2025-2026学年北师大版 八年级数学下学期期末复习模拟卷

**基本信息** 八年级数学期末复习模拟卷，涵盖分式、几何、不等式等核心知识，通过中科院图标、自行车车架等真实情境，融合数学抽象、推理与模型意识，实现基础巩固与能力提升的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|分式意义、中心对称图形、不等式性质|结合中科院图标考查中心对称，自行车车架几何模型应用| |填空题|6/18|因式分解、坐标象限、旋转角度|动态几何问题（点P运动构成直角三角形）| |解答题|9/72|不等式组、几何证明、应用题、规律探究|汝南特产采购方案（不等式与函数结合），立表测影跨学科情境，和谐数定义创新题|

2025-2026学年八年级数学下学期期末复习模拟卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 11 1.要使分式x一1有意义，x的取值应满足() A.x>1 B.x≠0 C.x≠1 D.x<1 2.·下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是() 3.若x<y,则下列不等式一定成立的是() A.x+3<y+2 B.x-3<y-3 C.-3x<-3y 山.含岁 4.下列式子从左到右的变形是因式分解的为() A.m(1-m）=m-m2 B.m+2mn+2=(m+m} c. -3=m D.m2-4m+10=m(m-4)+10 5.自行车的车架设计蕴含丰富的几何知识.如图，自行车的车把手AB与地面平行.后轮支 撑结构为△EFG,∠EFG=60°，EG=FG,前轮支撑结构BD,EF互相平行.已知∠CDE=60°，则 ∠DEG 的度数为() A-B A.60° B.120° C.135o D.150° 6.如图，在△ABC中，AB=6,AC=5,BC=9,AI平分∠BAC,CI平分∠ACB.将∠BAC平 移，使其顶点A与点I重合，则图中阴影部分的周长为() A.9 B.10 C.11 D.12 7.如图，直线：y=x+n与直线l,:y=c+m交于点P,下列结论错误的是（) l:y=x+n l:y=kx+m A.k<0,m>0 B.关于x的方程x+n=c+m的解为x=3 C.直线上有两点），），若<时，则< D.关于x的不等式k-小r<n-m 的解集为x<3 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交AB,AC于点 D,E,再分别以点D,E为圆心，大于2DE为半径画弧.两弧在∠BAC内相交于点F,作 射线AF交边BC于点G,若CG=4,下列结论正确的是（) B A.∠CAG=∠B B.AC=BG C.点G到AB的距离为4 D.∠B=30° 2x-4=1-0-3x 9.若关于x的分式方程x-2 -2-x的解是非负数，则a的取值范围为() A.a≥-2 B.a≥-2且a≠6C.a≤3 D.a≤3且a≠1 10.如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点O,∠ADC的平分线与AB交于点E,与AC交于点 F,连接OE,∠BAD=60°，AB=2AD=2,则下列结论中不正确的是() D A.∠BDC=30° B.AC=7 c.05=40 D.S.OED=S40CD 6 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.因式分解：2a2-2b=一 x2-1 12.若代数式x-的值为0，则实数x的值是一· 13.在平面直角坐标系中， P(m-2,7-m)在第一象限，则整数m可以是 (写 出一个即可) 14.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转56°得到△ADE,点D在AC的延长线上，连接CE,则 ∠ACE= D 15.如图，在△ABC中，∠B90°，AB=2,AD是△ABC的中线，CE⊥BC,CE=4,且 ∠ADE=90° 则、 E 16.如图，在四边形ABCD中，已知AD L AB,CB⊥AB,AB=BC=8cm,AD=2cm,点P从A出发， 沿射线AB以2cm/s的速度移动，当P运动到 时，△CDP是直角三角形. A D B五 三、解答题（本题共9小题，共72分.） 2(x-1)≥3x-5 17解一元-一次不等式组任生2x ,并把解集表示在数轴上， 5432012345→ x-1+1）点x 18.先化筒x+1-x,再从-1,0,1,2中选取一个合适的数作为x的值代入求值. 19.如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点 上. (1)画出将△ABC向左平移3个单位后得到的图形△ABC； (2)将aDEF绕点E逆时针旋转90°得到△D,EF,画出△DEE: (3)若aDEF由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为()· 20.如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线 于点E,连接AE,CD. (1)求证：四边形ADCE是平行四边形； (2)若∠B=30°，∠CAB=45°，AC=V6,求△ABC的面积. 21.观察下列等式： 211 第1个等式：22-113， 211 第2个等式：4-135， 211 第3个等式：62-157， … 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； 1,1 1 3)运用规律计算：22-+4-+6-++2 20242-1· 22.汝南特产五香大头菜是河南酱菜非遗技艺的代表性腌渍食品，汝南五香鸡汁豆腐干是源 于唐代的河南驻马店传统名吃.某商家计划从汝南购进五香大头菜和鸡汁豆腐干两种特产， 已知每箱鸡汁豆腐干的价格比每箱五香大头菜的价格贵8元，用1200元购买鸡汁豆腐干的数 量恰好与用1000元购买五香大头菜的数量相同. (1)求五香大头菜和鸡汁豆腐干每箱的价格， (2)该商家计划购买这两种特产共60箱.为推广汝南农产品，供应商对两种特产进行了优惠： 鸡汁豆腐干每箱降价5元，五香大头菜每箱打九折.若要求鸡汁豆腐干的数量不得少于五香 大头菜数量的一半，则购买这批特产最少需要花费多少元？ 23.“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保 “表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日 影长度，由此判断季节或时间.如图，“表”AB与“圭”BC垂直，冬至时节“表”AB的日 影最长(BC的长)，某一节气，光线AM平分∠BAC,D为AC上一点，连接MD,BD, MD⊥AC 心：6精 短变化，来测定锋气。 B (1)求证：BM=DM; (2)若“表”AB=6,AC=10,求CM的长； (3)若AM=CM,判断△ABD的形状，并说明理由. 24.配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式 的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题.我们规定：一个整数能表示成a2+b(a,b 是整数)的形式，则称这个数为“和谐数”.例如，10是“和谐数”，理由：因为10=32+1， 所以10是“和谐数”， 【解决问题】 (1)下列各数中，“和谐数”有_·（填序号） ①12；②20；③45；④60. 【探究问题】 2若a2-8a+25可配方成a-m+r(,n为常数，则m的值· (3)已知M=a2+4ab+5b-6b+k(a,b是整数，k是常数)，要使M为“和谐数”，试求出符 合条件的一个k值，并说明理由. 【拓展应用】 (4)已知P=3x2+4y+15,0=2x2-y2+10x-17，,比较P,Q的大小. 25.如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD,交BC于点E,且 ∠ADC=60° D B E 备用图 (1)求证：△ABE是等边三角形. AB (②)若C=m(0<m<,AC=35,连结OE ①若m=2,求ABCD的面积： S四边形0EcD=k ②设S△Aop ，试求k与m之间满足的关系. 参考答案 一、选择题 1.C 解：分式有意义的条件是分母不为0， 11 .要使分式x-i有意义，则x-1≠0， 解得x≠1. 2.A 解：A、图形绕着某个点旋转180°，旋转后的图形能与原来的图形重合，是中心对称图形，符 合题意. B、图形绕着某个点旋转180°，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，不 符合题意； C、图形绕着某个点旋转180°，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，不 符合题意； D、图形绕着某个点旋转180°，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，不 符合题意. 3.B 解：已知x<y, A选项，若x=ly=2,x+3=4,y+2=4,此时x+3=y+2,故A错误： B选项，“不等式两边同时减去3，不等号方向不变，x-3<y-3,故B正确； C选项，：不等式两边同时乘以-3，不等号方向改变，-3x>-3y,故C错误； D选项，不等式两边同时除以正数3，不等号方向不变，“3<行，故D错误. 4.B 解：A. m-m侧=m-m,是整式的乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意： B. m2+2mm+2=(m+n,是因式分解，符合题意， 3 C.等式右边的m不是整式，故该选项不符合题意； D.等式的右边不是整式乘积的形式，故该选项不符合题意. 5.B 解：：∠EFG=60°，EG=FG, △EFG是等边三角形， ∴.∠FEG=60°， ,BD∥EF, ∴.∠DEF=∠CDE=60°， ∴.∠DEG=∠DEF+∠FEG=120°： 6.A 解：连接BI,如图所示， B-- E A平分∠BAC,CI平分∠ACB, ∴.BI平分∠ABC, .∠ABI=∠CBI, 由平移得AB∥DI, .∠ABI=∠BID .∴.∠CBI=∠BID ∴.DB=DI 同理可得CE=EI; ∴.△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+BD+CE=BC=9, 即图中阴影部分的周长为9. 7.D 解：A、直线y=+m经过一、二、四象限， .k<0,m>0,故正确，不符合题意； B、直线y=x+n与直线y=c+m交于点P,点P的横坐标为3， ∴关于x的方程x+n=c+m的解为x=3,故正确，不符合题意； C、根据函数图像得到：直线：y=x+”上，y随x的增大而增大， :直线上有两点)，().< ∴.<2.故正确，不符合题意； D、根据函数图像得到：关于x的不等式+m<+”的解集为>3，即不等式k-)r<Rm的 解集为x>3,故选项错误，符合题意 8.C 解：由作图得，AG平分∠BAC CG=4, ∴点G到AB的距离=CG=4,故C正确； 根据题意无法得到∠CAG=∠B,AC=BG,∠B=30°，故A,B,D错误. 9.B 2x=4=1-0-3x 解：原分式方程x-21-2-x变形为： 2x-4=1+a-3x x-2 'x-2 方程两边同乘-2)（分每不为0，因此x2)去分母得： 2x-4=(x-2)+a-3x 整理得：4x=a+2, a+2 解得：x= 4， ,分式方程的解是非负数，且分母不能为0， (a+2z 4 学 解不等式4 a+20得：22， a+2 解不等式4≠2得：4≠6， ∴.a的取值范围为a≥-2且a≠6. 10.D 解：四边形ABCD是平行四边形，AB=2AD=2, ..AO=CO BO=DO AB=CD=2 AB//CD ∴.∠ADC+∠BAD=180° ∠BAD=60° ,又 ∴.∠ADC=120° :DE平分 ∠ADC ∴.∠ADE=∠CDE=60° AD BC ·∴△ADE是等边三角形， .AD=AE=DE=1∠DAE=∠AED=60° ∴.DE=BE=1∠BED=120° ∴.∠EBD=∠EDB=30° ∴.∠BDC=30° ,故A正确，不符合题意； BD=3AD=3 ·∠CBD=90°， B0=D0=3 2, 437 :C0=BC2+D0=1+4=2, AC=√ ，故选项B不符合题意； .BO=DO AE=BE=1 :0E=BC=2, 1 2 OB=AB,故选项C不符合题意： 4 .BO=DO AE=BE 1s. :.S.OEDBDE= SBcD,故选项D符合题意. 8 二、填空题 11.2a+ba-b) 解原式=2(a-b)=2(a+b(a-b). 12.-1 x2-1 解：代数式x-i的值为0 .x2-1=0且x-1≠0， 解得x=-1. 13.3(3,4,5,6中任意一个) 解：·点 (m-2,7-m在第一象限， m-2>0 7-m>0. 解不等式m-2>0得m>2, 解不等式7-m>0得m<7, 因此不等式组的解集为2<m<7, 又：m为整数， :m可取 3,4,5,6 中任意一个， 则整数m可以是3(3,4,5,6中任意一个)， 14.62 解：将△ABC绕点A顺时针旋转56°得到△ADE,点D在AC的延长线上， .AC=AE,∠CAE=56°， .∴.∠ACE=∠AEC, 在△ACE中，根据三角形内角和定理得：∠ACE+∠AEC+∠CAE=180°， .2LACE+56°=180°，解得：∠ACE=62°. 15.6 解：延长AD交EC的延长线于F,如图所示： :AD是△ABC的中线， .'BD=CD, :AB⊥BCEF⊥BC .∴.∠ABD=∠FCD 又，∠ADB=∠FDC, ∴.△ABD≌aFCD(ASA) ∴.CF=AB=2AD=DF .∠ADE=90° ∴.AE=EF=CE+CF=4+2=6 3 16.4或2s或7s 解：过点D作DH⊥BC,如图所示： D B H ·AD⊥AB,CB⊥AB .AD∥BC, DH⊥BC, .DH=AB=8cm(平行线之间的距离相等)， 同理得BH=AD=2cm, 则CH=8C-BH=8-2=6cm） :.DC=VDH+HC=64+36=10(cm). 设点P的运动时间是t秒， 依题意，当∠PDC=90°时，如图所示： ,·点P从A出发，沿射线AB以2cm/s的速度移动， ∴.AP=2t, 则BP=8-2t, 在RtAAPD中，DP2=AD2+AP2=4+4t2, 在Rt△BPC中，CP=BC+BP=64+(8-2}, 在RtACPD中，CP2=DC2+PD2; 即64+(8-2}=100+4+4r 整理得32t=24, 3 解得t=4; 依题意，当∠DPC=90°时，如图所示： D 在RtAPD中，DP2=AD2+AP2=4+412: 在Ri△BPC中，CP=BC+BP=64+(8-2 在RtACPD中，DC2=PD2+CP2=100: 即4+4+64+(8-2y=10 整理得2-41+4=0， 解得t=2; 依题意，当∠DCP=90°，如图所示： D :点P从A出发，沿射线AB以2cm/s的速度移动， ∴.AP=2t, 则BP=2t-8, 在RtAAPD中，DP2=AD2+AP2=4+4t2: 在Rt△BPC中， CP2=BC2+BP2=64+(2t-8)2 在RtACPD中，PD=DC2+CP2: 即4+4=100+64+(8-22 解得t=7; 3 综上：当p运动到4S或2s或7s时，△CDP是直角三角形. 3 故答案为：43或2s或7s 三、解答题 2(x-1)≥3x-5① 17.解： x+3<2x② 由①得：2x-2≥3x-5, 解得x≤3； 由②得，x+3<4x, 解得x>1, 小不等式组的解集为 1<x≤3 把解集表示在数轴上略： x-1x+1)+1÷x 18.解：原式+1 x(x-1) --1+lxx(x-D x+1 、2 ×(x-1) x+1 =x3-x2 x+1· x≠-1,0,1， x=2, 23-224 当x=2时，原式=2+13 19.(1)解：如图，△4BC即为所求； (2)解：如图，△D,EE即为所求； (3)解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； 即旋转中心在线段AD,CF的中垂线上， (0,1) 由图象可知，该点的坐标为 20.(1)证明：.AB∥CE, ∴.∠CAD=∠ACE,∠ADE=∠CED .F是AC中点， ∴.AF=CF ∠FAD=∠FCE ∠ADF=∠CEF 在 与 AFD△CFE 、△AFD≌ACFE(AAS) ∴.DF=EF, ∴.四边形ADCE是平行四边形； (2)解：过点C作CG⊥AB于点G, B LCAB=45°， ∴.∠CAG=∠GCA=45°， ..AG=CG, 在△ACG中，∠AGC=90°， ..AG2+CG2=AC2 AC= .CG=AG=3 ∠B=30° .cG-c ∴BC=25 在RIBCG中，BG=VBC2-CG=25-(5=3, ..AB=AG+BG=3+3 .△ABC的面积为2 BcG-)5+3x5-3+35 2 2 211 21.(1)解：第1个等式：22-113， 211 第2个等式：4-135， 211 第3个等式：62-157， 211 第4个等式：82-179： 211 (2)解：第1个等式：22-13， 211 第2个等式：42-135， 211 第3个等式62-157， 211 第n个等式：(2n}-12n-12n+1. 2 左边=4n2-1, 2n+1 2n-1 右边(2n-1)(2n+1)）(2n-1)(2n+1) 2n+1-2n+1 (2n-1)(2n+1) 2 4n2-1y ∴.左边=右边； 1 ，1, 1 （3)解：46十中2024 =1+11 1 1x33x5+5×7++ 2023×2025 1-*号*+m 11111 11 1012 2025· 2。(1)解：设五香大头莱每箱的价格为x元，则鸡汁豆腐干每箱的价格为+8 元， 12001000 由题意得：x+8x， 解得：x=40, 经检验，x=40是原方程的解，且符合实际， x+8=48, `.五香大头菜每箱的价格为40元，鸡汁豆腐干每箱的价格为48元； (2》解：设购买这批特产花费元，其中购买鸡计豆商干口箱，则购买五香大头某60-m)箱， 由题意得：”=(48-5)m+40x0.9x(60-m）=7m+2160 由题意得：m≥60-m, 解得：m≥20， .20≤m<60且m为整数， .7>0, ∴.m随着m的增大而增大， ∴.当m=20时，m取最小值，最小值为2300， ∴.购买这批特产最少需要花费2300元. 23.（1)证明：.'MB⊥AB,AM平分∠BAC,MD⊥AC, .'BM=DM (2)解：在RtAABM和Rt△ADM中， 「AM=AM BM=DM, ,Rt△ABM≌Rt△ADM(HL) .AB=AD=6, .在Rt△ABC中，AB=6,AC=10, BC=VAC2-AB=8 .DC=AC-AD=10-6=4,DM=BM=BC-CM=8-CM 在RtADCM中，根据勾股定理得：DC2+DM2=CM2, :4+(8-CM=CM: ∴.CM=5; (3)解：△ABD是等边三角形，理由如下： .AM平分∠BAC, ∴.∠BAM=∠CAM, .AM =CM, ∴.∠C=∠CAM, ∴.∠BAM=∠CAM=∠C, .∠BAM+∠CAM+∠C=90° .∴.∠BAM=∠CAM=∠C=30°， ∴.∠BAD=60°， 由(2)知：AB=AD, ∴.△ABD是等边三角形. 24.（1)解：①12=1+11=2+8=32+3， 12不是“和谐数”， ②20=-22+42， ∴.20是“和谐数”， ③.45=32+62， .45是“和谐数”， ④.60=12+59=22+54-32+51=42+44=52+35=62+24-72+11， .60不是“和谐数”， .“和谐数”有②③； (2)解：a-8a+25=(a-4+32=(a-m}+ .m=4,n=3, .mn=±12； (3)解：k=9.理由如下： 由题意，M=口+4b+50-+=(a+2+-6+大，M为“和谐数”， “当k=9时，6-66+9=(b-3 .M=(a+2+(b-3y (4)解：P=3x2+4y+15,0=2x2-y2+10x-17, :P-0=(3x2+4y+15)-(2x2-y产+10x-17) =3x2+4y+15-2x2+y2-10x+17 =x2-10x+25+y2+4y+4+3 =(x-5)2+(y+2)2+3 ·对于任意实数x,y都有x-5≥0，(0y+2≥0 :P-0=(r-5}+0+2y+3≥3>0 .P>0. 25.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠ABC=∠ADC=60°∠BAD=120° :E平分∠B1D) .∠BAE=∠EAD=60° ,∴△ABE 是等边三角形， AB 1 (2)解：①BC =m=- 2, ·AB=BC 2 、AE=BE=2 .AE CE AB 1 :∠ABC=60°，BC2, ∴.∠ACB=30° ∴.∠BAC=90° ·AC=VBC2-AB2=V3AB 当4C=3 时，AB=3 :平行四边形4BCD的面积25c-2xB4C=3x35=95。 2 ②：四边形ABCD是平行四边形， 1 :△ABE是等边三角形， ∴，BE=AB=mBC :aBOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍， _BC 设BC边上的高为h,BC的长为b, SABCD=2 1h mb=mbh 4, S图边形0ECD=SBCD-S,0BE= bh mbh=(1m bh ∴ 24 24b =x2xb=b的 SA0n-221 4, S四边形oECD= (1_mbh 4k S.OD 24 bh ∴.2-m=k .m+k=2