2025-2026学年八年级数学下册期末考试高频重难点易错题检测卷一（苏科版）

**基本信息** 聚焦八年级下册期末高频重难点，以易错题为载体，系统整合概率统计、代数运算、几何变换三大模块，通过概念辨析、分步验证、模型构建提炼解题方法，强化知识逻辑链与核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概率统计|选择1/21题|事件分类判断、频率估计概率|从随机事件定义到统计量应用，构建“概念-计算-推断”逻辑链| |代数运算|选择2/3/18题|因式分解验证法、分式方程增根处理|整式乘法逆运算→分式方程求解→不等式组解法，强化运算推理意识| |几何变换|选择8/10/24题|轴对称最短路径、动点几何建模|从图形性质（正方形、等边三角形）到动态问题转化，培养空间观念与抽象能力|

2025-2026学年八年级数学下册期末考试高频重难点易错题检测卷一 一、选择题 1．下列说法正确的是（    ） A．天气预报说明天降水概率非常大，则明天会下雨是必然事件 B．某彩票中奖率为，小明买了4张这种彩票，前3张都没有中奖，则最后一张中奖的概率仍为 C．任意抛掷一枚图钉10次，针尖全都向上，则抛掷一枚图钉针尖向下为不可能事件 D．射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，所以他中靶的概率为 2．下列从左到右的运算是因式分解，并且分解正确的是（     ） A． B． C． D． 3．若分式方程有增根，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是（   ） A．8 B．10 C．8或10 D．无法确定 5．若，则x应满足的条件为（　　） A． B． C． D． 6．已知时，分式无意义，时，分式的值为零，则的值是（     ） A．0 B．2 C．4 D．8 7．如图是某地区年至年教育经费投入额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区年的教育经费投入额，建立了与时间变量的两个一次函数模型．根据年、年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据年、年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．分别利用这两个模型，计算该地区年的教育经费投入额的预测值，下列方法更可靠的是（     ） A．将代入模型①计算 B．将代入模型①计算 C．将代入模型②计算 D．将代入模型②计算 8．如图，在正方形外侧作等边三角形，则为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的周长为（     ）． A． B． C． D． 10．如图，∠，内有一点P，，M是上一动点，N是上一动点，则周长的最小值为（    ） A．10 B．5 C． D． 二、填空题 11．投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子（六个面分别标记、、、、、点），有下列事件：①掷得的点数是；②掷得的点数是奇数；③掷得的点数不小于；④掷得的点数为．这些事件发生的可能性由大到小排列是______（填序号）． 12．因式分解：=___________ 13．设x为实数，已知实数x满足．则的值为________． 14．在“双碳”战略的引导下，我国新能源汽车产业蓬勃发展.经过对某款新能源电动汽车和某款燃油车的对比发现，平均每公里电动汽车的充电费比燃油车的加油费少0.64元．当充电费和加油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍，设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则可列方程为_____． 15．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边，在x轴上，点D在y轴上，则点A的坐标为____． 16．如图，在等边中，为上一点，以为边作等边， 为的中点，连接．若，，则的长为______． 三、解答题 17．计算： （1）； （2）． 18．解方程及解不等式组： （1）解分式方程：． （2）解不等式组：． 19．如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式分割成块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形，三块是长为，宽为的长方形（）． （1）观察图形，根据面积相等，可以发现代数式可因式分解为________； （2）将图中阴影部分的面积记作，非阴影部分的面积记作，若，求的值． 20．一家文具店准备购进两种款式的书桌售卖，甲款书桌单价比乙款书桌贵40元．店主用1200元购进甲款书桌的数量，与用800元购进乙款书桌的数量相同． （1）求甲、乙两款书桌的单价（列分式方程求解）． （2）店主计划一共购进两款书桌共60张，且乙款书桌的进货数量不超过甲款书桌数量的2倍．若进货总费用不超过5880元，请问共有多少种进货方案？（不需要写出具体方案） 21．下表是某厂质检部门对该厂生产的一批N95口罩质量检测的情况． 抽取的口罩数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 471 946 1425 1898 2853 3812 合格品频率 0.942 0.946 0.950 a b 0.953 （1）求出表中a ，b ． （2）从这批口罩中任意抽取一个是合格品的概率的估计值是 （精确到0.01）． （3）如果要生产285000个合格的N95口罩，则该厂估计要生产多少个N95口罩？ 22．为了提高师生们的安全意识，使青少年学生安全、健康成长，某校组织了一次“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生的答题成绩（单位：分）进行统计，将成绩分为四个等级：，，并根据结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取 人；扇形统计图中的B等级的圆心角度数为 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）若90分及以上的答题成绩为“优秀”，该校共有2000名学生，估计该校学生答题成绩为“优秀”的人数． 23．在平面直角坐标系中，直线经过点和点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求直线l的解析式； （2）求点C、D的坐标，并计算线段的长度； （3）若点P是直线l上的一个动点，横坐标为t，当点P到x轴的距离为2时，求点P的坐标； （4）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（校园平面建模动点探究项目） 【项目背景】为美化校园环境，学校后勤部门对教学楼前矩形休闲区域进行规划建模． 在平面直角坐标系中，轴、轴分别代表校园的东西向、南北向主干道，点、 分别在轴、轴正半轴上，已知线段垂直于轴， ， ， ，且．构成如图基础休闲区域． 【项目运动规则】为测试区域动线规划合理性，设置两个动态运动点：点从点出发，以的速度向终点匀速运动；点从 点同时出发，以的速度向终点匀速运动．两点同时开始运动，任意一点到达终点时，所有运动立即终止，设运动时间为 秒（）． 请结合项目场景，完成以下探究任务： （1）【基础建模：面积动态表示】运动 秒后，请用含 的代数式表示四边形的面积； （2）【参数求解：相等位置探究】在运动过程中，若，求此时运动时间 的值； （3）【最值探究：周长最优规划】已知点是线段的中点，点是线段上的动点（始终在点左侧），且运动全过程中线段的长度恒为保持不变．请探究运动过程中四边形的周长最小值，直接写出结果即可． 参考答案 1．B 【分析】本题考查事件的分类与概率的基本概念，根据相关定义逐项判断即可． 【详解】解：A． ∵降水概率大仅说明明天下雨的可能性较高，明天下雨属于随机事件，不是必然事件，∴A说法错误，不符合题意； B． ∵每张彩票的中奖概率相互独立，不受其他彩票结果影响，中奖率表示每张彩票的中奖概率均为，∴最后一张中奖的概率仍为，B说法正确，符合题意； C． ∵10次抛掷的结果不能改变事件的性质，抛掷图钉针尖向下仍是随机事件，不是不可能事件，∴C说法错误，不符合题意； D． ∵射击一次中靶和脱靶不是等可能事件，因此中靶的概率不等于，∴D说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．B 【分析】先根据因式分解的定义排除不符合选项，再验证剩余选项分解是否正确即可 【详解】解：因式分解要求将多项式化为几个整式的乘积，且结果必须分解彻底，据此逐项判断： A、结果为，不是几个整式乘积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意； B、对左边变形：，结果是整式乘积，且分解正确，故该选项符合题意； C、，还可以继续分解，分解不彻底，故该选项不符合题意； D、展开等式右边得 ，和左边不相等，分解错误，故该选项不符合题意 3．A 【分析】先将分式方程化为整式方程，再代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程 有增根， ∴最简公分母，得， 方程两边同乘去分母得： ， 整理得：， 将增根代入整式方程得： ， 解得． 4．B 【分析】先整理等式为两个完全平方的和，求出，的值，再分情况讨论边长，结合三边关系排除不合理解，计算周长． 【详解】解：∵ ∴ 即 ∵任何数的平方都是非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0 ∴， 解得，． 分两种情况讨论： ①若腰长为，底边为，则三边长为，，．∵，不满足三角形两边之和大于第三边，此情况不成立． ②若腰长为，底边为，则三边长为，，．∵，，满足三角形三边关系． ∴的周长为． 5．A 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得：， ∴． 6．D 【分析】分式无意义时分母为0，分式值为0时分子为0且分母不为0，据此求出和的值，然后求的值即可． 【详解】解：∵时，分式无意义， ∴此时分母， 把代入得 ，解得：． ∵时，分式的值为0， ∴此时分子，且分母不为0， 把代入分子得 ，解得， 验证分母：时，，符合要求， ∴． 7．D 【分析】先确定两个模型中年对应的值：模型①以年为，得；模型②以年为，得，再结合折线图趋势，年后增长模式改变，模型②基于后期数据更贴合实际，因此应将代入模型②计算． 【详解】解：模型①：年对应， ∴年份对应的， ∴年对应， 但模型①是用年（最早）和年（最晚）的两端数据建立，没有贴合后期的增长趋势，预测不可靠； 对于模型②：年对应， ∴年份对应的， ∴年对应， 再看折线图的趋势：年之后教育经费投入的增长模式发生了变化， 模型①用了年的全部数据，包含了前期增长较慢的阶段，和后期增长模式不符； 模型②用了年的数据，更贴合后期的增长趋势， 所以用模型②预测年更可靠，需要将代入模型②计算． 8．B 【分析】本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据正方形的性质和等边三角形的性质可得，再利用等腰三角形的性质：等边对等角，即可求解． 【详解】四边形为正方形， ，， 为等边三角形， ，， ，， 为等腰三角形， ． 9．B 【分析】通过作图可知平分，根据平行四边形的性质证明，继而得出的周长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵由作图可知平分， ∴， ∴， ∴的周长． 10．C 【分析】作点P关于的对称点D，E，连接，利用轴对称的性质证明，，的周长，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：作点P关于的对称点D，E，连接，如图， 则垂直平分，垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长（当D、M、N、E四点共线时取等号）， ∴的周长的最小值即为的长， ∵， ∴的周长的最小值是． 11．② ③ ① ④ 【分析】此题考查可能性大小的比较，正确记忆相关知识点是解题关键．只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．分别比较情况数的大小即可选得答案． 【详解】解：根据题意，投掷一枚普通的六面体骰子，共种情况： ① 掷得的点数是包含种情况； ② 掷得的点数是奇数包括种情况； ③ 掷得的点数不小于包括种情况； ④ 掷得的点数为包括种情况， 故发生的可能性由大到小的顺序排为② ③ ① ④． 故答案为：② ③ ① ④． 12． 【分析】将看成一个整体，利用十字相乘法进行分解，再对各因式进行分解． 【详解】解：原式 ． 13． 【分析】根据已知式子得出，进而利用完全平方公式求出的值，即可求解； 【详解】解：∵， ， ， ， ， ． 14． 【分析】本题考查列分式方程，先根据已知条件分别表示出总费用均为100元时，电动汽车和燃油车的行驶路程，再根据电动汽车行驶总路程是燃油车的9倍这一等量关系列方程即可． 【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为元， 可得燃油车平均每公里的加油费为元， 100元充电费对应的电动汽车行驶路程为公里， 100元加油费对应的燃油车行驶路程为公里， 由电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍， 可得方程． 故答案为． 15． 【分析】由菱形的性质得到，证明是等腰直角三角形，利用勾股定理得到，则，再证明轴，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵在x轴上， ∴轴， ∴点A的坐标为． 16． 【分析】连接，取中点，连接，过点作于点，可证得，得到，，然后利用两次勾股定理即可求解出的长． 【详解】解：如图，连接，取中点，连接，过点作于点． ∵，是等边三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ 为的中点，是的中点， ∴，， ∴， ∴，， ∴在中， ． 17．（1） （2） 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（1）原分式方程无解 （2） 【分析】（1）先去分母化为整式方程，然后解整式方程，对计算结果进行检验可得答案； （2）先求得每个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为该不等式组的解集． 【详解】（1）解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得 检验：当时， 故是原分式方程的增根，即原分式方程无解； （2）解：解不等式①，得 解不等式②，得 ∴原不等式组的解集为． 19．（1） （2）的值为 【分析】（1）根据题意可得长方形纸片的面积为，或者表示为，即可求解； （2）观察图形得到，，根据得到，即可得出答案． 【详解】（1）解：由图形可知，大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积为， ∵大长方形中，有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形，三块是长为，宽为的长方形， ∴大长方形的面积为， ∴代数式可因式分解为． （2）解：由图形可知，，， ∵， ∴， 整理得，，即， ∴， ∴． 20．（1）甲款书桌单价为120元，乙款书桌单价为80元 （2）共有8种进货方案 【分析】（1）设乙款书桌的单价为元，则甲款书桌的单价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）根据题目的两个限制条件列一元一次不等式组，求出甲款数量的取值范围，统计范围内正整数的个数即可得到进货方案的种数． 【详解】（1）解：设乙款书桌的单价为元，则甲款书桌的单价为元， 根据题意，得 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴ 答：甲款书桌单价为120元，乙款书桌单价为80元； （2）解：设购进甲款书桌张，则购进乙款书桌张， 根据题意，得 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵是正整数， ∴可取值为20,21,22,23,24,25,26,27，共8个不同值. 答：共有8种进货方案． 21．（1）， （2） （3）300000 【分析】（1）根据表中数据计算即可； （2）由表中数据可判断频率在0.95左右摆动，从而利于频率估计概率可判断任意抽取一只口罩是合格品的概率为0.95； （3）用样本数据估计总体即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）解：由表格可知，随着抽取的口罩数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在附近波动， 所以任意抽取的一个是合格品的概率估计值是； （3）解：个． 答：该厂估计要生产300000个N95口罩． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 22．（1）200， （2） （3）480人 【分析】（1）用A等级人数除以其扇形统计图中所占百分比即可得到抽取的人数，用360度乘以B等级所占比例即可得到其圆心角的度数； （2）先依次求出D、C等级的人数，再补全统计图即可； （3）用样本估计总体的方法求解即可 【详解】（1）解：这次抽样调查共抽取（人）； 扇形统计图中的B等级的圆心角度数为； （2）解：D等级的人数为（人）， C等级的人数为（人）， 统计图略． （3）解：（人）， 答：估计该校学生答题成绩为“优秀”的有480人． 23．（1） （2），， （3）或 （4）不存在满足条件的点，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由： 由题意知，点A、B、C在直线l上， ∴无论点Q在直线l外还是在直线l上都不能构成四个顶点都不在同一条直线上的四边形． 【分析】（1）求解直线解析式：因为直线过两个已知点，所以将两点坐标代入得到二元一次方程组，解方程组即可得到和的值． （2）求交点坐标与线段长度：如果求与x轴交点C，那么令代入直线解析式求解x；求与y轴交点D，则令代入求解y；得到C、D坐标后，用勾股定理计算的长度． （3）求点P坐标：因为点P到x轴的距离为2，所以点P的纵坐标的绝对值为2，即，将和分别代入直线解析式求解对应的横坐标t，即可得到P点坐标． （4）A、B、C三个已知点都在直线l上，点Q无论在直线l外还是在直线l上都不能构成四边形．不存在平行四边形． 【详解】（1）解：把、代入， 得方程组， 解得，． ∴直线l的解析式为； （2）解：C是直线与轴交点，轴上， 代入得， ； 是直线与轴交点，轴上， 代入得， ； 中，由勾股定理：； （3）解：点横坐标为，且在直线l上， ． 点到轴距离为2，即， 得： 当时，， 得； 当时，， 得． 点坐标为或； （4）解：略 24．（1） （2）或 （3） 【分析】（1）根据梯形面积公式求解即可； （2）分情况讨论四边形为平行四边形或梯形时满足条件的 值； （3）在上取点使，过点作于点，作点关于的对称点，连接、，交点，当点，，共线时，设与轴交于点，即在时，此时四边形周长最小． 【详解】（1）解： ， ， ∵， ， 又， ， ， 四边形 的面积； （2）解：当四边形是平行四边形时， ， ， ，解得； 当四边形是等腰梯形时， ， 如图 ，过点，作， 于点，， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 解得， 综上所述： 的值为或； （3）解：如图，在上取点，使， 过点作于点，作点关于的对称点，连接、，交点， 轴， ， ， 点是线段中点， 点是线段中点， 过点作交于，如图， ∵， ， ∴同理是的中点， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ， ， 四边形是矩形， ， ∵， ∴， ， ∴， ∵在中，， 四边形周长， 当最小时，四边形周长最小， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， 根据两点之间线段最短，当点，，共线时，设与轴交于点， ∴， 即在时，此时最小 ， 四边形周长最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $