精品解析：山东省淄博第一中学2025-2026学年高二第二学期6月教学质量检测数学试题

2025—2026学年度第二学期高二教学质量检测 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 为公差不为0的等差数列的前项和，若，则等于（ ） A. 16 B. 17 C. 15 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列前n项和公式、等差数列项的性质化简已知等式，进而求解k的值. 【详解】设数列公差为，由题设可得. 即，结合,可得 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，则，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列描述正确的是（ ） A. 在单调递增 B. 在处取得极大值 C. 在单调递增 D. 在处取得最大值 【答案】C 【解析】 【详解】由导函数的图象，可得： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，但不一定为函数的最大值 4. 某电子商城统计了最近5个月某品牌电脑的实际销量，如下表所示： 时间x（月份） 1 2 3 4 5 销量y（百台） 0.3 0.4 0.6 0.7 0.9 若y与x线性相关，且经验回归方程为：，则下列说法错误的是（ ） A. 变量x，y正相关 B. 回归直线一定过样本中心 C. D. 可以预测当时，商城内该电脑的销量为1百台 【答案】D 【解析】 【分析】求出样本中心点，进而求出经验回归方程，再逐项求解判断. 【详解】对于A，由，得变量x，y正相关，A正确； 对于B，样本中心点一定在回归直线上，B正确； 对于C，，因此，C正确； 对于D，，当时，（百台），D错误. 5. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 122 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法分别令和得到两个等式，相加后除以2即可求得偶数次项的系数之和. 【详解】令，则  ， 即 ① 令，则 ， 即 ② ①+②得： ，所以. 6. 已知函数，若且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】图像如图． 设 则． 所以， ，， 设 ，则．所以在上单调递增． ， ． 所以时，． 7. 甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 甲类水果的平均质量为0.4kg B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量 C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】D 【解析】 【详解】由题图可知甲曲线关于直线对称，乙曲线关于直线对称， ∴，，故A，C正确； ∵甲曲线比乙曲线更“高瘦”，∴甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量，故B正确； ∵乙曲线的峰值为1.99，即，∴，故D错误． 8. 现有个相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全概率公式及条件概率公式，结合第三次取出的球为白球的概率列出关于的方程，求出的值，再根据条件概率公式求解即可. 【详解】设“取出第个袋子”为事件，“从袋子中连续取出三个球，第三次取出的球为白球”为事件， 则，且两两互斥，， ，， 所以， 所以 . 令，解得. 所以第1个袋子：1红4白；第2个袋子：2红3白； 第3个袋子：3红2白；第4个袋子：4红1白； 第5个袋子：5红. 设前两次取出白球为事件，第三次取出白球为事件，则. . . 所以. 故在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，且,下列等式正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据组合数的公式、组合数的性质、组合数的运算进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A是组合数计算公式，A选项正确； B是组合数性质（对称性），B选项正确； 由 可知C正确；D错误． 10. 袋中有7个大小相同的球，其中4个黑球、3个白球，现从中任取3个球，记随机变量为其中白球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为得分，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】由取到个白球，则可得取到个黑球，所以得分， 所以，故A正确； 由，得，解得，所以，故B错误； 由，得，解得，所以，故C正确； 由题意可得，， ，， 所以，故D正确. 11. 已知函数，下列说法正确的有（     ） A. 对任意，函数是偶函数 B. 若，则函数在上存在极值点 C. 若，则函数在上的极小值为b+1 D. 若，且方程有两个实数解，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】函数的定义域为，关于原点对称，且，对任意，函数是偶函数，故A正确. 当时，，， 当时，，故，在上单调递减，无极值点，故B错误. 当时，，， 令，则，故在上单调递增， 又，所以当时，；当时， ， 因此是在上唯一的极小值点，为，故C正确. 当时，结合C选项可知，在处取得最小值，方程有两个实数解，则最小值，即，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，的系数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先写出的展开式，再将每一项与组合即可求得的系数. 【详解】， 则的系数为. 13. 曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】求出切线方程，设切线与曲线切于点，利用导数的几何意义以及点在切线上可得出关于、的方程组，解之即可. 【详解】对函数求导得，故曲线在处的切线斜率为， 所求切线方程为，即， 设直线与曲线切于点， 对函数求导得，所以曲线在点处的切线斜率为， 且点在直线上，所以有，解得. 14. 已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．若且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，确定不大于的集合中元素个数，不大于的集合中元素个数，再列出方程并确定其整数解 【详解】依题意，，由，令，显然集合中小于的元素有个， 集合中不大于的元素有个，因此， 由，令， 同理，于是，， 令，则， 由，得，则， 又数列单调递增，而，因此， 当时，，解得；当时，，无整数解； 当时，，无整数解；当时，，无整数解， 则， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，，． （1）证明数列为等比数列，并求的通项公式； （2）求的前项和． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【小问1详解】 已知，，. 对递推式变形： 即（常数）. 当时，. 因此数列是以为首项，为公比的等比数列. 由等比数列通项公式得： . 整理得的通项公式：. 【小问2详解】 由，前项和：. 等比数列求和：. 常数项求和：. 因此. 16. 设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次，当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数． （1）当，时，求的分布列； （2）设，均为自然数． （i）当时，求； （ii）当时，证明：． 【答案】（1）的分布列如下图所示： 1 2 3 4 （2）（i） （ii）由题意及（2）（i）证明如下： 即. 【解析】 【分析】（1）求出的可能取值，计算出不同取值下的概率，即可得出分布列. (2)（i）等价于前次投篮全部未中，利用各次投篮的独立性，可求出. （ii）利用条件概率公式，结合 (i) 的结论与事件的包含关系即可证明结论. 【小问1详解】 由题意， 整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次， 当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， ∴的可能取值为1，2，3，4， 当时，表示第一次就投进球，， 当时，表示第2次投进球，第1次没有投进，， 当时，表示第3次投进球，前两次没有投进，， 当时，表示在第次停止，此事件等价于前次投篮均未投中，， 作出的分布列如下图所示： 1 2 3 4 【小问2详解】 （i）由题意及（1）得， 整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次， 当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， 当时，表示前次均未投中， ∴. （ii）略. 17. “你好．我是，很高兴见到你我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”，大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为的使用情况与学历有关？ （2）某校组织“模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束．规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜．两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，． （ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率； （ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为的使用情况与学历无关； （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）先假设的使用情况与学历无关，再根据卡方的计算式计算出卡方的结果，和去比，根据独立性检验的理论即可做出判断； （2）（i）对于一道题而言，先分析甲得分的可能情况并求出概率，即可指导比赛结束后甲获胜的所有可能情况，再根据重伯努利实验的概率计算式计算即可； （ii）由（i）可知，甲获胜的概率，只需计算出拿出比赛结果后甲获胜的同时乙恰好回答对1道题的概率，再按照条件概率的计算式计算即可. 【小问1详解】 零假设为：的使用情况与学历无关， 根据列联表中的数据， 可得， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据证明推断不成立， 因此可以认为成立，即认为的使用情况与学历无关. 【小问2详解】 （i）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为， ， ， ， 比赛结束甲获胜时的得分可能取值为10，20，30， 则， ， ， 所以比赛结束后，甲获胜的概率， （ii）设“比赛结束后甲获胜”，“比赛结束后乙答对一道题”， ， 则，因此比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为. 18. 已知函数. （1）若，求函数的极值； （2）讨论的单调性. 【答案】（1）极小值为，无极大值； （2） 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时， 在区间和上单调递减，在区间上单调递增；当时， 在区间上单调递减；当时， 在区间和上单调递减，在区间上单调递增. 【解析】 【分析】（1）求导，确定函数单调区间，即可求解； （2）求导，通过，，，讨论导数符号即可求解. 【小问1详解】 当时，，所以， 由，得， 0 - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数的极小值为，无极大值； 【小问2详解】 因为函数， 所以， （ⅰ）当时，若，则， 若，则， 若，则， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， （ⅱ）当时，由，得或， 若或，则， 若，则， 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， （ⅲ）当时，，所以函数在区间上单调递减， （ⅳ）当时，由，得或， 若或，则， 若，则， 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述：当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，函数在区间和上单调递减， 在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递减； 当时，函数在区间和上单调递减， 在区间上单调递增. 19. 箱中有形状、大小完全相同的个球，编号分别为1，2，…，．从箱中取出个球，记录其编号分别为，，…，，记，即取出的个球中的最大号码．现考虑用概率统计的方法利用随机模拟取出的球编号信息估计总数，甲同学准备采用样本均值来估计总体均值，即，故认为的估计．但乙同学认为这种方法可能出现的无意义结果．例如，当，时，若，，，则，此时． （1）若，，求事件发生的概率； （2）甲同学的方法有缺陷，故乙同学提出用来作为的估计值，即．由于样本均值会稳定于期望，丙同学凭直觉判断 ，认为乙同学的方法也不科学．请研究丙同学的判断 是否正确，并证明； （3）丙同学改进了乙同学的方法，对于给定的正整数，用来作为的估计值，即．试求实数，的值，使得 ． 【答案】（1） （2）正确；证明：由题意，，，…，， 所以的分布列为： n … P … 法一： 故 ． 因此 ，故丙同学论断正确； 法二： 故 （因为） ． 因此 ，故丙同学论断正确； （3） 【解析】 【分析】（1）设取到的3个球编号为，，，不妨设， 则，即，然后对，，的可能取值情况进行讨论，计算出事件发生的概率; （2）由于，，，…，，列出的分布列，计算出,最后判断丙同学论断是否正确； （3）对丙同学的方法的进行分析可知，若，表示个数中，最大的为，则其余个数均比要小，故,再求出，再计算出时，实数，的值. 【小问1详解】 设取到的3个球编号为，，，不妨设， 则， 即， 法一： 当，时，，共2种情况； 当，时，，不符合题意； 当时，，不符合题意． 所以事件发生的概率为． 法二： 当时，，共1种情况； 当时，，共1种情况； 当时，，不符合题意． 所以事件发生的概率为． 【小问2详解】 丙同学论断正确 证明略. 【小问3详解】 若，表示个数中，最大的为，则其余个数均比要小， 故，所以， 因为， 而， 所以 ， 故 恒成立， 所以，故时， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期高二教学质量检测 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 为公差不为0的等差数列的前项和，若，则等于（ ） A. 16 B. 17 C. 15 D. 14 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列描述正确的是（ ） A. 在单调递增 B. 在处取得极大值 C. 在单调递增 D. 在处取得最大值 4. 某电子商城统计了最近5个月某品牌电脑的实际销量，如下表所示： 时间x（月份） 1 2 3 4 5 销量y（百台） 0.3 0.4 0.6 0.7 0.9 若y与x线性相关，且经验回归方程为：，则下列说法错误的是（ ） A. 变量x，y正相关 B. 回归直线一定过样本中心 C. D. 可以预测当时，商城内该电脑的销量为1百台 5. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 122 6. 已知函数，若且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 甲类水果的平均质量为0.4kg B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量 C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数 8. 现有个相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，且,下列等式正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 袋中有7个大小相同的球，其中4个黑球、3个白球，现从中任取3个球，记随机变量为其中白球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为得分，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，下列说法正确的有（     ） A. 对任意，函数是偶函数 B. 若，则函数在上存在极值点 C. 若，则函数在上的极小值为b+1 D. 若，且方程有两个实数解，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，的系数为_____． 13. 曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______. 14. 已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．若且，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，，． （1）证明数列为等比数列，并求的通项公式； （2）求的前项和． 16. 设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次，当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数． （1）当，时，求的分布列； （2）设，均为自然数． （i）当时，求； （ii）当时，证明：． 17. “你好．我是，很高兴见到你我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”，大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为的使用情况与学历有关？ （2）某校组织“模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束．规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜．两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，． （ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率； （ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知函数. （1）若，求函数的极值； （2）讨论的单调性. 19. 箱中有形状、大小完全相同的个球，编号分别为1，2，…，．从箱中取出个球，记录其编号分别为，，…，，记，即取出的个球中的最大号码．现考虑用概率统计的方法利用随机模拟取出的球编号信息估计总数，甲同学准备采用样本均值来估计总体均值，即，故认为的估计．但乙同学认为这种方法可能出现的无意义结果．例如，当，时，若，，，则，此时． （1）若，，求事件发生的概率； （2）甲同学的方法有缺陷，故乙同学提出用来作为的估计值，即．由于样本均值会稳定于期望，丙同学凭直觉判断 ，认为乙同学的方法也不科学．请研究丙同学的判断 是否正确，并证明； （3）丙同学改进了乙同学的方法，对于给定的正整数，用来作为的估计值，即．试求实数，的值，使得 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $