精品解析：湖南衡阳市常宁市第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中素质评价数学试题

高一数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数分母有理化知识点，将化简，得到，再代入得到，最后运用模长公式求得结果。 【详解】对进行分母有理化，分子分母同时乘以分母的共轭复数， 可得：. 计算：将代入可得： . 对于复数，其模为，所以： . 2. 已知向量在向量上的投影向量的模为2，且，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】运用向量投影，向量的概念以及向量数量积的计算解决问题. 【详解】向量在向量上的投影向量的模等于， 已知该模为2，，则有 ，解得. 3. “一尺一拳一寸间，科学用眼护双眼”，为保护青少年视力，培养科学健康的用眼习惯，某市疾控中心联合教育局开展“青少年视力健康监测与科学用眼宣传”．计划从全市三所高中（A校2400人、B校1800人、C校1200人）的所有学生中，按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人进行视力检测与用眼习惯问卷调查，则A校应抽取的人数为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层随机抽样的比例分配原则求解即可. 【详解】因为A校2400人、B校1800人、C校1200人， 所以A校人数在三所高中人数中占比为， 所以按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人时，A校应抽取的人数为. 4. 已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若,,则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系判断选项. 【详解】A. 若,,则与相交，平行，或在面内，故A错误； B. 若，，只有与两平面的交线垂直，才有，故B错误； C. 若，，则与相交或平行，故C错误； D. 若，，，则，故D正确. 5. 某班10名学生的数学测验成绩分别为85，88，90，92，95，96，98，100，105，105，则这组数据的第40百分位数是（ ） A. 95 B. 93.5 C. 92.5 D. 92 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以10个数据的第40百分位数是第4个和第5个数的平均数， 即. 6. 已知正三棱锥的底面边长为3，高为2，则该三棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定正三棱锥底面中心的位置，结合图形确定侧面与底面所成二面角的平面角，再利用正弦的定义计算所求正弦值. 【详解】如图所示，正三棱锥顶点在底面的投影为底面正三角形的中心，取中点，连接、， 由正三棱锥性质，，， 可知是侧面与底面所成二面角的平面角，且（棱锥的高），，为直角三角形. 由底面正三角形边长为，其高为，正三角形中心分高的比为， 可知中心到边的距离：. 在中：， 二面角的正弦值：. 7. 在中，为的中点，点在边上，且．若与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先设，再根据条件和三点共线，求，即可求解. 【详解】由条件可知，， 即，因为点三点共线， 所以，得， 所以. 8. 已知正方形的边长为，将沿对角线翻折，使二面角的大小为，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析翻折后的几何关系，确定外接球的球心和半径，结合截面性质和等体积法求解球心到截面的距离，进而计算截面面积. 【详解】如图所示， 设正方形对角线、交于原点，原正方形边长为， 因此对角线长，可得：. 翻折后，，的垂直关系不变， 因此二面角的平面角为，结合， 可得为等边三角形，. 由于翻折后四个顶点到的距离均为，因此就是三棱锥外接球的球心，外接球半径，. 结合图形和球的截面性质可得：（为截面圆半径，为球心到截面的距离）， 由：由平面，， 因此平面平面，交线为，是直角三角形（），. 因为是边长为2的等边三角形，到的距离为， 所以到平面的高为，则， 又在中，，，等腰三角形的高为， 所以， 由， 代入得：， 所以， 因此截面面积为：. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复平面内表示复数的点在虚轴上，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】复平面内的点在虚轴上，则实部为，即， 化简得，解得或或. 10. 为落实“健康中国”行动，某校关注学生体质健康，随机抽取高一年级100名学生，统计其日均体育锻炼时长（单位：分），将所有数据分成六组后，得到如图所示的频率分布直方图（每组均为左闭右开区间），则（ ） A. 样本中日均体育锻炼时长在内的学生人数为30 B. 样本数据的极差一定小于100 C. 样本数据的中位数约为53 D. 估计日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数占总人数的5% 【答案】AC 【解析】 【分析】由频率分布直方图依次分析各选项可得结果. 【详解】样本中日均体育锻炼时长在内的学生人数为（人），故A正确； 样本数据的分布在之间，且组距为20，所以极差不一定小于100，故B错误； ，（分），所以样本数据的中位数约为53，故C正确； 日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数为（人），， 所以估计日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数占总人数的10%，故D错误. 11. 在中，角所对的边分别为,已知，，则（ ） A. B. 的取值范围是 C. 周长的最大值为6 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由正弦定理化简得到，得到，可判定A正确；由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，可判定B错误；化简得到，周长，可判定C正确；求得，可判定D正确. 【详解】对于A，因为，由正弦定理， 又因为，可得， 所以， 可得， 因为，可得，所以，即， 又因为，所以，所以A正确； 对于B，由且，可得，且， 由正弦定理得， 则 ， 因为，可得，所以， 所以，所以B错误； 对于C，由周长 因为，可得， 当时，即时，取得最大值， 所以周长的最大值为，所以C正确； 对于D，由，可得， 则 ， 所以， 当时，时，的最大值为，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量与垂直，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为向量与垂直， 所以. 13. 如图所示的是水平放置的的斜二测画法的直观图，已知，，则在中，_________． 【答案】 【解析】 【详解】，，取中点，连结，则， ， ， ， 把直观图还原成平面图形如下： ， ． 14. 有一个正四棱台形状的封闭储物盒，其上、下底面面积分别为4和64，侧面梯形的高为6，若一个正方体可以在盒内任意旋转，则该正方体的棱长的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知若一个正方体可以在盒内任意旋转,则正方体的外接球直径不超过正四棱台内切球的直径.则此题转化成求正四棱台内切球半径.分情况讨论：当内切球与棱台的上、下底面相切时，半径即为棱台高的一半；当内切球与棱台的腰相切时，利用三角形相似可求得内切球半径. 【详解】 将正四棱台的四条侧棱延长交于一点，形成一个正四棱锥，作出截面（如图） 正四棱台的上、下底面为正方形，且上、下底面面积分别为4和64， 则上底边长为2，下底边长为8.即. 侧面梯形的高为6,则，所以棱台的高. 若一个正方体可以在盒内任意旋转,则正方体的外接球直径不超过正四棱台内切球的直径. 当内切球与棱台的上、下底面相切时，内切球半径； 当内切球与棱台的侧面相切时（如图），假设 由，则， 即，得,则，. 又，，即，解得 ，正四棱台内切球的半径,即正方体外接球半径. 此时正方体的边长为，则正方体棱长的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，是两个不共线的向量． （1）若向量，，的起点相同时，它们的终点共线，求实数的值； （2）若，且与的夹角为，，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据共线向量的性质进行求解即可； （2）根据平面向量数量积的运算性质和定义，结合二次函数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 由已知可得， ，不共线，解得 ． 【小问2详解】 由题意得， ， 故当时，取得最小值为3， 则的最小值为． 16. 某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[，，…，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表） （2）若样本在内的平均质量是65克，方差是6，在内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程求得，结合平均数的计算公式，即可求解； （2）根据题意，利用分层抽样的方差的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由频率分布直方图的性质，可得， 解得． 各组的组中值依次为，对应频率依次为， 所以数据的平均数 ， 所以估计这100个样本数据的平均数为． 【小问2详解】 解：由于样本数据在与内的频率之比为， 所以两组的总平均数为， 所以总方差． 17. 如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点，平面与平面的交线为，过，，三点的平面将正方体分成体积为，的两部分，且． （1）求与所成角的大小； （2）求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先作出交线，通过线线平行将异面直线所成角问题转化到特殊三角形中即可； （2）通过线面平行的性质定理可得到过，，三点的平面与正方体的截面，进而求出体积. 【小问1详解】 如图1，在平面中，连接并延长，与直线交于点， 由是棱的中点可知与全等， 所以是的中点，所以是的中点，即， 同理，在平面中，连接并延长，与直线交于点，则， 连接，，，，则为平面与平面的交线，且， 在等边中，与所成的角为， 故与所成的角为. 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为平面，故平行于平面与平面的交线， 又，分别为，的中点，所以， 所以平面平面，故平面分正方体为如图2所示的两部分， 设正方体的棱长为2，则其体积为8， ， 故． 18. 如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，侧面是等边三角形，为的中点，且． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明同时垂直于底面内两条相交直线与，利用线面垂直判定定理，完成了平面的证明，关键在于结合等腰梯形与等边三角形的性质，构建垂直关系； （2）采用几何法，先找到二面角的平面角，再通过解直角三角形计算其三角函数值，核心是利用三垂线定理确定平面角，再结合勾股定理与三角函数公式求解； （3）使用等体积法求点到平面的距离，再根据线面角的定义，将距离与线段长度结合，求出直线与平面所成角的正弦值，体现了体积法在空间距离与角度问题中的应用． 【小问1详解】 如图，取的中点，连接，． 因为为等边三角形，所以， 又在等腰梯形中，为的中点，可知为等腰梯形的高，故， 又，，平面，所以平面，得． 因为，，且， 故， 又，，， 所以． 【小问2详解】 在平面内，作于点，连接． 由（1）易知，从而为二面角的平面角． 易知，则， 所以， 所以，即二面角的余弦值为． 【小问3详解】 设到平面的距离为． 易知，即 ， 即 ，解得． 设直线与平面所成的角为，则． 19. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，为边上一点． （1）求； （2）若是的平分线，，的周长为，求的长度； （3）若，，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简可求解； （2）利用余弦定理，结合完全平方公式化简可得，再通过角平分线性质得，可求解； （3）由，可得，通过两边平方可得，结合角的范围可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得，即， 在中，，所以，即， 因为，所以，所以， 又，所以． 【小问2详解】 因为，的周长为15，所以， 又，由余弦定理可得， 即 ， 解得． 因为是的平分线，所以． 因为， 所以，即， 所以． 【小问3详解】 因为，所以， 两边平方得， 又，，所以 ， 由正弦定理得 ， 所以 ， 所以 ， 因为，所以，故， 所以，所以 ， 即实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2. 已知向量在向量上的投影向量的模为2，且，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. “一尺一拳一寸间，科学用眼护双眼”，为保护青少年视力，培养科学健康的用眼习惯，某市疾控中心联合教育局开展“青少年视力健康监测与科学用眼宣传”．计划从全市三所高中（A校2400人、B校1800人、C校1200人）的所有学生中，按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人进行视力检测与用眼习惯问卷调查，则A校应抽取的人数为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 150 4. 已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若,,则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 5. 某班10名学生的数学测验成绩分别为85，88，90，92，95，96，98，100，105，105，则这组数据的第40百分位数是（ ） A. 95 B. 93.5 C. 92.5 D. 92 6. 已知正三棱锥的底面边长为3，高为2，则该三棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，为的中点，点在边上，且．若与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方形的边长为，将沿对角线翻折，使二面角的大小为，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复平面内表示复数的点在虚轴上，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 为落实“健康中国”行动，某校关注学生体质健康，随机抽取高一年级100名学生，统计其日均体育锻炼时长（单位：分），将所有数据分成六组后，得到如图所示的频率分布直方图（每组均为左闭右开区间），则（ ） A. 样本中日均体育锻炼时长在内的学生人数为30 B. 样本数据的极差一定小于100 C. 样本数据的中位数约为53 D. 估计日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数占总人数的5% 11. 在中，角所对的边分别为,已知，，则（ ） A. B. 的取值范围是 C. 周长的最大值为6 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量与垂直，则_________． 13. 如图所示的是水平放置的的斜二测画法的直观图，已知，，则在中，_________． 14. 有一个正四棱台形状的封闭储物盒，其上、下底面面积分别为4和64，侧面梯形的高为6，若一个正方体可以在盒内任意旋转，则该正方体的棱长的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，是两个不共线的向量． （1）若向量，，的起点相同时，它们的终点共线，求实数的值； （2）若，且与的夹角为，，求的最小值． 16. 某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[，，…，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表） （2）若样本在内的平均质量是65克，方差是6，在内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差． 17. 如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点，平面与平面的交线为，过，，三点的平面将正方体分成体积为，的两部分，且． （1）求与所成角的大小； （2）求实数的值． 18. 如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，侧面是等边三角形，为的中点，且． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，为边上一点． （1）求； （2）若是的平分线，，的周长为，求的长度； （3）若，，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $