精品解析：湖南衡阳市第八中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

衡阳市八中高一下学期期中考试试题（2026.5） 数 学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数满足（ 是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，化简即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 故选：C. 2. 某学校有高中学生1000人，其中高一学生360人，高二学生340人；高三学生300人，按年级进行分层，用分层随机抽样的方法从全校高中学生中抽取一个容量为100的样本，若样本按比例分配，则在高三学生中应抽取的人数为（ ） A. 30 B. 34 C. 36 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样的性质：按比例抽样，直接运算即可. 【详解】由题意可知：在高三学生中应抽取的人数为. 故选：A. 3. 已知复数（其中i为虚数单位），若，则（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或5 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法求得，再根据复数的模的计算公式，求得答案. 【详解】由题意得，则， 所以，解得或， 故选：C 4. 设是关于的方程的两根，其中，若（ 为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据实系数一元二次方程在复数范围内根的关系求出另一个根，再代入求解即可. 【详解】因为关于的方程的一个根为， 所以另一个根， 所以. 故选：A. 5. 已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度为，若，，则（ ） A. B. C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量数量积的坐标运算分别求得与的模长与夹角的余弦值，从而得到夹角的正弦值，再结合定义即可得到结果. 【详解】由题意可得，，则， 则，，， 设与的夹角为，则， 则， 由定义可知. 故选：C 6. 已知三棱锥P−ABC中各侧面与底面所成的二面角都是，且△ABC三边长分别为7、8、9，则三棱锥的侧面积为（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由积射影定理得，由海伦公式可得，即可得到结果. 【详解】如图， 由积射影定理得， ∵的三边长为7， 8， 9， 由海伦公式， ∴， 故选：A. 7. 在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找出直线在平面上的射影，从而确定线面角，再通过计算相关线段的长度来求线面角的正弦值. 【详解】在长方体中，平面，则直线与平面所成的角为，且， 因为，，所以，则． 8. 已知圆台的上、下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记圆台的上、下底面半径分别为、母线长为，根据已知列方程求，进而求圆台的高，应用圆台的体积公式求体积. 【详解】依题意，记圆台的上、下底面半径分别为，则，则， 设圆台的母线长为，则，解得 ， 则圆台的高， 则. 故选：C 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C. 已知数据，， ，的极差为6，方差为2，则数据，， ，的极差和方差分别为12，8 D. 数据，， ，的平均数为90，方差为3；数据，， ，的平均数为85，方差为5，则，， ，，，， ，的平均数为87，方差为10.2 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用简单随机抽样的概率可判断A，根据百分位数的定义可判断B，利用数据的极差和方差的性质可判断C，利用分层抽样的平均数与方差公式可判断D. 【详解】选项A：依题意，得个体m被抽到的概率为，故A正确； 选项B：这组数据从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30， 因为 ，第七个数为23，第八个数为24， 则第70百分位数为，故B错误； 选项C：因为已知数据，， ，的极差为6，方差为2， 则数据，， ，的极差为，方差为，故C正确； 选项D：因为数据，， ，的平均数为90，方差为3； 数据，， ，的平均数为85，方差为5， 所以，， ，，，， ，的平均数为， 方差为，故D正确. 故选：ACD. 10. 球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用，如图，A，B，C是球面上不在同一个大圆上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为，，，由这三条劣弧围成的球面图形称为球面△ABC.已知R为地球半径，N为北极点，P，Q是地球表面上的两点，则下列结论正确的有（ ） A. 若P，Q在赤道上，且，则三棱锥O-NPQ的体积为 B. 若P，Q在赤道上，且，则球面△NPQ的面积为 C. 若，则球面△NPQ的面积为 D. 若，则由球面△NPQ，平面OPN，平面OQN及平面OPQ所围成的几何体的体积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意画出图形，证明两两垂直，结合三棱锥的体积公式和球的表面积公式计算即可判断A、B；由构造正四面体，利用等体积法和余弦公式求出，结合对称性即可判断C；根据选项C的分析，即可求出几何体的体积，进而判断D. 【详解】 如图1，因为，所以， 则，又赤道所在平面，所以两两垂直， 则三棱锥的体积，故A正确； 当时，， 则球面的面积为，故B正确； 如图2，当时，为正三角形， 构造球内接正四面体，其中心为O，连接NO交SPQ于H， 则NO=R，OH为正四面体内切球的半径，由等体积法可得， ，则， 在中，由余弦定理可得， 即，得，由对称性可得， 球面的面积为，故C正确； 如图3，结合选项C的分析可知题意中构成几何体的体积为，故D错误. 故选：ABC. 11. 设一个正方体，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个相邻顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行次，仍然在上底面的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由，可判定A正确；再由，得到，得出数列为等比数列，求得，可判定B、D不正确；结合等比数列的求和公式，可判定C正确. 【详解】解：由题意得，所以A正确； 蚂蚁爬行次，仍然在上底面的概率为，则它前一步只有两种情况： ①本来就在上底面，再走一步要想不在下底面，只有两条路，其概率为； ②若上一步在下底面，第步不在上底面的概率为， 如果爬上来，其概率应为， 所以，整理得，即， 所以数列构成首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 所以，所以B、D不正确； 因为数列构成首项为，公比为的等比数列， 所以，所以C正确. 故选：AC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且的面积为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积公式可得，然后使用余弦定理可得答案. 【详解】由题意知，则，由余弦定理得， 即，则. 故答案为:. 13. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角 ，C点的仰角 以及；从C点测得．已知山高m，则山高______m． 【答案】300 【解析】 【分析】先求，由正弦定理得，最后由可求. 【详解】由题意，m，， 由正弦定理得m， 所以m. 故答案为：300 14. 如图所示，直角梯形ABCD中，，， ，，点E是线段BC上的动点，，则满足条件的点E的个数是______． 【答案】1 【解析】 【详解】设，以为轴，为 轴，建立直角坐标系， ，所以；，所以；，且 ，所以；在的右侧，且，所以，如下图所示： 点在线段上，是从到的竖直线段，所以，其中. ，，因为，由题意已知，所以，化简得，则，满足，所以唯一一个点为中点，故满足条件的点的个数是1. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角； （2）若，的平分线交于点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理合理转化，结合同角三角函数关系求角B； （2）先由余弦定理求出ac的值，再利用等面积法列方程求解角平分线BD的长度. 【小问1详解】 解法一：由正弦定理得， 可将化为， 由知， 所以. 又，故. 解法二：根据正弦定理，可将化为， 因为 ，所以，约去得. 又，故. 【小问2详解】 已知、、，根据余弦定理得， 解得. 因为， 所以， 因为，，所以，解得. 16. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点． （1）求证：QN平面PAD； （2）记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2）l平面PBD，证明见解析 【解析】 【分析】（1）推导出QNAD，由此能证明QN平面PAD； （2）连接BD，则MNBD，从而MN平面ABCD，由线面平行的性质得MNl，从而BDl，由此能证明l平面PBD． 【小问1详解】 证明：∵底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点． ∴QNBC，BCAD，∴QNAD， ∵QN平面PAD，AD⊂平面PAD， ∴QN平面PAD； 【小问2详解】 直线l与平面PBD平行，证明如下： ∵M，N分别为PD，PB的中点， ∴MNBD， ∵BD⊂平面ABCD，MN平面ABCD， ∴MN平面ABCD， ∵平面CMN与底面ABCD的交线为l， ∴由线面平行的性质得MNl， ∵MNBD，∴BDl， ∵，且BD⊂平面PBD， 平面PBD， ∴l平面PBD． 17. 已知 ，，，为坐标原点． （1）若，求的值； （2）若，且是第二象限角，设在上的投影向量为，求的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行坐标关系得方程，可求得的值； （2）利用模长条件得，化简求​，结合象限得 ，再代入投影向量公式计算． 【小问1详解】 因为 ，，， 所以， ， 又，所以，则，即． 【小问2详解】 因为，，所以， 因为，所以，即，． 又是第二象限角，所以， 因为，，所以， 所以． 18. 已知函数． （1）利用三角恒等变换，化简的解析式，并求函数的最小正周期； （2）求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标； （3）若，求函数的取值范围． 【答案】（1），最小正周期为 （2）对称轴方程为，对称中心坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据三角恒等变换化简得到，再根据公式可求周期； （2）根据（1）的结果结合整体法可求对称轴方程和对称中心坐标； （3）利用整体法结合正弦函数的性质可求取值范围. 【小问1详解】 ， 故的最小正周期为. 【小问2详解】 令得：， 所以的对称轴方程为. 令得：， 所以图像的对称中心坐标为. 【小问3详解】 当时，， 当时，即时，函数取得最小值0； 当时，即时，函数取得最大值． 故的值域为 19. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，， ，，． （1）求二面角的大小； （2）求三棱锥 的体积； （3）点在直线上，满足（ ），在直线 上是否存在点，使平面 ？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或． 【解析】 【分析】（1）根据二面角的定义，过点分别作，，则为二面角的平面角，即可求解；（2）利用等体积转化，再求解点到平面的距离，即可求解体积；（3）方法一，分两种情况，当点在线段上时，当点在延长线上时，分别利用线线，线面平行关系求得的值；方法二，利用线线平行，线面平行关系，构造面面平行，利用面面平行的性质定理，求解的值. 【详解】（1）过点分别作，，分别交，于，，连接， 则为二面角的平面角， 因为四边形为正方形， ， 所以， ， 由已知得， 所以． （2）过点作，垂足为． 因为 ，平面， 平面， 所以 平面． 因为， ， 所以． 因为， 所以平面 ． 因为平面 ， 所以． 因为，，平面， 所以 平面， 所以 为三棱锥的高，． 因为， 所以． （3）方法一： 假设存在点． ①当点在线段上时，连接 交于 ， 则， 所以． 因为平面 ，平面， 平面平面， 所以， 所以． ②当点在延长线上时，连接 交于， 则， 所以． 因为平面 ，平面， 平面平面， 所以， 所以． 综上，在直线 上存在点，使平面 ，的值为或． 方法二： 当点在线段上时，过点作交于，连接，过点作交 于点， 因为， 所以平面平面 ． 因为平面， 所以平面 ． 因为平面，平面平面， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以， 所以． 当点在线段延长线上时，过点作交于，连接，过点作交 于点． 因为， 所以平面平面 ． 因为平面， 所以平面 ． 因为平面，平面平面， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以． 所以． 综上，在 上存在点使得平面 ，此时或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市八中高一下学期期中考试试题（2026.5） 数 学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数满足（ 是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 某学校有高中学生1000人，其中高一学生360人，高二学生340人；高三学生300人，按年级进行分层，用分层随机抽样的方法从全校高中学生中抽取一个容量为100的样本，若样本按比例分配，则在高三学生中应抽取的人数为（ ） A. 30 B. 34 C. 36 D. 60 3. 已知复数（其中i为虚数单位），若，则（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或5 4. 设是关于的方程的两根，其中，若（ 为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度为，若，，则（ ） A. B. C. D. 12 6. 已知三棱锥P−ABC中各侧面与底面所成的二面角都是，且△ABC三边长分别为7、8、9，则三棱锥的侧面积为（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. 7. 在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆台的上、下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C. 已知数据，， ，的极差为6，方差为2，则数据，， ，的极差和方差分别为12，8 D. 数据，， ，的平均数为90，方差为3；数据，， ，的平均数为85，方差为5，则，， ，，，， ，的平均数为87，方差为10.2 10. 球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用，如图，A，B，C是球面上不在同一个大圆上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为，，，由这三条劣弧围成的球面图形称为球面△ABC.已知R为地球半径，N为北极点，P，Q是地球表面上的两点，则下列结论正确的有（ ） A. 若P，Q在赤道上，且，则三棱锥O-NPQ的体积为 B. 若P，Q在赤道上，且，则球面△NPQ的面积为 C. 若，则球面△NPQ的面积为 D. 若，则由球面△NPQ，平面OPN，平面OQN及平面OPQ所围成的几何体的体积为 11. 设一个正方体，一只蚂蚁从上底面 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个相邻顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行次，仍然在上底面的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且的面积为，则______． 13. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角 ，C点的仰角 以及；从C点测得．已知山高m，则山高______m． 14. 如图所示，直角梯形ABCD中，，， ，，点E是线段BC上的动点，，则满足条件的点E的个数是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角； （2）若，的平分线交于点 ，求 . 16. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点． （1）求证：QN平面PAD； （2）记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明． 17. 已知 ，，，为坐标原点． （1）若，求的值； （2）若，且是第二象限角，设在上的投影向量为，求的坐标． 18. 已知函数． （1）利用三角恒等变换，化简的解析式，并求函数的最小正周期； （2）求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标； （3）若，求函数的取值范围． 19. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形 为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形， ， ，，． （1）求二面角的大小； （2）求三棱锥 的体积； （3）点在直线上，满足（ ），在直线 上是否存在点，使平面 ？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $