精品解析：内蒙古师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期期中质量监测数学试题

内蒙古师大附中2025-2026学年第二学期期中质量监测 高一数学 注意事项： 1.考生务必将自己的姓名、座位号填在答题卡的规定位置并粘贴条形码； 2.考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效.考试结束后，把答题卡交回； 3.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，且，则实数（ ） A. -3 B. 6 C. -1或-2 D. 1或2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得或2. 故选：D. 2. （    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式及和角的正弦公式逆用求出答案. 【详解】. 故选：D 3. 若 ，则 A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由，得或，所以，故选A． 【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式． 【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． 4. 将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式化简，再由诱导公式及图象平移即可得解. 【详解】因为， ， 所以把的图象向右平移个单位长度可以得到的图象， 则的最小值为， 故选：B． 5. 若，则等于（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据，利用诱导公式得到，再由，利用二倍角公式求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：A 6. 在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ②④ D. ①③ 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数性质判断各项函数的周期，即可得答案. 【详解】①函数为偶函数，周期与相同，最小正周期； ②函数的周期是的一半，即； ③由余弦型函数性质； ④由正切型函数性质； 因此，最小正周期为的所有函数为①②③，故A正确. 7. 如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且.则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基底表示向量，再利用数量积的运算律求解. 【详解】由，得. 由是的中点知，，且，得， 所以. 则 . 故选：B. 8. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，然后对最小正周期进行分析即可求解. 【详解】，因为，所以是的最小正周期的整数倍， 即，其中，解得：，即：为正偶数； 在上存在零点，即：存在，使得： 成立， 所以，其中，当，，要使区间内存在， 只需，解得：，又因为为正偶数，所以最小值为4. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列值为的式子有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用诱导公式可判断A，根据两角和的正切公式可判断B；利用两角差的正弦，余弦，正切公式化简即可判断C，根据辅助角公式可判断D. 【详解】对于A，，故A不符合题意； 对于B，因为， 所以， 所以 ，故B符合题意； 对于C， ， 由于，故C不符合题意； 对于D， ，故D符合题意. 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为，则 D. 若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示判断A；利用垂直的坐标表示判断B；利用数量积的运算律求解判断C；求出投影向量的坐标判断D. 【详解】向量，， 对于A，由，得，因此，A正确； 对于B，由，得，因此，B正确； 对于C，与的夹角为，，， 因此，C错误； 对于D，与方向相反，则在上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 11. 在中，内角，，的对边分别为，，，，且，则下列正确的是（ ） A. B. 外接圆的面积为 C. 面积的最大值为 D. 若，则三角形有两个解 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：利用余弦定理边角转化即可；对于B：利用正弦定理求三角形外接圆半径，即可得结果；对于C：根据选项A中结论，结合基本不等式运算求解. 【详解】对于选项A：因为， 由余弦定理可得， 整理可得，则， 且，所以，故A错误； 对于选项B：由正弦定理可得外接圆的半径， 所以外接圆的面积为，故B正确； 对于选项C：由可得， 且，即，解得，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故C正确； 对于D选项，由正弦定理可得：，即，  因为，所以，又，所以 ， 因为 ，所以 在区间内有两个解，故三角形有两个解，即D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，再利用半角的正切公式求出. 【详解】由，，得， 所以. 故答案为： 13. 已知向量，，若，则______ 【答案】 【解析】 【详解】因为，，所以， ， 因为， 所以 ，化简得：. 14. 已知函数 ，，则函数的最大值是______ 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，令,结合二次函数求解即可. 【详解】由于 , 所以, 令, 因为，所以, 则, 则 ,则当时， 取最大值， 最大值为， 所以的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、过程或演算步骤. 15. 已知，，且. （1）求的值； （2）求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先根据，且，求出，则可求，再求； （2）先根据，，求出，再根据求解即可. 【详解】（1）∵且， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ， 所以. 【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．本题考查运算求解能力，是中档题. 16. 在，角所对的边分别为，已知，． （1）求a的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出； （II）由余弦定理即可计算； （III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出. 【详解】（I）因为，由正弦定理可得， ，； （II）由余弦定理可得； （III），， ，， 所以. 17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足． （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）求的最大值． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 【详解】解：（1）由题意可知，； （2） 当△ABC为等边三角形的时候取得最大值． 18. 向量，，函数，其中，相邻对称轴之间的距离为. （1）求函数的解析式和对称中心； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上恰有两个解，求实数的取值范围. 【答案】（1），对称中心为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式对函数化简，由最小正周期计算的值，再结合正弦函数的对称性进行求解； （2）利用行平移得到，将问题转化为和有两个交点进行求解. 【小问1详解】 因为，， 所以 ，其中， 因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以， 令，得， 所以函数的对称中心为； 【小问2详解】 由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数， 再向左平移个单位得， 令，则，所以， 因为在上恰有两个解，等价于和 有两个交点， 画出的图像如图所示， 由图可知，需满足 ， 则的取值范围是. 19. 学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式： ， 运用上面的公式解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，证明：； （3）若，求的最大值. 【答案】（1） （2）左边 右边 . 由，得， 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式结合已知条件进行求解； （2）两边同时利用积化和差公式进行化简然后对比即可； （3）利用积化和差公式以及抛物线的性质进行求解. 【小问1详解】 可知 ， 结合已知条件可得. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由于，， 所以，原式 ， 当且时取到最大值，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古师大附中2025-2026学年第二学期期中质量监测 高一数学 注意事项： 1.考生务必将自己的姓名、座位号填在答题卡的规定位置并粘贴条形码； 2.考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效.考试结束后，把答题卡交回； 3.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，且，则实数（ ） A. -3 B. 6 C. -1或-2 D. 1或2 2. （    ） A. B. C. D. 3. 若 ，则 A. B. C. 1 D. 4. 将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则等于（ ）. A. B. C. D. 6. 在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ②④ D. ①③ 7. 如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且.则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列值为的式子有（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为，则 D. 若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 11. 在中，内角，，的对边分别为，，，，且，则下列正确的是（ ） A. B. 外接圆的面积为 C. 面积的最大值为 D. 若，则三角形有两个解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则__________． 13. 已知向量，，若，则______ 14. 已知函数 ，，则函数的最大值是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、过程或演算步骤. 15. 已知，，且. （1）求的值； （2）求. 16. 在，角所对的边分别为，已知，． （1）求a的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足． （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）求的最大值． 18. 向量，，函数，其中，相邻对称轴之间的距离为. （1）求函数的解析式和对称中心； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上恰有两个解，求实数的取值范围. 19. 学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式： ， 运用上面的公式解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，证明：； （3）若，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $