精品解析：山东烟台市栖霞市第一中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题

高一数学六月月考题 一.单选题 1. 下列几何元素可以确定唯一平面的是（ ） A. 三个点 B. 圆心和圆上两点 C. 梯形的两条边 D. 一个点和一条直线 2. 给定一组数据：，则其分位数为（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 3. 某汽车生产厂家用比例分配的分层随机抽样方法从，，三个城市中抽取若干汽车进行调查，各城市的汽车销售总数和抽取数量如右表所示，则样本容量为（ ） 城市 销售总数 抽取数量 420 280 20 700 A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 4. 若 是异面直线，则下列结论一定正确的是（ ） A. 存在与 都平行的直线 B. 存在与 都垂直的平面 C. 存在过且与垂直的平面 D. 存在过且与平行的平面 5. 在正四面体中， ，分别是，中点，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 在正四棱锥 中，点在棱上运动，当 平面时，三棱锥与四棱锥 的体积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 正四棱锥 中，侧面与底面所成二面角的余弦值为，则侧棱与底面所成角大小为（ ） A. B. C. D. 以上都不对 8. 某零件加工厂认定工人通过试用期的方法为：随机选取试用期中的5天，再从每天生产的零件中分别随机抽取25件，要求每天合格品均不低于22件．若甲、乙、丙三人在其5天抽检样本中的合格品件数统计如下，甲：中位数为24，极差不超过2；乙：平均数为23，方差不超过1；丙：众数为23，方差不超过1，则一定能通过试用期的有（ ） A. 甲、乙 B. 甲、丙 C. 乙、丙 D. 甲、乙、丙 二、多选题 9. 已知 ， 为空间中两条不同的直线，，，为空间中三个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，， ，则 D. 若，，，则 10. 某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（ ） A. 该校高一学生总数为 B. 该校高一学生中选考物化政组合的人数为 C. 该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多80 D. 用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取 人，则生史地组合抽取人 11. 如图，DE是正三角形ABC的一条中位线，将△ADE沿DE折起，构成四棱锥，F为的中点，则下列各选项正确的是（ ） A. 面 B. 面 C. 若面面ABC，则与CD所成角的余弦值为 D. 若，则二面角的余弦值为 三.填空 12. 已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据，，，，的平均数为________． 13. 如图，在三棱锥木块中，VA，VB，VC两两垂直，，点P为的重心，沿过点P的平面将木块锯开，且使截面平行于直线VC和AB，则该截面的面积为______． 14. 如图，在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱外接球的表面积为______；设P为线段上的动点，则的最小值为______． 四.解答题 15. 每年的4月23日为“世界读书日”.为了解学生课外阅读情况，某学校从本校学生中随机抽取了200名学生，对其每天阅读时间（单位：分钟）进行调查，并依据样本数据绘制了如下频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）已知落在样本数据的平均值是53，方差是4；落在样本数据的平均值是68，方差是9.求落在样本数据的平均值和方差. 16. 某中学为了调查某年级学生劳动实践活动情况，对名学生某周的劳动时间统计如下： 周劳动时间（小时） 人数 20 80 140 200 60 （1）根据提供的数据，直接在答题卡中补充完整周劳动时间的频率分布直方图（用阴影填涂，需要书写具体步骤）； （2）求周劳动时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）； （3）根据图表，估计周劳动时间的样本数据的第80百分位数. 17. 长方体中，，． （1）求证：平面平面； （2）求点C到平面的距离． 18. 如图，在四棱锥中，，，底面四边形ABCD为凸四边形， （1）证明：； （2）在棱VC上是否存在一点P，使得平面PAD？若存在，指出点P的位置；若不存在，说明理由． 19. 如图，在直三棱柱中，， 分别为的中点. （1）求证：∥平面； （2）设平面与平面的交线为，求二面角的正切值； （3）在线段 上是否存在点，使直线与平面所成角的大小为？若存在，求出 的长度；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学六月月考题 一.单选题 1. 下列几何元素可以确定唯一平面的是（ ） A. 三个点 B. 圆心和圆上两点 C. 梯形的两条边 D. 一个点和一条直线 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面的确定方法求解. 【详解】对A，三个不共线的点才能确定唯一平面，A错误； 对B，当圆上的两点和圆心共线时，三个点不能确定唯一平面，B错误； 对C，梯形的任意两条边都能确定梯形所在的平面，所以确定的平面唯一，C正确； 对D，当点在直线上时，这个点和直线不能确定唯一平面，D错误， 故选:C. 2. 给定一组数据：，则其分位数为（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】利用百分位数的定义直接求解即可 【详解】这组数从小到大已排列好， 因为 ， 所以分位数为第6个数20， 故选：D 3. 某汽车生产厂家用比例分配的分层随机抽样方法从，，三个城市中抽取若干汽车进行调查，各城市的汽车销售总数和抽取数量如右表所示，则样本容量为（ ） 城市 销售总数 抽取数量 420 280 20 700 A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的方法求解. 【详解】由题可得，，，三个城市的销售总数比为， 所以，所以 所以样本容量为100. 故选:C. 4. 若 是异面直线，则下列结论一定正确的是（ ） A. 存在与 都平行的直线 B. 存在与 都垂直的平面 C. 存在过且与垂直的平面 D. 存在过且与平行的平面 【答案】D 【解析】 【分析】根据异面直线的定义，结合线面垂直和线面平行的定理和性质判断四个选项即可. 【详解】对于A，如果存在存在与 都平行的直线，则，与 是异面直线矛盾，故A错误； 对于B，如果存在与 都垂直的平面，则，与 是异面直线矛盾，故B错误； 对于C，如果存在过且与垂直的平面，则，因为 是异面直线，不一定垂直，故C错误； 对于D，设为直线上一点，在上取两点，则确定一个平面， 在内过作，此时与确定一个平面即为过且与平行的平面，故D正确， 故选：D. 5. 在正四面体中， ，分别是， 中点，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设四面体棱长为2，取取中点，连结 ，，利用三角形中位线性质作出异面直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】 取中点，连结 ，， ，，设正四面体的棱长为2， 因为，分别是 ，中点，所以，所以或其补角是与所成角. 又， 是中点， 在中，， 因为 ，分别是，中点，所以，又， 在中，由余弦定理可知， 又，所以.与所成角. 故选：B 6. 在正四棱锥 中，点在棱上运动，当 平面时，三棱锥与四棱锥 的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面平行的性质定理可确定Q点位置，再利用等体积转换法，可知只需表示出即可得出比值. 【详解】如图所示，连接对角线 交于点 ，连接 . 因为正四棱锥 的底面是正方形，所以 是 的中点. 因为平面， ⊂平面，且平面 平面，由线面平行的性质得. 因此 是的中位线，故是的中点，即 . 设正四棱锥 的底面积为，高为h，则总体积， 因为  的面积是正方形面积的一半，即 ， 因为是中点，所以到底面的距离为. 所以，所以 . 7. 正四棱锥 中，侧面与底面所成二面角的余弦值为，则侧棱与底面所成角大小为（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】结合正四棱锥的性质得到 平面，底面为正方形，根据二面角及线面角的定义判断对应的平面角，结合三角函数求解即可. 【详解】设 与的交点为 ，连接，则 平面. 因为平面，所以 ，. 则即为侧棱与底面所成角. 过点 作，交 于，连接. 因为平面 ，，所以平面 . 又平面 ，所以 ， 所以即为侧面与底面所成二面角的平面角，故. 设正四棱锥 底面正方形边长为，则，. 在中，，所以，， 在中，， 又，所以. 8. 某零件加工厂认定工人通过试用期的方法为：随机选取试用期中的5天，再从每天生产的零件中分别随机抽取25件，要求每天合格品均不低于22件．若甲、乙、丙三人在其5天抽检样本中的合格品件数统计如下，甲：中位数为24，极差不超过2；乙：平均数为23，方差不超过1；丙：众数为23，方差不超过1，则一定能通过试用期的有（ ） A. 甲、乙 B. 甲、丙 C. 乙、丙 D. 甲、乙、丙 【答案】A 【解析】 【分析】根据甲乙丙的统计数据，判断他们的合格品数是否有可能低于22，只要不低于22，则一定能通过. 【详解】对于甲：由甲的统计数据可知，甲至少有3天的合格品数不低于24，最低合格品数不低于2，所以甲一定能通过； 对于乙：设乙每天的合格品件数为，则， 即.若乙有不止一天的合格品数低于21，，不合题意； 若乙只有一天的合格品数低于22，不妨取，，因为平均数为23，则至少有一天的合格品数为25或至少有两天的合格品数为24，无论哪种情况，都可以得到，不合题意，所以乙的每一天的合格品数都不低于22，乙一定能通过； 对于丙：若丙的合格品数为21，22，23，23，23，则丙的众数为23，方差为0.64，符合丙的统计数据，但丙不能通过； 所以甲、乙一定能通过，A正确； 故选：A. 二、多选题 9. 已知，为空间中两条不同的直线，，，为空间中三个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，， ，则 D. 若，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断可得答案. 【详解】对于A，若，，则或，故A不正确； 对于B，若，，，则 （线面平行的性质定理），故B正确； 对于C，若， ，所以，又且，是空间两个不同的平面，则，故C正确； 对于D，因为，如下图， 若分别为面、面、面，且为， 显然 面，则，故D正确； 故选：BCD. 10. 某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（ ） A. 该校高一学生总数为 B. 该校高一学生中选考物化政组合的人数为 C. 该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多80 D. 用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取 人，则生史地组合抽取人 【答案】AC 【解析】 【分析】根据政史地人数和占比可确定A正确；计算出物化生的人数后即可确定B错误；分别计算选考历史和物理的人数，则知C正确；确定生史地组合人数占比后，根据分层抽样原则可知D错误. 【详解】对于A，选科为政史地的人数为 人，占比为， 该校高一学生共有人，A正确； 对于B，选科为物化生的人数为人， 选科为物化政的人数为，B错误； 对于C，选考历史的人数有人，选考物理的人数有人， 选考物理的人数比选考历史的人数多，C正确； 对于D，选科为生史地的学生人数占比为， 采用分层抽样抽取 人，生史地组合应抽取人，D错误. 故选：AC. 11. 如图，DE是正三角形ABC的一条中位线，将△ADE沿DE折起，构成四棱锥，F为 的中点，则下列各选项正确的是（ ） A. 面 B. 面 C. 若面面ABC，则与CD所成角的余弦值为 D. 若，则二面角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】假设 面，可证得以 面，所以平面 面，但平面与面相交，所以假设不成立可判断A；由题目条件可证得，则可判断B；以的中点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设三角形的边长为2，由异面直线所成角的夹角公式可判断C；由结合题意可求出，分别求出平面和平面的法向量，由二面角的公式代入可判断D. 【详解】若 面,因为 ，平面， 平面， 所以 面，又因为，所以平面 面，但平面与面相交，所以假设不成立，所以不平行面，所以A不正确； 对于B，因为，所以，又因为，所以面，所以B正确 对于C，将沿折起，使到，且面面ABC， 以的中点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设三角形的边长为2，所以， ， 设与CD所成角的为， 则， 所以与CD所成角的余弦值为，所以C正确； 对于D，设，因为， 所以， 所以，， 因为，所以 ，所以, ， 设平面，所以 故， 设平面，所以 故， 设二面角所成角为， ， 因为为钝二面角，所以二面角的余弦值为. 所以D正确. 故选：BCD. 三.填空 12. 已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据，，，，的平均数为________． 【答案】11 【解析】 【分析】根据题意，设样本数据的平均数为，结合方差公式可得，解可得，结合平均数的性质分析可得答案． 【详解】根据题意，设样本数据的平均数为， 其方差 ， 又，则有，解得， 则样本数据、、、、的平均数为． 13. 如图，在三棱锥木块中，VA，VB，VC两两垂直，，点P为的重心，沿过点P的平面将木块锯开，且使截面平行于直线VC和AB，则该截面的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图作出平面，根据线面平行的判定定理，可证平面，平面，则平面即为所求，根据线面平行的判定定理、性质定理，可证四边形为平行四边形，根据线面垂直的判定定理、性质定理，可证四边形为矩形，根据三角形相似，可求得的值，即可得答案. 【详解】由VA，VB，VC两两垂直，， 则可将三棱锥补形到正方体中，连接AP并延长，交VC于D，过P作VC的平行线，交AV于E，交AC与F，过E作，交VB于H ，过H作，交BC于M，连接MF，如图所示 因为，所以E、F、M、H四点共面， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为， 平面，平面， 所以平面， 则平面即为所求， 因为，平面， 平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以， 所以四边形为平行四边形， 又，平面VAB， 所以平面VAB， 所以平面VAB， 因为平面VAB， 所以，即四边形为矩形， 因为， 所以， 因为P为的重心， 所以，则， 同理可证， 所以，则， 所以矩形的面积为 故答案为： 14. 如图，在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱外接球的表面积为______；设P为线段上的动点，则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意将直三棱柱补成长方体，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，从而可求出直三棱柱外接球的表面积，将绕展开至与平面垂直的位置，则共面，连接，则的长就是的最小值，然后利用余弦定理可求得结果 【详解】因为直三棱柱中，， 所以将直三棱柱补成长方体，如图所示， 所以直三棱柱的外接球就是长方体外接球， 因为，，， 所以外接球的直径为， 所以外接球的半径为， 所以直三棱柱外接球的表面积为， 直三棱柱中，侧面与底面垂直， 因为，平面平面，平面 平面 ， 所以 平面， 因为 平面，所以， 将绕展开至与平面垂直的位置，则共面，如图所示， 连接，则的长就是的最小值， 在中，，则， 在中，， 在中，由余弦定理得 , 所以， 所以的最小值为， 故答案为： ， 四.解答题 15. 每年的4月23日为“世界读书日”.为了解学生课外阅读情况，某学校从本校学生中随机抽取了200名学生，对其每天阅读时间（单位：分钟）进行调查，并依据样本数据绘制了如下频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）已知落在样本数据的平均值是53，方差是4；落在样本数据的平均值是68，方差是9.求落在样本数据的平均值和方差. 【答案】（1） （2） （3）59，60 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，可得各个区间的频率和为1，即可得到的值； （2）再将各区间的中点值乘以对应的频率，并求和，即可得样本数据的平均值； （3）由分层抽样的方差公式求解. 【小问1详解】 由题意知，， 解得； 【小问2详解】 根据频率分布直方图， 所以； 【小问3详解】 由频率分布直方图知， 落在､的样本数据的频数分别为60，40， 所以， 所以. 16. 某中学为了调查某年级学生劳动实践活动情况，对名学生某周的劳动时间统计如下： 周劳动时间（小时） 人数 20 80 140 200 60 （1）根据提供的数据，直接在答题卡中补充完整周劳动时间的频率分布直方图（用阴影填涂，需要书写具体步骤）； （2）求周劳动时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）； （3）根据图表，估计周劳动时间的样本数据的第80百分位数. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由统计表格中的数据，求得劳动时间在和的矩形的高度，进而得到频率分布直方图； （2）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求解； （3）设样本数据的第分位数为，求得前三个矩形和前四个矩形的面积，结合百分位数的计算方法，即可求解. 【小问1详解】 解：由统计表格中的数据，可得劳动时间在和的人数分别为人和人， 因为频率分布直方图的组距为， 所以劳动时间在和的矩形的高度分别为：和， 可得其频率分布直方图为： 【小问2详解】 解：由频率分布直方图的数据，可得其平均数为： . 【小问3详解】 解：根据题意，设样本数据的第分位数为， 前三个矩形的面积为， 前四个矩形的面积为， 所以位于之间，可得， 即样本数据的第分位数为. 17. 长方体中，，． （1）求证：平面平面； （2）求点C到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）先证明平面，平面，进而通过面面平行的判定定理证明问题； （2）利用“等体积法”即可求得答案. 【小问1详解】 因为，，所以四边形为平行四边形，所以． 因为 平面，平面，所以平面． 连接，因为，，所以四边形 为平行四边形，所以，因为 平面， 平面，所以平面．又因为平面，平面，，所以平面平面. 【小问2详解】 因为平面BCD，，，， 所以，又，因为，所以C到平面的距离，即C到平面的距离为． 18. 如图，在四棱锥中，，，底面四边形ABCD为凸四边形， （1）证明：； （2）在棱VC上是否存在一点P，使得平面PAD？若存在，指出点P的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）取AD中点E，连接EV，EB．先利用线面垂直的判定定理证得平面VEB，然后利用线面垂直的性质定理证得结论；（2）假设在棱上存在一点P，使得平面PAD．利用线面垂直的性质定理可以判断，与矛盾，从而得出结论. 【小问1详解】 证明：取AD中点E，连接EV，EB．因为，所以． 因为，所以．又，所以平面VEB． 因为平面VEB，所以． 【小问2详解】 假设在棱上存在一点P，使得平面PAD．因为 平面PAD，所以． 又，，所以平面VBC．因为 平面VBC，所以． 在平面ABCD中，因为，，所以，与矛盾． 所以在棱VC上不存在点P，使得平面PAD． 19. 如图，在直三棱柱中，， 分别为的中点. （1）求证：∥平面； （2）设平面与平面的交线为，求二面角的正切值； （3）在线段上是否存在点，使直线与平面所成角的大小为？若存在，求出 的长度；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）设，连接，结合三角形中位线定理可得∥，再利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）设平面与平面的交线为，则∥，设 为 中点，连接，由直棱柱的性质结合已知可证得 平面， 过 作，连接，可得 为二面角的平面角，然后在中求解即可； （3）设在面上射影为，则为与平面所成角，然后利用等体积法可求出，从而可求出，进而在 中可求出 . 【小问1详解】 证明：设，连接， 因为四边形 为平行四边形，所以 为中点， 又因为为 中点，所以∥. 因为平面平面， 所以∥平面. 【小问2详解】 解：设平面与平面的交线为， 又∥平面平面，所以∥. 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 因为 平面，所以 设 为 中点，连接，则∥，， 因为 ，，所以 ，， 因为，平面， 所以 平面. 因为平面，所以. 过 作，因为 ， 平面， 所以平面. 连接，因为平面，所以， 所以 为二面角的平面角. 因为∥，所以， 因为， 所以，所以，即，所以. 在 中，，所以， 即二面角的正切值为. 【小问3详解】 设在面上射影为，则为与平面所成角. 由，得， 因为，，， 所以，所以， 所以， 因为，所以，解得. 由，所以. 在 中，由余弦定理， 解得， 所以，在线段 上存在点，当时，与平面所成角大小为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $