内蒙古杭锦后旗奋斗中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

**基本信息** 高一年级期中数学卷以研学情境（题7桃树仰角）、立体几何应用（题19三棱柱装水）为载体，覆盖向量、复数、解三角形及空间几何，梯度设计基础辨析与综合应用，体现数学眼光观察现实世界及思维推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|向量（题1单位向量）、复数（题2复平面坐标）、立体几何（题3五面体判断）|单选考概念辨析，多选综合空间关系（题10正方体中点线面）| |填空题|3题15分|复数运算（题12）、向量数量积（题13正方形中点）、圆锥外接球（题14）|结合几何直观，考查空间观念| |解答题|5题77分|复数分类（题15）、向量夹角（题16）、四棱锥证明（题17）、解三角形（题18）、三棱柱体积（题19）|分层设计，19题联系生活情境，考查数学语言表达与应用意识|

奋斗中学2025-2026-2高一年级期中考试 数学学科 本试卷共150分。考试时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列命题中，正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．单位向量的模都相等 C．平行向量一定相等 D．向量的模是负数 2．若复数在复平面内对应的点的坐标为，则的实部为（    ） A．-5 B．4 C．5 D．-4 3．下列几何体不是五面体的是（        ） A．正四棱柱 B．三棱柱 C．三棱台 D．正四棱锥 4．在中，若，，则形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰但不等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形 5．若复数，，则，在复平面内对应的两点之间的距离为（   ） A． B．2 C． D．5 6．已知三条互不相同的直线，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题： (1)若与m为异面直线，，则； (2)若，，则； (3)若，，，，则． 其中真命题的个数为（  ） A．3 B．2 C．1 D．0 7．“桃花春色暖先开，明媚谁人不看来”.春天来了，在研学的基地里，小明观察一棵桃树.如图所示，他在处发现桃树顶端点的仰角大小为，往正前方走6m后，在点处发现桃树顶端点的仰角大小为，则长度为（    ） A． B． C． D．6 8．一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若向量 则（    ） A． B． C．在上的投影向量为(1,0) D．与的夹角为 10．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与直线所成角为90° B． C．直线平面 D．三棱锥的体积为1 11．在中，角，，的对边分别为，，，若，为的中点，则下列结论正确的是（   ） A． B．当，时，仅有一解 C．当时，为等边三角形 D．当时，的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数，则__________. 13．已知正方形的边长为2，点为中点，则__________. 14．已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为为底面圆的一条直径，为圆上的一个动点（不与重合），则三棱锥的外接球体积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知复数.为虚数单位. (1)若为实数，求的值； (2)若，在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围. 16．（15分）已知与是非零向量，，且. (1)求与的夹角；(2)求. 17．（17分）如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点． (1)求证：平面． (2)求异面直线与所成的角． 18．（17分）在中， (1)求边的长； (2)若，于点D，的中点为E，求线段的长． 19．（17分）如图1，正三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边长，若侧面水平放置时，水面恰好经过的中点 . (1)当底面水平放置时（如图1所示），求水面的高度； (2)已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面全等，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好装满此三棱锥，求此三棱锥的高； (3)当底面水平放置时（如图1所示），打开上底面的盖子，从上底面 放入半径为的小铁球，且沉入水中，当水从上底面溢出时，求放入的小铁球个数的最小值．（结论不要求证明） 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $