2.5函数的对称性 讲义——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了函数对称性专题，涵盖轴对称、中心对称及两个函数图象间的对称三大核心考点，通过定义推导、公式归纳与推论延伸构建知识网络，以问题链引导学生自主分析对称关系，形成从基础概念到综合应用的认知体系。 亮点在于诊断性题组与分层训练设计，开篇设置基础填空与典型例题诊断学情，通过“练1”“练2”等进阶任务培养数学思维，如利用对称公式解决函数交点问题。每个模块配有方法总结与反思记录，帮助学生自主诊断薄弱点，教师可依托学情精准指导，提升学生用数学语言表达对称规律的能力。

第5节函数的对称性 ⊙课标要求 1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论 2.会利用对称公式解决问题」 考点一 轴对称 1.偶函数的图象关于 对称。 2.若函数y=∫(x十a)是偶函数，则函数y=f(x)的图象关于直线 对称 3.若函数y=f(x)满足f(a一x)=f(a十x),则函数y=f(x)的图象关于直线 对称. ●题组练透 1.若函数f(x)满足f(x十1)=f(3一x)对任意x∈R成立，则f(x)的图象() A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=2对称 C.关于直线x=3对称 D.关于直线x=-1对称 2.已知函数f(x)=3a+2,且满足∫(5十x)=∫(3-x),则f(6)=() A.29 B.11 C.3 D.5 3.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(4-x),若y=(x一2)2与y=f(x)图象的交点为(x1,y),(x2, 2),(x3,y),(x4,y4)，则x十2十3十x4=() A.-4 B.0C.4D.8 4.（2026云南玉溪统考)已知函数∫(x)的定义域为R,y=f(x十3)是偶函数，当x≥3时，∫(x)=10g2x,则 不等式f(2x+2)>f(x-1)的解集为 命练后悟通 1.函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称ef(x)=f(2a-x)台f(a-x)=f(a十x). 2若函数=w满足f(a十x)=f(b-),则y=f(x)的图象关于直线x=a十b对 2一对称 考点二 中心对称 1.奇函数的图象关于 对称. 2.若∫(x十a)是奇函数，则函数y=∫(x)图象的对称中心为 3.若函数y=f(x)满足f(a一x)=-f(a十x),则函数y=f(x)的图象关于点 对称 例1〔多选](2026江苏苏州模拟)下列说法中，正确的是（) 2X-1 A.函数f(x)= X+2的图象关于点(-2,2)中心对称 B.函数f(x)满足f(2x一1)为奇函数，则函数f(x)的图象关于点（一1,0）中心对称 C.若函数y=∫(x)的图象关于(0,1)对称，则函数y=∫(x一1)+1的图象关于(1,2)对称 x-1 D.函数y= -b的图象关于点(3，c)中心对称，则6+c=2 听课记录 金规律方法 1.函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称f(a十x)+f(a-x)=2be2b-f(x)=f(2a-x). a十bc 2.若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b一)=c,则y=∫()的图象关于点(2，之)成中心对称 练1(1)已知函数f(x)=x3+ax2+x十b的图象关于点(1,0)对称，则b=() A.-3 B.-1 C.1 D.3 (2)(2026福建泉州模拟)已知y=∫(x+1)+1为奇函数，则f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=( ) A.6 B.5 C.-6 D.-5 提能点 两个函数图象间的对称 1.函数y=f(x)与y=f(一x)的图象关于 对称. 2.函数y=f(x)与y=一f(x)的图象关于」 对称. 3.函数y=f(x)与y=一∫（一x)的图象关于对称。 圆2(1)下列函数中，其图象与函数y=?+2x的图象关于点(1,0)对称的是() A.y=-x2-2x B.y=-x2-2x+2 C.y=x2-6x+8 D.y=-x2+6x-8 (2)设函数y=∫(x)的图象与y=3+m的图象关于直线y=x对称，若f(3)+f(9)=1,则实数m= 听课记录 金规律方法 破解两个函数图象间的对称的方法 b-a (1)利用函数y=f(a十x)与函数y=f(b一x)的图象关于直线x= 2对称，即可求出对称轴； (2)利用图象的变换进行判断，注意口诀“左加右减”在解题中的应用 练2已知函数y=f(x)是定义域为R的函数，则函数y=∫(x+2)与y=f(4一x)的图象() A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=3对称 C.关于直线y=3对称 D.关于点(3,0)对称 第5节i 函数的对称性 (时间：60分钟，满分：90分) [备注：单选、填空题5分，多选题6分] A级基础达标 1.下列函数的图象中既是轴对称图形又是中心对称图形的是() A.y=tan x B.y=x C.y=x3 D.y=In x 2.(2026山东聊城检测)函数y=2与y=-2的图象（) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x轴对称 3已知丽数了)一茶则系数伤图聚的时称心的华标为() A.(-1,-3) B.(-1,3) C.(-1,-2) D.(-1,2) 4.(2026广东湛江模拟)己知函数y=∫(1一x)的图象与函数y=f(2十x)的图象关于直线x=m对称，则m=( ) A.3 B.2 C.-1 D.一2 5.己知函数f(x)对任意的x∈R都有f(x)=f(2一x)成立，且当x≥1时，f(x)=2-1,则() Af3)<f(2)<(号) Br(号)<(2)<(3) c)<(3)<员)D(3)(号)<君) 2 6.〔多选]设函数f(x)的定义域为R,f(x)为奇函数，f(1十x)=f(1一x),f(3)=1,则() A.f(-1)=1 B.f(x)=f(4+x) 18 Cfx)=f4-)D.f()=-1 7.若函数f(x十1)是奇函数，则函数y=f(x)十1的图象的对称中心是 8.（2025·江苏南通一模)己知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=4x2+2,设g(x)=f(x)一 2x2,若g(x)的最大值和最小值分别为M和m,则M什m= )已知两数了①在红是十0)上单调造培，满足对任意xER。都有了（号）x+号》，若f)在区同 (a,2a一1)上单调递减，则实数a的取值范围为 10.(13分)(2026河北沧州模拟)己知函数f(x)=1og2|x-2|+x2-4x (1)判断并证明函数f(x)的对称性： (2)求f(x)的单调区间. B级综合应用 11.(2025·江西九江模拟)设函数f(x)=x3+ax2十bx+2,且f(1+x)十f(1-x)=2,则ab=（) A.-1 B.2 C.-3 D.4 12.〔多选]定义在R上的函数f(x),f(x十1)的图象关于点(-1,0)对称，恒有f(x-1)=f(3-x),且 f(x)在[1,2]上单调递减，则下列结论正确的是() A.直线x=1是f(x)的图象的对称轴 B.周期T=2 C.函数f(x)在[4,5]上单调递增 D.f(5)=0 一一 一 13设函数了-+2,0以<a行在使利f+/小-动成.风安数0的微位布图是 14.(15分)已知函数/()-a:2一2 2*+2x是奇函数. 1 (1)求a的值，并解关于x的不等式fx)>3 2X+1 (2)求函数g(x)= 一2*+2图象的对称中心 第5节　函数的对称性 课标要求 1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论. 2.会利用对称公式解决问题. 轴对称 1.偶函数的图象关于　y轴　对称. 2.若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象关于直线　x＝a　对称. 3.若函数y＝f（x）满足f（a－x）＝f（a＋x），则函数y＝f（x）的图象关于直线　x＝a　对称. 题组练透 1.若函数f（x）满足f（x＋1）＝f（3－x）对任意x∈R成立，则f（x）的图象（　　） A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝2对称 C.关于直线x＝3对称 D.关于直线x＝－1对称 解析：B　∵对于∀x∈R满足f（x＋1）＝f（3－x）成立，则f（x）的图象是轴对称图形，设f（x）的对称轴为x＝a，则（x＋1）＋（3－x）＝2a，∴a＝2，故f（x）的图象关于x＝2对称，选B. 2.已知函数f（x）＝3｜x－a｜＋2，且满足f（5＋x）＝f（3－x），则f（6）＝（　　） A.29 B.11 C.3 D.5 解析：B　因为f（5＋x）＝f（3－x），所以f（x）的图象关于直线x＝4对称，而f（x）＝3｜x－a｜＋2的图象关于直线x＝a对称，所以a＝4，f（6）＝3｜6－4｜＋2＝11. 3.已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（4－x），若y＝（x－2）2与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），则x1＋x2＋x3＋x4＝（　　） A.－4 B.0 C.4 D.8 解析：D　由f（x）＝f（4－x）可知y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，y＝（x－2）2的图象关于直线x＝2对称，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4×2＝8. 4.（2026·云南玉溪统考）已知函数f（x）的定义域为R，y＝f（x＋3）是偶函数，当x≥3时，f（x）＝log2x，则不等式f（2x＋2）＞f（x－1）的解集为　{x｜x＜－3或x＞}　. 解析：∵y＝f（x＋3）是偶函数，∴f（x）的图象关于直线x＝3对称.∵当x≥3时，f（x）＝log2x，∴f（x）在[3，＋∞）上单调递增，∴｜2x＋2－3｜＞｜x－1－3｜，即｜2x－1｜＞｜x－4｜，∴（2x－1）2＞（x－4）2，即3x2＋4x－15＞0，解得x＜－3或x＞. 练后悟通 1.函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称⇔f（x）＝f（2a－x）⇔f（a－x）＝f（a＋x）. 2.若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝f（b－x），则y＝f（x）的图象关于直线x＝对称. 中心对称 1.奇函数的图象关于　原点　对称. 2.若f（x＋a）是奇函数，则函数y＝f（x）图象的对称中心为　（a，0）　. 3.若函数y＝f（x）满足f（a－x）＝－f（a＋x），则函数y＝f（x）的图象关于点　（a，0）　对称. 〔多选〕（2026·江苏苏州模拟）下列说法中，正确的是（　　） A.函数f（x）＝的图象关于点（－2，2）中心对称 B.函数f（x）满足f（2x－1）为奇函数，则函数f（x）的图象关于点（－1，0）中心对称 C.若函数y＝f（x）的图象关于（0，1）对称，则函数y＝f（x－1）＋1的图象关于（1，2）对称 D.函数y＝的图象关于点（3，c）中心对称，则b＋c＝2 解析：ABC　对于A，f（x）＝＝＝2－，其图象可以由y＝－的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y＝－的图象关于原点对称，故f（x）＝的图象关于点（－2，2）中心对称，A正确；对于B，因为f（2x－1）为奇函数，所以f（2x－1）＝－f（－2x－1），所以f（x）＝－f（－x－2），所以函数f（x）关于点（－1，0）中心对称，B正确；对于C，函数y＝f（x）的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f（x－1）＋1的图象，由于y＝f（x）的图象关于（0，1）对称，故函数y＝f（x－1）＋1的图象关于（1，2）对称，C正确；对于D，函数y＝＝＝1＋的图象关于点（3，c）中心对称，所以解得所以b＋c＝4，D不正确. 规律方法 1.函数y＝f（x）的图象关于点（a，b）对称⇔f（a＋x）＋f（a－x）＝2b⇔2b－f（x）＝f（2a－x）. 2.若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＋f（b－x）＝c，则y＝f（x）的图象关于点（，）成中心对称. 练1 （1）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点（1，0）对称，则b＝（　C　） A.－3 B.－1 C.1 D.3 解析： 因为函数f（x）＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点（1，0）对称，所以f（x）＋f（2－x）＝0.又f（2－x）＝（2－x）3＋a（2－x）2＋（2－x）＋b＝－x3＋（a＋6）x2－（4a＋13）x＋10＋4a＋b，所以f（x）＋f（2－x）＝（2a＋6）x2－（4a＋12）x＋10＋4a＋2b＝0.所以解得 （2）（2026·福建泉州模拟）已知y＝f（x＋1）＋1为奇函数，则f（－1）＋f（0）＋f（1）＋f（2）＋f（3）＝（　D　） A.6 B.5 C.－6 D.－5 解析：由题y＝f（x＋1）＋1为奇函数，则f（x）的图象关于（1，－1）对称，所以f（－1）＋f（0）＋f（1）＋f（2）＋f（3）＝[f（－1）＋f（3）]＋f（1）＋[f（0）＋f（2）]＝－2－1－2＝－5.故选D. 两个函数图象间的对称 1.函数y＝f（x）与y＝f（－x）的图象关于　y轴　对称. 2.函数y＝f（x）与y＝－f（x）的图象关于　x轴　对称. 3.函数y＝f（x）与y＝－f（－x）的图象关于　原点　对称. （1）下列函数中，其图象与函数y＝x2＋2x的图象关于点（1，0）对称的是（　D　） A.y＝－x2－2x B.y＝－x2－2x＋2 C.y＝x2－6x＋8 D.y＝－x2＋6x－8 解析： 设P（x，y）为所求函数图象上的任意一点，则P关于点（1，0）对称的点为Q（2－x，－y），由点Q在y＝x2＋2x的图象上，可得－y＝（2－x）2＋2（2－x），整理得y＝－x2＋6x－8，即所求函数解析式为y＝－x2＋6x－8.故选D. （2）设函数y＝f（x）的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，若f（3）＋f（9）＝1，则实数m＝　　1　　. 解析：∵函数y＝f（x）的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，∴x＝log3y－m，∴f（x）＝log3x－m，∴f（3）＋f（9）＝1－m＋2－m＝1，∴m＝1. 规律方法 破解两个函数图象间的对称的方法 （1）利用函数y＝f（a＋x）与函数y＝f（b－x）的图象关于直线x＝对称，即可求出对称轴； （2）利用图象的变换进行判断，注意口诀“左加右减”在解题中的应用. 练2 已知函数y＝f（x）是定义域为R的函数，则函数y＝f（x＋2）与y＝f（4－x）的图象（　　） A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝3对称 C.关于直线y＝3对称 D.关于点（3，0）对称 解析：A　设P（x0，y0）为y＝f（x＋2）图象上任意一点，则y0＝f（x0＋2）＝f（4－（2－x0）），所以点Q（2－x0，y0）在函数y＝f（4－x）的图象上，而点P（x0，y0）与点Q（2－x0，y0）关于直线x＝1对称，所以函数y＝f（x＋2）与y＝f（4－x）的图象关于直线x＝1对称. （时间：60分钟，满分：90分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.下列函数的图象中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A.y＝tan x B.y＝x－1 C.y＝x3 D.y＝ln｜x｜ 解析：B　由正切函数的图象性质：y＝tan x关于原点对称，但没有对称轴，不符合；由幂函数的图象性质：y＝x－1关于原点和y＝±x对称，符合；由幂函数的图象性质：y＝x3关于原点对称，但没有对称轴，不符合；由ln｜－x｜＝ln｜x｜，即y＝ln｜x｜关于y轴对称，但没有对称中心，不符合.故选B. 2.（2026·山东聊城检测）函数y＝与y＝－2x的图象（　　） A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y＝x轴对称 解析：C　令f（x）＝2x，则－f（－x）＝－，∵y＝f（x）与y＝－f（－x）的图象关于原点对称，∴y＝与y＝－2x的图象关于原点对称. 3.已知函数f（x）＝，则函数f（x）的图象的对称中心的坐标为（　　） A.（－1，－3） B.（－1，3） C.（－1，－2） D.（－1，2） 解析：C　因为f（－1＋x）＋f（－1－x）＝＋＝－＝－4，所以函数f（x）的图象关于点（－1，－2）对称.故选C. 4.（2026·广东湛江模拟）已知函数y＝f（1－x）的图象与函数y＝f（2＋x）的图象关于直线x＝m对称，则m＝（　　） A.3 B. C.－1 D.－ 解析：D　设点P（x，y）在函数y＝f（1－x）的图象上，点P关于直线x＝m的对称点Q（x'，y'），则则即y'＝f（1－2m＋x'），即y＝f（1－2m＋x）与y＝f（1－x）关于直线x＝m对称，则1－2m＝2，得m＝－. 5.已知函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）＝f（2－x）成立，且当x≥1时，f（x）＝2x－1，则（　　） A.f（ ）＜f（ ）＜f（ ） B.f（ ）＜f（ ）＜f（ ） C.f（ ）＜f（ ）＜f（ ） D.f（ ）＜f（ ）＜f（ ） 解析：B　由题意知，函数f（x）的图象的对称轴方程是x＝1，∴f（ ）＝f（ ），又当x≥1时，f（x）＝2x－1，则函数f（x）在[1，＋∞）上单调递增，由f（x）的对称性知f（x）在（－∞，1）上单调递减.∵＜＜，∴f（ ）＜f（ ）＜f（ ），故选B. 6.〔多选〕设函数f（x）的定义域为R，f（x）为奇函数，f（1＋x）＝f（1－x），f（3）＝1，则（　　） A.f（－1）＝1 B.f（x）＝f（4＋x） C.f（x）＝f（4－x） D.f（k）＝－1 解析：ABD　由f（x）为奇函数，知函数f（x）的图象关于点（0，0）对称，又f（1＋x）＝f（1－x），则f（x）的图象关于直线x＝1对称，故f（x＋2）＝f（－x）＝－f（x），则f（4＋x）＝－f（x＋2）＝f（x），所以f（x）为周期函数且周期为4，故B正确；f（3）＝f（－1）＝1，故A正确；f（4－x）＝f（－x）＝－f（x），故C错误；由上可知f（2）＝－f（0）＝0，f（4）＝f（0）＝0，所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝－f（－1）＋0＋1＋0＝0，则f（k）＝f（1）＋f（2）＝－1，故D正确. 7.若函数f（x＋1）是奇函数，则函数y＝f（x）＋1的图象的对称中心是　　（1，1）　　. 解析：因为函数f（x＋1）是奇函数，所以f（x＋1）的图象关于点（0，0）对称.将函数y＝f（x＋1）的图象向右平移1个单位长度，得函数y＝f（x）的图象，所以函数y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称.所以函数y＝f（x）＋1的图象关于点（1，1）对称. 8.（2025·江苏南通一模）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f（－x）＝4x2＋2，设g（x）＝f（x）－2x2，若g（x）的最大值和最小值分别为M和m，则M＋m＝　　2　　. 解析：由g（x）＝f（x）－2x2，那么g（－x）＝f（－x）－2x2，两式相加，可得g（－x）＋g（x）＝2，故g（x）的图象关于点（0，1）对称，其最大值和最小值也关于点（0，1）对称，所以M＋m＝2. 9.已知函数f（x）在［，＋∞）上单调递增，满足对任意x∈R，都有f（－x）＝f（x＋），若f（x）在区间（a，2a－1）上单调递减，则实数a的取值范围为　　（1，］　　. 解析：由f（－x）＝f（x＋），得函数f（x）图象的对称轴是直线x＝，因为函数f（x）在［，＋∞）上单调递增，所以函数f（x）在（－∞，］上单调递减，因为f（x）在区间（a，2a－1）上单调递减，则解得1＜a≤.所以实数a的取值范围为（1，］. 10.（13分）（2026·河北沧州模拟）已知函数f（x）＝log2｜x－2｜＋x2－4x. （1）判断并证明函数f（x）的对称性； （2）求f（x）的单调区间. 解：（1）f（x）的图象关于直线x＝2对称. 证明：由｜x－2｜＞0，得x≠2，所以f（x）的定义域为（－∞，2）∪（2，＋∞）. 因为f（2－x）＝log2｜x｜＋（2－x）2－4（2－x）＝log2｜x｜＋x2－4， f（2＋x）＝log2｜x｜＋（2＋x）2－4（2＋x）＝log2｜x｜＋x2－4， 所以f（2＋x）＝f（2－x）， 所以f（x）的图象关于直线x＝2对称. （2）设y1＝log2｜x－2｜，y2＝x2－4x， 当x＞2时，y1＝log2｜x－2｜＝log2（x－2）单调递增，y2＝x2－4x也单调递增， 故f（x）＝log2｜x－2｜＋x2－4x在（2，＋∞）上单调递增. 又f（x）的图象关于直线x＝2对称， 故f（x）的单调递增区间为（2，＋∞），单调递减区间为（－∞，2）. 11.（2025·江西九江模拟）设函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋2，且f（1＋x）＋f（1－x）＝2，则ab＝（　　） A.－1 B.2 C.－3 D.4 解析：C　因为f（1＋x）＋f（1－x）＝2，所以函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋2的图象关于点（1，1）对称，因为函数y＝x3，y＝x为奇函数，即关于点（0，0）对称，函数f（x）＝（x－1）3＋k（x－1）＋1＝x3－3x2＋（3＋k）x－k，所以a＝－3，b＝3＋k，－k＝2，解得a＝－3，b＝1，所以ab＝－3.故选C. 12.〔多选〕定义在R上的函数f（x），f（x＋1）的图象关于点（－1，0）对称，恒有f（x－1）＝f（3－x），且f（x）在[1，2]上单调递减，则下列结论正确的是（　　） A.直线x＝1是f（x）的图象的对称轴 B.周期T＝2 C.函数f（x）在[4，5]上单调递增 D.f（5）＝0 解析：AC　因为f（x－1）＝f（3－x），所以直线x＝1是f（x）的图象的对称轴，故选项A正确；因为f（x＋1）的图象关于点（－1，0）对称，所以函数f（x）的图象关于点（0，0）对称，又因为f（x）的对称轴为x＝1，且函数f（x）在[1，2]上单调递减，所以f（x）的周期T＝4，故选项B错误；直线x＝1是f（x）的对称轴，且函数f（x）在[1，2]上单调递减，所以函数f（x）在[0，1]上单调递增，又f（x）的周期T＝4，所以函数f（x）在[4，5]上单调递增，故选项C正确；因为f（x）的周期T＝4，f（4）＝f（0）＝0，则f（5）＞f（4）＝0，故选项D错误. 13.设函数f（x）＝若存在x∈R，使得f（1＋x）＝f（1－x）成立，则实数a的取值范围是　（1，＋∞）　. 解析：在同一直角坐标系中画出函数y＝x和y＝－x2＋2x的图象，如图所示.若存在x∈R，使得f（1＋x）＝f（1－x），则f（x）的图象上存在两个关于直线x＝1对称的点（两点均不在直线x＝1上），则a＞1. 14.（15分）已知函数f（x）＝是奇函数. （1）求a的值，并解关于x的不等式f（x）＞； （2）求函数g（x）＝图象的对称中心. 解：（1）对任意的x∈R，2x＋＞0，故函数f（x）的定义域为R， 又因为函数f（x）＝为奇函数，则f（0）＝＝0，解得a＝1， 所以f（x）＝， 下面验证函数f（x）＝为奇函数， f（－x）＝＝－f（x），故函数f（x）＝为奇函数， 由f（x）＝＝＝＞，得2·4x＞4，即＞22， 所以2x＋1＞2，解得x＞，因此不等式f（x）＞的解集为. （2）g（x）＝＝，则g（－x）＝，所以g（x）＋g（－x）＝＝2， 因此函数g（x）＝图象的对称中心为（0，1） 学科网（北京）股份有限公司 $