2025-2026学年七年级数学下册期末考试高频重难点易错题检测卷二（人教版）

**基本信息** 聚焦七年级下册期末高频重难点，通过"典例解析+方法提炼"系统整合实数、方程、几何等核心模块，强化数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实数与估算|2题（第2、11题）|无理数估算不等式法、负无理数判定|从概念辨析到数值范围推理| |方程与不等式|4题（第3、4、12、13题）|同解方程组消元法、二元一次方程正整数解列举、不等式组整数解边界分析|从方程求解到实际应用建模| |坐标系与几何|5题（第6、7、8、9、15题）|点坐标特征分析、平移规律应用、循环周期坐标探究|从点坐标到图形变换的空间观念构建| |统计与应用|3题（第5、14、22题）|折线图信息提取、标记重捕法估算、直方图数据处理|从数据收集到统计推断的数据分析能力| |平行线与角|4题（第10、16、21、24题）|角平分线性质应用、平行线间角度转化、"特例-归纳-拓展"探究模式|从基本性质到综合推理的逻辑思维训练|

2025-2026学年七年级数学下册期末考试高频重难点易错题检测卷二 一、选择题 1．下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．正五角星是常见的图案，如图，在画正五角星时需满足．人们把这个数叫做黄金分割数．用你学过的知识估计的值应在（     ） A．0.1和0.5之间 B．0.5和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 3．已知关于x，y的方程组的解和方程组的解相同，则的值为（    ） A． B． C．2026 D．1 4．某班为了开展劳动实践活动，购买小树苗和花苗，小树苗20元/棵，花苗30元/盆，共花费240元，两种植物都买的话，共有（   ）种购买方案． A．6 B．5 C．4 D．3 5．国内生产总值是指在一定时期内（一个季度或一年），一个国家或地区的经济中所生产出的全部最终产品和劳务的价值，常被公认为衡量国家经济状况的最佳指标．如图所示的统计图反映了年国内生产总值增长速率情况．根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（   ） A．年国内生产总值增长速率最大 B．年国内生产总值增长速率最小 C．年，国内生产总值增长速率持续增加 D．年，国内生产总值增长速率稳定在左右 6．已知点，且，则点M的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 7．平面直角坐标系中，关于点，点的说法： ①当时，点A在第二象限； ②当时，三角形的面积为6； ③当A，B两点在不同象限内时，必有； ④点C为y轴上一点，，连接并延长至D，使，则D点坐标为，其中正确的结论是（     ）． A．①②③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 8．如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至的位置，点，的坐标分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，将三角形沿方向向右平移到三角形的位置，连接．已知三角形的周长为，四边形的周长为，则这次平移的距离为（     ） A． B． C． D． 10．如图，是的平分线，延长至点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C．与互补 D． 二、填空题 11．在实数：中，负无理数有___________个． 12．关于的不等式组的整数解共有个，求的取值范围是________． 13．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”答：每只雀有________ 14．为了估计某湿地公园中某种候鸟的种群数量，科研人员在春季捕捉了40只这种候鸟，给它们戴上脚环后放回，一个月后再次捕捉200只这种候鸟，发现其中有8只带有脚环．假设在两次捕捉期间鸟群数量稳定且脚环未脱落，那么该湿地公园中这种候鸟的种群数量大约为________只． 15．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点出发，按“向上→向右→向下→向右→向下→向右→向上→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点，第次移动到点，则点的坐标是_____________． 16．如图，，点在上，平分，则______． 三、解答题 17．计算： (1)； (2) 18．解二元一次方程组： (1) (2) 19．党的二十大以来，我国城市园林绿化工作不断深化创新，城市绿化高质量发展．某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木3棵，B种树木5棵，共需700元；购买A种树木6棵，B种树木1棵，共需680元． (1)求A种，B种树木每棵各多少元？ (2)因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍，A种树木的数量不多于78棵．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价八折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用． 20．阅读下段材料： 若，都是有理数，且，求，的值． 由题意，可得． 因为，都是有理数， 所以，也是有理数． 因为是无理数， 所以，，所以，． 根据阅读材料，解决问题： (1)填空：若，都是有理数，且，求，的值． 由题意，可得__________________ 因为，都是有理数， 所以__________，_________也是有理数． 因为是无理数， 所以_________，_________，所以______，______． (2)若，都是有理数，且，求的值．（请写出解题过程） 21．已知直线与直线、分别交于E、F两点，和的角平分线交于点P，且． (1)求证：； (2)如图2，和的角平分线交于点Q，求的度数． 22．年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分）．并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：A：；B：；C：；D：；E：． 请根据以上信息完成下列问题： (1)随机抽取的八年级学生人数为 ，扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为 度， (2)请补全频数分布直方图； (3)该校八年级共300人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数． 23．如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足，过O作轴于B． (1)填空：______，______． (2)若线段与y轴交于点，在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由： (3)若过B作交y轴于D，且，分别平分，，如图2，求的度数． 24．【特例探究】如图 1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为__________； 【总结归纳】 (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 (3)已知，点，分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分，平分． ①如图 2，若点，均在直线和之间，且，求的度数； ②如图 3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分，设（），请用含的代数式表示． 参考答案 1．C 【详解】A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D：，故D错误； 故选：C． 2．B 【分析】本题考查无理数的估算. 先确定 的取值范围，再利用不等式的性质求出 的范围即可． 【详解】解： 即 即 该数值在 和 之间． 3．D 【分析】先根据两个方程组解相同，得出新的方程组，求解得到、的值，再将、的值代入含、的方程组，求出、的值，最后代入计算的值． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解和的解相同， ∴可得新方程组：， 得：，解得：， 将代入①得：， 将，，代入可得， 解得， ∴ ． 4．D 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，根据总费用列出二元一次方程，求方程满足条件的正整数解，即可得到购买方案的数量． 【详解】解：设购买小树苗棵，购买花苗盆，均为正整数， 根据题意列方程：， 化简得：， 变形得：， ∵是正整数， ∴是正偶数， ∵是偶数， ∴为偶数，即为偶数， 由得，解得， ∵是正偶数， ∴的取值为，对应为，均符合要求， 因此共有种购买方案． 5．C 【分析】由折线统计图中的信息逐项判断即可． 【详解】解：A、年国内生产总值增长速率为，比其他年度都大，选项结论正确； B、年国内生产总值增长速率为，比其他年度都小，选项结论正确； C、年，国内生产总值增长速率增加；年，国内生产总值增长速率减少；年，国内生产总值增长速率保持不变；选项结论错误； D、这两年国内生产总值增长速率均为，选项结论正确． 6．A 【分析】先根据绝对值可得，再结合可得，然后确定点M的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴点M的坐标为． 7．B 【分析】①直接代入求解即可；②当时，点，，根据三角形面积公式计算即可；③当A，B两点在不同象限内时，则或，计算即可；④设，在轴上，，得出点的坐标为或，然后分两种情况，根据中点坐标关系，进行求解即可． 【详解】解：①当时，点的坐标为， ∴点A在第二象限，说法正确； ②当时，点，， 三角形的面积为：，说法正确； ③当A，B两点在不同象限内时， 则或 解得：或，原说法错误； ④， 是的中点， 设，在轴上， ∵， 点坐标为或， 当点C的坐标为时，根据中点坐标关系，得 ， ， 解得 ， ， 即； 当点C的坐标为时，根据中点坐标关系，得 ， ， 解得 ， ， 即，原说法错误； 其中正确的结论是①②． 8．A 【分析】根据点、平移后横纵坐标的变化可得线段向右平移个单位，向上平移了个单位得到线段，然后再确定、的值，进而可得答案． 【详解】解：点，的坐标分别为，，点，的坐标分别为，， 线段向右平移个单位，向上平移了个单位得到线段， 点，的坐标分别为，， ，， ， 故选：A． 9．B 【分析】根据平移的性质，平移的距离等于，且结合三角形的周长和四边形的周长，通过周长差求出的长度，即为平移的距离． 【详解】解：设平移的距离为，则 ∵平移得到， ∴ ∵的周长为， ∴ ∵四边形的周长为， ∴ ∴ ∴ 解得 ∴这次平移的距离为 10．D 【分析】设 ，根据角平分线定义及已知直角，用 α 表示出各个角，逐一验证选项即可． 【详解】解：设， ∵是的平分线， ∴，． ∵， ∴，． ∴． ∴， ． ∴，故A正确，不符合题意； ∵， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴与 互补，故C正确，不符合题意； ∵， ∴只有当 即 时，，故D不一定正确，． 11．2 【分析】先化简题目中各实数，再根据负无理数的定义（即小于的无理数）逐个判断，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：是开方开不尽的数，属于无理数，且，因此是负无理数； 是正整数，属于正有理数，不符合要求； ，是分数，属于负有理数，不符合要求； ，是开方开不尽的数，属于无理数，且，因此是负无理数； ，是正整数，属于正有理数，不符合要求． 综上，负无理数共有个． 12． 【分析】先求出不等式组的解集，从而确定个整数解，再求出的取值范围． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组共有个整数解， ∴整数解为，，， ∴． 13．两 【分析】设每只雀有x两，每只燕有y两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组求解即可． 【详解】解：设每只雀有x两，每只燕有y两， 由题意得，，整理得：， 解得：， 则每只雀有两． 14．1000 【分析】根据题意列方程求解种群数量即可. 【详解】解：设该湿地公园中这种候鸟的种群数量大约为只， ， 交叉相乘得： ， ∴， 解得：， 该湿地公园中这种候鸟的种群数量大约为只． 15． 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，先确定一个完整循环包含的移动次数以及每个循环结束后坐标的变化量，最后利用除法运算确定第2026次移动在循环中的位置，从而计算坐标． 【详解】解：第1次移动（向上）：， 第2次移动（向右）：， 第3次移动（向下）：， 第4次移动（向右）：， 第5次移动（向下）：， 第6次移动（向右）：， 第7次移动（向上）：， 第8次移动（向右）：， 观察发现，第8次移动后，机器人回到了轴上，且横坐标增加了， 接下来的第9次移动指令又是“向上”，与第1次相同， 因此，机器人的移动路线是以8次移动为一个循环周期， 在一个周期内，横坐标增加4，纵坐标最终回到0， 那么2026次移动后的坐标为：， 即机器人完成了253个完整的循环，又进行了2次移动， 个循环后，此时相当于点，此时的横坐标：，纵坐标为0， 从开始，按照前面循环移动的指令：向上→向右， 即，向上：， 向右：， 综上所述，的坐标为． 16．/65度 【分析】由平行线的性质推出，求出，由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，由平角定义得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．(1) (2) 【详解】（1）解： 得， 解得：； 把代入①，得：， 解得：； ∴方程组的解为：． （2）解： 得， 解得：； 把代入①，得：， 解得：； ∴方程组的解为：． 19．(1) A种树木每棵100元，B种树木每棵80元 (2) 当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，实际所花费用最省，最省费用为7600元 【分析】（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，根据“购买A种树木3棵，B种树木5棵，共需700元；购买A种树木6棵，B种树木1棵，共需680元”列出方程组并解答； （2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为棵，根据“购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍，A种树木的数量不多于78棵”列出不等式并求得的取值范围，然后求出整数的值，再结合实际付款总金额（A种树的金额+B种树的金额）进行解答． 【详解】（1）解：设A种树每棵x元，B种树每棵y元， 依题意得：， 解得， 答：A种树每棵100元，B种树每棵80元； （2）解：设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为棵 根据题意，得 解得 ∴整数的值为75，76，77，78， 当时，总费用为（元） 当时，总费用为（元） 当时，总费用为（元） 当时，总费用为（元） ∵ ∴当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为7600元． 20．(1)，，，，，， (2)的值为6或4 【详解】（1）解：若，都是有理数，且， 由题意，可得， 因为，都是有理数， 所以，也是有理数； 因为是无理数， 所以，， 所以，； （2）解：， ，都是有理数， ，也是有理数， 是无理数， ，， 解得：，， 当，时，； 当，时，， 综上可知：的值为6或4． 21．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义，可知，再由已知可求，根据同旁内角互补两直线平行即可证明； （2）设，根据角平分线性质可得，再根据即可表示出，根据即可求出． 【详解】（1）证明：∵和的角平分线交于点P，且， ∴，， ∴， ∴； （2）解：设， ∵平分， ∴，， ∵和的角平分线交于点P，且， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 22．(1)60人，90 (2)图见解析 (3)130人 【分析】（1）利用成绩为A组的学生人数除以其所占百分比即可得随机抽取的八年级学生人数；利用乘以成绩为B组的学生人数所占百分比即可得； （2）求出成绩为D组的学生人数，据此补全频数分布直方图即可； （3）利用该校八年级参加了此次竞赛活动的学生总人数乘以成绩达到80分及以上的学生人数所占的百分比即可． 【详解】（1）解：随机抽取的八年级学生人数为（人）， 扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为． （2）解：成绩为D组的学生人数为（人）， 补全频数分布直方图如下： ． （3）解：（人）， 答：估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数为130人． 23．(1)， (2)存在，或 (3) 【分析】（1）由，可得，可求； （2）设，则，，由，可得，计算求解，然后作答即可； （3）如图2，过点E作，则，，，，同理可得，再根据角平分线的定义计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，； （2）解：由（1）得， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，或， ∴存在，P点坐标为或； （3）解：如图2，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴的度数为． 24．(1) (2)，理由如下： 如图1，过点P作， ， ； (3)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，掌握知识点是解题的关键． （1）过点P作，则，可知，即可求出的度数； （2）过点P作，则，可知，进而可知与之间的数量关系； （3）①由（2）得，由角平分线可知，，同（2）可得，计算即可； ②如图，过点P作，则有，由角平分线可知，，同（2）可得，根据平行线的判定和性质得到，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图1，过点P作， （2）略 （3）解：①由（2）得． 平分平分 ． 同（2）可得 ； ②．理由如下： 如图，过点P作，则有． 平分 ． 平分 ． 同（2）可得， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $