专题2.5 偶函数与奇函数讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数奇偶性高考核心考点，涵盖概念性质、组合函数、解不等式三大模块，按“定义-性质-应用”逻辑递进组织知识，通过考点梳理（如奇偶函数定义及图象特征）、方法指导（典型例题解析）、分层训练（基础到综合练习题），帮助学生构建完整知识体系，突破理解与应用难点。 资料以核心素养为导向，通过总结奇偶函数运算规律培养数学思维（推理能力），结合单调性解不等式提升数学语言表达（应用意识）。设计“概念辨析-典例精讲-即时练习”教学活动，如组合函数奇偶性判断实例，配合分层习题，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

专题2.5 偶函数与奇函数 2.5.1 偶函数与奇函数的概念与性质 1.函数奇偶性的定义及图象特点 （1）偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数，图像关于y轴对称. （2）奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数，图像关于原点对称. （3）判断f(-x)与f(x)的关系时，也可以使用如下结论： ①如果f(-x)-f(x)=0或，则函数f(x)为偶函数； ②如果f(-x)+f(x)=0或，则函数f(x)为奇函数． 2.函数奇偶性的性质 （1）奇函数、偶函数的定义域关于原点对称. （2）奇偶函数的图象特征 ①函数f(x)是偶函数函数f(x)的图象关于y轴对称； ②函数f(x)是奇函数函数f(x)的图象关于原点中心对称. （3）若奇函数f(x)在x=0处有意义，则有f(0)=0；偶函数f(x)必满足. （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. （5）运算函数的奇偶性规律：对于运算函数有如下结论 ①奇±奇=奇；②偶±偶=偶；③奇±偶=非奇非偶；④奇×（÷）奇=偶；⑤奇×（÷）偶=奇；⑥偶×（÷）偶=偶. 例1.若函数为奇函数,则 . 解： 函数 为奇函数,. . . . . . , 即 , 解得: .又 对数式的底数, 则 , . 例2.已知是R上的奇函数，且，求. 解：定义域含的奇函数满足，代入：， 函数简化为，代入：. 例3.设函数在内有定义,下列函数:①;②;③;④中必为奇函数的有 . (填选所有正确答案的序号) 解：对于①,中与不一定相等，所以①不是奇函数； 对于②, 可以看成两个函数的乘积，其中是奇函数，是偶函数，故②是奇函数； 对于③, 的奇偶性不能确定，故③不是奇函数； 对于④,令,因为,故④为奇函数；故答案为：②④. 1.偶函数满足：时，则= . 解：，偶函数： .故答案为：2. 2.已知为偶函数，则实数= . 解：，偶函数满足：， 该式对任意恒成立，故.故答案为：0. 3.若是奇函数，则= . 解：定义域，奇函数满足： 左边化简：，右边： 分子对应相等：，系数匹配得.故答案为：1. 4.若函数定义域为R，满足. （1）证明：为奇函数； （2）若，求. 解：证明：求周期：，周期； 证明奇偶：令，；令，， 又，得； 令，，结合周期可推，故为奇函数； （2）求值：，. 5.若为偶函数,则 . 解：因为为偶函数， 为R，所以即 , 则此时 , 所以,又定义域为R, 故为偶函数, 所以. 6.已知函数f(x)＝为奇函数，则a＝________；b＝________. 解：当x<0时，－x>0，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．即ax2－bx＝－x2－x， ∴a＝－1，b＝1. 7.设函数(为常数).若为奇函数,则 ;若是上的增函数, 则的取值范围是 . 解：若函数 为奇函数, 则, , ,,,对任意的 恒成立. ,, 解得 . 若函数 是 上的增函数, 则 恒成立, .即实数 的取值范围是 . 8.若定义在上的函数满足:对任意有则下列说法一定正确的是( ) A.为奇函数 B.为偶函数 C.为奇函数 D.为偶函数 解：令,则,令, ,则, 所以, 即,为奇函数, 故选：C. 9.设函数，则下列函数中为奇函数的是( ) A. B. C. D. 解：由题意可得, 对于A,不是奇函数; 对于B,是奇函数; 对于C,,定义域不关于原点对称, 不是奇函数; 对于D,,定义域不关于原点对称,不是奇函数.故选:B. 10.若为偶函数,则( ) A. B. C. D. 解：因为为偶函数,则 当 解得：则其定义域为 关于原点对称. 故此时 为偶函数. 故选: B. 11.函数的图像( ) A.关于原点对称 B.关于直线对称 C.关于轴对称 D.关于直线称 解：因为函数的定义域为,又因为 所以函数 为奇函数, 所以关于原点对称.故选：A. 2.5.2 偶函数、奇函数组合函数 运算函数的奇偶性规律：对于运算函数有如下结论： （1）奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶. （2）奇×（÷）奇=偶；奇×（÷）偶=奇；偶×（÷）奇=奇；偶×（÷）偶=偶. 例1.为奇函数，为偶函数，判断、的奇偶性. 解：，故偶函数； ，故偶函数. 例2.已知有相同的定义域,是偶函数,是奇函数,且,则 ( ) A.为奇函数 B.为偶函数 C.是偶函数 D.是奇函数 解：有相同的定义域,是偶函数,是奇函数,且, 所以,因为, 故 A 错. , 故B错. ,故C错. ，故D对. 故选: D. 例3.设函数和分别是上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( ) A.是偶函数 B.是奇函数 C.是偶函数 D.是奇函数 解：由题设知:， 于是有. . . .故选：A. 1.已知奇函数，奇函数，判断的奇偶性. 解：口诀速判：奇奇=奇 定义判断，为奇函数. 2.奇函数满足，奇函数满足，设，则 . 解：奇奇=偶，偶函数满足，， 故.故答案为：-6. 3.奇函数，偶函数，，则= . 解：奇偶=奇，奇函数满足，，故.故答案为：. 4.若为奇函数，为偶函数，若为奇函数，则实数= . 解：奇偶=非奇非偶，想要整体为奇函数，必须消去偶函数项，即，故.故答案为：0. 5.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 解：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)|g(x)|为奇函数．故选：C. 6.已知函数f（x）＝x2+，g（x）＝sinx，则图象为如图的函数可能是（　　） A．y＝f（x）+g（x） B．y＝f（x）﹣g（x） C．y＝f（x）g（x） D．y＝ 解：由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数，因为f（x）＝x2+为偶函数， g（x）＝sinx为奇函数，函数y＝f（x）+g（x） ＝x2+sinx为非奇非偶函数，故选项A错误；函数y＝f（x）﹣g（x） ＝x2﹣sinx为非奇非偶函数，故选项B错误； 函数y＝f（x）g（x）＝（x2+）sinx，则y'＝2xsinx+（x2+）cosx＞0对x∈(0,)恒成立，则函数y＝f（x）g（x）在(0,)上单调递增，故选项C错误．故选：D. 7.设是上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) A.是奇函数 B.是奇函数 C.是偶函数 D.是偶函数 解：因为满足 ,所以是偶函数； 因为满足, 同时,所以既不是奇函数也不是偶函数； 又满足是奇函数； 满足是偶函数.故选：D. 8.设函数的定义域都为,且是奇函数,是偶函数,则( ) A.是偶函数 B.是偶函数 C.是奇函数 D.是奇函数 解：对A,,故是奇函数,故A错误; 对B,,故是偶函数,故B正确; 对C,,故是偶函数, 故C错误; 对D,,故是偶函数,故D错误.故选:B. 9.已知定义在上的三个函数,其中为偶函数,是奇函数,且在上单调递增,在,上单调递增,在上单调递减,则（　　） A.是奇函数,且在上单调递增 B.是偶函数,且在上单调递减 C.是奇函数,且在上单调递减 D. 是偶函数,且在上单调递增 解：令, ,因为为偶函数,是奇函数, 所以, 即是奇函数,, 即是偶函数, 因为是奇函数,在上单调递增, 在上单调递减, 所以当时, 单调递增, 单调递减,且, 任取,设,则,, 所以，所以,所以, 所以在上单调递增,在上的单调性无法判断, 因为不知道在上的符号,故选：D. 10.定义域为的奇函数、偶函数，已知，. (1)判断、奇偶性； (2)求的值. 解：（1）奇偶判断：偶奇=奇，偶奇=奇，两个函数均为奇函数； （2）求值：，， 求和：. 2.5.3 偶函数、奇函数之解不等式 题型：已知偶函数、奇函数及其相关不等式，结合偶函数、奇函数的概念和性质求解相关的范围. 例1.偶函数在递增，，解不等式. 解：； 由递增得：；则. 故不等式的解集为：（-1,2）. 例2.奇函数在单调递减，，解不等式. 解：换元，不等式变为； ，奇函数递减，等价同号，解得或； 回代： ；.故不等式的解集为：（1,4）. 例3.已知是R上奇函数，在单调递增，. (1)解不等式； (2)解不等式. 解：(1)，单调递增脱去：；解集为：（-∞，1）. (2)移项：，奇函数； 不等式化为； 单调递增：； 解得.故解集为：（-1,2） 1.偶函数定义域，在单调递增，则不等式的解集为 . 解：偶函数定义域关于原点对称：左端点右端点，，定义域； 不等式转化：，则，解得：. 故答案为：（0,2）. 2.是上奇函数，时，则不等式的解集为 . 解：求解析式：设，则，； 由奇函数，得；； 分段解不等式： -：； -：； 时，不满足大于0，舍去.故答案为：. 3.偶函数定义域，单调递减，，则实数的取值范围为 . 解：偶函数转化：； 因为在递减，自变量满足； 两边平方去绝对值： 解得.故答案为：（，1）. 4.偶函数在单调递减，，则不等式的解集为 . 解：偶函数；递减，递增； 分三段讨论： -：； -：； -：，满足不等式； 综上解集：或.故答案为（-∞，-2）∪[0,2]. 5.奇函数在单调递增，，则不等式的解集为 . 解：奇函数对称区间单调性一致，单调递增；； 表示与异号： -：； -：； 时，不满足小于0，舍去.故答案为：. 6.已知函数f（x）＝x|x|，则关于x的不等式f（2x）＞f（1﹣x）的解集为（　　） A． B． C． D． 解：因为函数f（x）＝x|x|为奇函数且x≥0时，f（x）＝x2单调递增， 根据奇函数的对称性可知，f（x）在R上单调递增， 则关于x的不等式f（2x）＞f（1﹣x）可转化为2x＞1﹣x， 解得，x．故选：A． 7.设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则( ) A. B. C. D. 解：是R的偶函数，. , . ，又在单调递减， ，故选：C. 8.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 解：由为奇函数可知,,而,则. 当时,; 当时,. 又在上为增函数. 奇函数在上为增函数.所以或,故选：D. 9.设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的 ，不等式恒成立，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 解：是定义在上的奇函数,且当时,, 当时,, 所以,所以对任意的,有恒成立, 因为在上单调递增,,即恒成立, ,解得,故选：A. 10.已知函数为偶函数,且当时,,若,则( ) A. B. C. D. 解：因为函数为偶函数,故其图象关于轴对称, 则的图象关于直线对称, 当时,,因为在上单调递增且， 而在上单调递减，故在上单调递减， 则在上单调递增，故由可得，即，则，故，故，故选：A. 11.若函数分别为上的奇函数、偶函数，且满足，则有( ) A. B. C. D. 解：分别是上的奇函数、偶函数,. 由, 得,, 即 . 解方程组得.易知 在 上单调递增, 所以, 又所以,故选：D. 12.若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且,则使 的的取值范围是（　　） A. B. C. D. 解：由题意,当时,,则 ; 又因为函数是偶函数,图像关于轴对称,所以当时,,则, 所以的解集为,故选:C. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 偶函数与奇函数 2.5.1 偶函数与奇函数的概念与性质 1.函数奇偶性的定义及图象特点 （1）偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数，图像关于y轴对称. （2）奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数，图像关于原点对称. （3）判断f(-x)与f(x)的关系时，也可以使用如下结论： ①如果f(-x)-f(x)=0或，则函数f(x)为偶函数； ②如果f(-x)+f(x)=0或，则函数f(x)为奇函数． 2.函数奇偶性的性质 （1）奇函数、偶函数的定义域关于原点对称. （2）奇偶函数的图象特征 ①函数f(x)是偶函数函数f(x)的图象关于y轴对称； ②函数f(x)是奇函数函数f(x)的图象关于原点中心对称. （3）若奇函数f(x)在x=0处有意义，则有f(0)=0；偶函数f(x)必满足. （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. （5）运算函数的奇偶性规律：对于运算函数有如下结论 ①奇±奇=奇；②偶±偶=偶；③奇±偶=非奇非偶；④奇×（÷）奇=偶；⑤奇×（÷）偶=奇；⑥偶×（÷）偶=偶. 例1.若函数为奇函数,则 . 例2.已知是R上的奇函数，且，求. 例3.设函数在内有定义,下列函数:①;②;③;④中必为奇函数的有 . (填选所有正确答案的序号) 1.偶函数满足：时，则= . 2.已知为偶函数，则实数= . 3.若是奇函数，则= . 4.若函数定义域为R，满足. （1）证明：为奇函数； （2）若，求. 5.若为偶函数,则 . 6.已知函数f(x)＝为奇函数，则a＝________；b＝________. 7.设函数(为常数).若为奇函数,则 ;若是上的增函数, 则的取值范围是 . 8.若定义在上的函数满足:对任意有则下列说法一定正确的是( ) A.为奇函数 B.为偶函数 C.为奇函数 D.为偶函数 9.设函数，则下列函数中为奇函数的是( ) A. B. C. D. 10.若为偶函数,则( ) A. B. C. D. 11.函数的图像( ) A.关于原点对称 B.关于直线对称 C.关于轴对称 D.关于直线称 2.5.2 偶函数、奇函数组合函数 运算函数的奇偶性规律：对于运算函数有如下结论： （1）奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶. （2）奇×（÷）奇=偶；奇×（÷）偶=奇；偶×（÷）奇=奇；偶×（÷）偶=偶. 例1.为奇函数，为偶函数，判断、的奇偶性. 例2.已知有相同的定义域,是偶函数,是奇函数,且,则 ( ) A.为奇函数 B.为偶函数 C.是偶函数 D.是奇函数 例3.设函数和分别是上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( ) A.是偶函数 B.是奇函数 C.是偶函数 D.是奇函数 1.已知奇函数，奇函数，判断的奇偶性. 2.奇函数满足，奇函数满足，设，则 . 3.奇函数，偶函数，，则= . 4.若为奇函数，为偶函数，若为奇函数，则实数= . 5.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 6.已知函数f（x）＝x2+，g（x）＝sinx，则图象为如图的函数可能是（　　） A．y＝f（x）+g（x） B．y＝f（x）﹣g（x） C．y＝f（x）g（x） D．y＝ 7.设是上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) A.是奇函数 B.是奇函数 C.是偶函数 D.是偶函数 8.设函数的定义域都为,且是奇函数,是偶函数,则( ) A.是偶函数 B.是偶函数 C.是奇函数 D.是奇函数 9.已知定义在上的三个函数,其中为偶函数,是奇函数,且在上单调递增,在,上单调递增,在上单调递减,则（　　） A.是奇函数,且在上单调递增 B.是偶函数,且在上单调递减 C.是奇函数,且在上单调递减 D. 是偶函数,且在上单调递增 10.定义域为的奇函数、偶函数，已知，. (1)判断、奇偶性； (2)求的值. 2.5.3 偶函数、奇函数之解不等式 题型：已知偶函数、奇函数及其相关不等式，结合偶函数、奇函数的概念和性质求解相关的范围. 例1.偶函数在递增，，解不等式. 例2.奇函数在单调递减，，解不等式. 例3.已知是R上奇函数，在单调递增，. (1)解不等式； (2)解不等式. 1.偶函数定义域，在单调递增，则不等式的解集为 . 2.是上奇函数，时，则不等式的解集为 . 3.偶函数定义域，单调递减，，则实数的取值范围为 . 4.偶函数在单调递减，，则不等式的解集为 . 5.奇函数在单调递增，，则不等式的解集为 . 6.已知函数f（x）＝x|x|，则关于x的不等式f（2x）＞f（1﹣x）的解集为（　　） A． B． C． D． 7.设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则( ) A. B. C. D. 8.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 9.设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的 ，不等式恒成立，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 10.已知函数为偶函数,且当时,,若,则( ) A. B. C. D. 11.若函数分别为上的奇函数、偶函数，且满足，则有( ) A. B. C. D. 12.若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且,则使 的的取值范围是（　　） A. B. C. D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $