线进而截取AB=a，再分别以A，B为端点，作∠A=∠α，∠B=2∠β，两条射线交于点C，即可得到所求的△ABC． 【详解】解：如图，△ABC即为所求． ． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，正确掌握作一角等于已知角的方法是解题关键． 20. 在的正方形网格中，和是关于某条直线成轴对称的两个格点三角形（顶点在网格线交点上的三角形）．现给出了，在如图所示的图中画出4个符合条件的，并画出对称轴． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，解题关键是熟知轴对称的性质．运用轴对称图形的性质画出图形即可． 【详解】解：如图所示，和直线l即为所求．（答案不唯一） ； 21. 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地米，将它往前推3米时，踏板离地米，此时秋千的绳索是拉直的，求秋千的长度． 【答案】5米 【解析】 【分析】根据题意设参数，利用勾股定理即可求出秋千的长度． 【详解】解：设米， 米，米， （米），米， 在中，米，米，米， 根据勾股定理得：， 解得：． 秋千的长度是5米． 故答案为：5米． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解题的关键在于理解题意，设参数和熟练掌握勾股定理的公式（两直角边的平方和等于斜边的平方）． 22. 如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明； （2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而即可求解． 【小问1详解】 证明：∵为的角平分线， ∴， 由作图可得， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 ∵，为的角平分线， ∴ 由作图可得， ∴， ∵，为的角平分线， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 23. 某校七年级班学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B之间的距离，设计出如下几种方案： 方案a：如图（1）所示，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，再连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使，，最后测出DE的距离即为AB之长： 方案b：如图（2）所示，过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点，使，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出了DE的长即为A、B之间的距离． 阅读后回答下列问题： （1）方案a是否可行？请说明理由 （2）方案b是否可行？不必说明理由 （3）方案b中作，的目的是___________，若仅满足，方案b的结论是否成立． 【答案】（1）可行，见解析；（2）可行；（3）对应角，成立 【解析】 【分析】（1）方案a对顶角相等，只要夹这个角的两边对应相等，利用“边角边”就可以判断三角形全等； （2）方案b对顶角相等，又有垂直，两个对应角是直角，利用“角边角”，就可以判断两个三角形全等； （3）根据“角边角”可知仅满足也可以证明三角形全等，由此可得答案． 【详解】解：（1）可行，理由如下： ∵在与中， ， ∴ ∴AB＝DE； （2）可行，理由如下： ∵AB⊥BF，DE⊥BF， ∴ ∵在与中， ， ∴ ∴AB＝DE； （3）作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是为了使对应角∠ABD＝∠BDE＝90°，只要∠ABC＝∠EDC，依然可以用“角边角”证明两个三角形全等，所以方案b的结论仍成立． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用；在测量长度或者角度问题中，如果不能直接测量，可以构造全等三角形，利用对应边（角）相等来解决问题． 24. 如图所示，一架25米长的梯子AC斜靠在一面竖直的墙AB上，这时梯子底端C到墙的距离BC为7米． （1）求这个梯子的顶端距地面的高度AB的长； （2）如果梯子的顶端A沿墙下滑4米到点，小明说梯子的底端C在水平方向向右也滑动4米．你认为小明说的对吗?请说明你的理由． 【答案】（1）；（2）小明说的不对，见解析 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理解答即可； （2）先求出梯子顶端下滑后距离地面的高度，然后在，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：（1）根据勾股定理：梯子顶端距离地面的高度为：； （2）小明说的不对，理由如下：梯子下滑了4米，即梯子顶端距离地面的高度为， 根据勾股定理得：，解得=． 即梯子底端在水平方向滑动了8米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构建直角三角形，熟记勾股定理． 25. 如图，点P在的内部，点C和点P关于对称，点P关于对称点是D，连接交于M，交于N． （1）若，则________．； （2）若，求的度数； （3）若，则的周长为________； （4）点在射线的同侧，在射线上找一点G，使最小，则G与图中的________点重合，的最小等于图中线段________的长度． 【答案】（1） （2） （3）16 （4） 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据对称性得到，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）同法（1）即可得出结果； （3）根据对称性得到，进而得到的周长为线段的长即可； （4）根据对称性得到，进而得到，进而得到当三点共线时，的值最小，得到与点重合，最小等于图中线段的长即可． 【小问1详解】 解：由对称性可知：， ∴， 即：； 故答案为：； 【小问2详解】 同（1）可知：； 【小问3详解】 由对称性可知：， ∴的周长； 故答案为16； 【小问4详解】 由对称性可知：， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∴当与点重合，最小等于图中线段的长； 故答案为：． 26. 阅读下面的证明过程： 如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线l上，求证：． 证明：由题意，，． ∴． 在和中， ， ∴． 像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索． 请结合以上阅读，解决下列问题： （1）如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论． （2）如图3，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，求证：． （3）如图4，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为12米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为18米，高为4米的矮台B，请写出旗杆的高度是 ．（不必书写解题过程） 【答案】（1），证明见解析 （2）见解析 （3）17米 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练的证明三角形全等是解本题的关键． （1）先证明， ，结合，可得，再利用全等三角形的性质可得结论； （2）过D作交的延长线于点F，如图：证明，结合，可得，证明，可得，结合，可得结论； （3）过A作，过B作，如图：证明，可得，，证明，可得，从而可得答案． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 【小问2详解】 证明：过D作交延长线于点F，如图： ∵， ∴，， ∴，而， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 过A作，过B作，如图： 同理可证， ∴，， 由题意知，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴（米）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $