精品解析：山东省烟台市栖霞第一中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

高一数学测试题 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 下列说法正确的是（ ） A. 在空间中，没有公共点两条直线互相平行 B. 棱柱的侧棱长都相等，侧面都是平行四边形 C. 用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 D. 以直角三角形一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体是圆锥 2. 若某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°、半径为的扇形，则其体积为（ ） A. B. C. D. 3. 为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75百分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 8.5 D. 9.5 4. 已知在如图所示的等腰梯形ABCD中，，，，用斜二测画法画出该梯形的直观图，则该梯形的直观图的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 5. 在正方体中，M，N，P，Q分别为，，，的中点，则直线PM与NQ所成的角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 6. PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB、PC、PD、AC、BD，则下列垂直关系正确的是（ ） ①平面平面PAD；②平面平面PBC； ③平面平面PCD；④平面平面PAC． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 7. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图2，在鳖臑PABC中，PA ⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP=AC=1，过A点分别作AE⊥ PB于E、AF⊥PC于F，连接EF当△AEF的面积最大时，tan∠BPC的值是（ ） A. B. C. D. 8. 正方体 的棱长为 是棱 的中点， 是侧面 内一点，且 平面 ，则 长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知一组样本数据，，，…，，将这组样本数据中的每一个数加2，得到一组新样本数据，，，…，，则（ ） A. 两组样本数据的中位数相同 B. 两组样本数据的极差相同 C. 两组样本数据标准差相同 D. 两组样本数据的平均数相同 10. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的有（ ） A 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若m，n是异面直线，，，，，则 11. 如图，DE是正三角形ABC的一条中位线，将△ADE沿DE折起，构成四棱锥，F为的中点，则下列各选项正确的是（ ） A. 面 B. 面 C. 若面面ABC，则与CD所成角的余弦值为 D. 若，则二面角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一组数据由6个数组成，将其中一个数由4改为1，另一个数由6改为9，其余数不变，得到新的一组数据，则新的一组数的方差相比原一组数的方差的增加值为_________． 13. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好过中点．当底面水平放置时，液面高为__________． 14. 如图，在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱外接球的表面积为______；设P为线段上的动点，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图(每组数据包括右端点但不包括左端点)，请你根据统计图解答下列问题： 用户用水量频数直方图 用户用水量扇形统计图 （1）此次抽样调查的样本容量是________； （2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数； （3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格． 16. 如图，在正方体1中，，E、F、G分别为、、中点. （1）求三棱锥的表面积； （2）求证：平面. 17. 某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量（单位：），并绘制频率分布直方图如下： （1）请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数，平均数，中位数；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表） （2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求（在10天中，大约有8天可以满足顾客的需求）.请问每天应该进多少千克苹果？（精确到整数位） 18. 某电视台有一档益智答题类综艺节目，每期节目从现场编号为01～80的80名观众中随机抽取10人答题.答题选手要从“科技”和“文艺”两类题目中选一类作答，一共回答10个问题，答对1题得1分. （1）若采用随机数表法抽取答题选手，按照以下随机数表，从下方带点的数字2开始向右读，每次读取两位数，一行用完接下一行左端，求抽取的第6个观众的编号. 1622779439  4954435482   1737932378   8735209643     8426349164 8442175331  5724550688   7704744767   2176335025    83921206761 （2）某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50人，其平均年龄为38岁，方差为2，高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该学校教师年龄的平均数和方差. 19. 如图，直三棱柱中，，E、F分别为AB、的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若，直线EF与平面ABC所成角为，求三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学测试题 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 下列说法正确的是（ ） A. 在空间中，没有公共点的两条直线互相平行 B. 棱柱的侧棱长都相等，侧面都是平行四边形 C. 用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 D. 以直角三角形一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体是圆锥 【答案】B 【解析】 【分析】由直线与直线的位置关系可以判断A，再由多面体和旋转体的概念可以判断B,C,D. 【详解】对A，没有公共点的两条直线可以异面，错误； 由棱柱的定义容易判断B正确； 对C，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，得到一个圆锥和圆台，C错误； 对D，若以直角三角形的斜边为旋转轴，则得到的图形是同底面的两个圆锥，D错误. 故选：B. 2. 若某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°、半径为的扇形，则其体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥底面圆半径为r，根据弧长公式，可求得r，进而可得圆锥的高，代入体积公式，即可得答案. 【详解】设圆锥底面圆半径为r，则底面圆周长为， 又， 所以，解得， 则圆锥的高为， 所以圆锥的体积. 故选：A 3. 为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲平均得分为8分，那么这组数据的75百分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 8.5 D. 9.5 【答案】C 【解析】 【分析】由平均数求出的值，将这组数据从小到大的顺序排列，由百分位数的定义即可求解. 【详解】由题意可得：，解得：， 将这组数据从小到大的顺序排列为， 因为为整数， 所以这组数据的75百分位数为， 故选：C. 4. 已知在如图所示的等腰梯形ABCD中，，，，用斜二测画法画出该梯形的直观图，则该梯形的直观图的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出原图形的面积，再由直观图的面积为原图形面积的得出该梯形的直观图的面积. 【详解】依题意，，，，所以，可知等腰梯形ABCD的面积为，根据斜二测画法规则知，其直观图的面积为原图形面积的，所以该梯形的直观图的面积为. 故选：B. 5. 在正方体中，M，N，P，Q分别为，，，的中点，则直线PM与NQ所成的角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】取AB的中点R，连接RN，RQ，，根据M，N，P，Q为中点，得到，从而为直线PM与NQ所成的角求解. 【详解】解：如图所示： 取AB的中点R，连接RN，RQ，， 因为M，N，P，Q分别为，，，的中点， 所以， 所以， 所以为直线PM与NQ所成的角， 又因为是等边三角形， 所以， 故选：C 6. PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB、PC、PD、AC、BD，则下列垂直关系正确的是（ ） ①平面平面PAD；②平面平面PBC； ③平面平面PCD；④平面平面PAC． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】对于①②，由于PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以PA所在的平面与底面垂直，又ABCD为正方形，故又存在一些线线垂直关系，从而可以得到线面垂直，进而可以判定面面垂直． 对于③④，找到相互垂直的平面的二面角的平面角，可发现这些平面角不可能为直角. 【详解】∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC， 又正方形ABCD中，BC⊥AB，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB，BC⊂平面PBC， ∴平面PAB⊥平面PBC，②正确； 同理AD⊥平面PAB，AD⊂平面PAD， ∴平面PAD⊥平面PAB，∴①正确； 设平面PAB∩平面PCD＝l，∵AB∥CD，AB⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，∴CD∥平面PAB，∴CD∥l， AB⊥平面PAD，l∥AB，∴l⊥平面PAD，P为垂足， ∴∠APD为二面角A−l−D的平面角， 若平面PAB⊥平面PCD，则AP⊥PD，在Rt△PAD中不可能，∴③错误． ∵AB⊥PA，AC⊥PA， ∴∠BAC为二面角B−PA−C的平面角， 若平面平面PAC，则AB⊥AC，在Rt△ABC中不可能，∴④错误． 故选：A． 7. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图2，在鳖臑PABC中，PA ⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP=AC=1，过A点分别作AE⊥ PB于E、AF⊥PC于F，连接EF当△AEF的面积最大时，tan∠BPC的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：显然，则，又，则，于是，，结合条件得，所以、均为直角三角形，由已知得，而，当且仅当时，取“=”，所以，当时，的面积最大，此时，故选B． 考点：基本不等式、三角形面积． 8. 正方体 的棱长为 是棱 的中点， 是侧面 内一点，且 平面 ，则 长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点为，连接，确定平面平面 ，得到的轨迹是线段,即可求解. 【详解】取的中点为， 连接， 由中位线易知， 又在平面 内，不在平面 内， 所以平面 ，平面 ， 又是平面内两条相交直线， 所以平面平面 ， 又 平面 ， 所以在平面内，又 是侧面 内一点， 所以的轨迹是线段, 易知, ， 所以 长度的取值范围是. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知一组样本数据，，，…，，将这组样本数据中的每一个数加2，得到一组新样本数据，，，…，，则（ ） A. 两组样本数据中位数相同 B. 两组样本数据的极差相同 C. 两组样本数据的标准差相同 D. 两组样本数据的平均数相同 【答案】BC 【解析】 【分析】根据中位数、极差、平均数、方差的性质判断即可； 【详解】解： 对于A，设原样本数据的中位数为，则新样本数据的中位数为，故A错误； 对于B，不妨设原样本数据最大为，最小为，则原样本数据中，样本数据的极差为， 新样本数据中，样本数据的极差为，故B正确． 对于D，原样本数据的样本平均数为， 新样本数据的样本平均数为，故D错误； 对于C，原样本数据的标准差为：， 新样本数据的标准差为：，故C正确； 故选：BC． 10. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若m，n是异面直线，，，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.由直线与平面的位置关系判断；B.由线面垂直的性质定理判断；C.由线面平行的性质定理判断；D.由面面平行的判定定理判断. 【详解】A.若，，则或，故错误； B.若，，由线面垂直的性质得，故正确； C.若，，，由线面平行的性质得，故正确； D.如图所示： 在n上取一点O，由m，O确定平面，有，因为，所以， 则，又，，所以，故正确； 故选；BCD 11. 如图，DE是正三角形ABC的一条中位线，将△ADE沿DE折起，构成四棱锥，F为的中点，则下列各选项正确的是（ ） A. 面 B. 面 C. 若面面ABC，则与CD所成角的余弦值为 D. 若，则二面角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】假设面，可证得以面，所以平面面，但平面与面相交，所以假设不成立可判断A；由题目条件可证得，则可判断B；以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设三角形的边长为2，由异面直线所成角的夹角公式可判断C；由结合题意可求出，分别求出平面和平面的法向量，由二面角的公式代入可判断D. 【详解】若面,因为，平面，平面， 所以面，又因为，所以平面面，但平面与面相交，所以假设不成立，所以不平行面，所以A不正确； 对于B，因为，所以，又因为，所以面，所以B正确 对于C，将沿折起，使到，且面面ABC， 以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设三角形的边长为2，所以， ， 设与CD所成角的为， 则， 所以与CD所成角的余弦值为，所以C正确； 对于D，设，因为， 所以， 所以，， 因为，所以 ，所以, ， 设平面，所以 故， 设平面，所以 故， 设二面角所成角为， ， 因为为钝二面角，所以二面角的余弦值为. 所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一组数据由6个数组成，将其中一个数由4改为1，另一个数由6改为9，其余数不变，得到新的一组数据，则新的一组数的方差相比原一组数的方差的增加值为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】先计算均值，再根据方差的定义求解. 【详解】设这组数据为，均值为，不妨设 ， ， 方差为； 由题意，新数据为，显然新数据的均值与原数据的均值相等， 其方差为 ； 即新数据的方差比原数据的方差增加了5； 故答案为：5. 13. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好过的中点．当底面水平放置时，液面高为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答. 【详解】设的面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h， 侧面水平放置时，水体积为 当底面ABC水平放置时，水的体积为，于是，解得， 所以当底面水平放置时，液面高为12. 故答案为：12 14. 如图，在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱外接球的表面积为______；设P为线段上的动点，则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意将直三棱柱补成长方体，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，从而可求出直三棱柱外接球的表面积，将绕展开至与平面垂直的位置，则共面，连接，则的长就是的最小值，然后利用余弦定理可求得结果 【详解】因为直三棱柱中，， 所以将直三棱柱补成长方体，如图所示， 所以直三棱柱的外接球就是长方体外接球， 因为，，， 所以外接球的直径为， 所以外接球的半径为， 所以直三棱柱外接球的表面积为， 直三棱柱中，侧面与底面垂直， 因为，平面平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 将绕展开至与平面垂直的位置，则共面，如图所示， 连接，则的长就是的最小值， 在中，，则， 在中，， 在中，由余弦定理得 , 所以， 所以的最小值为， 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图(每组数据包括右端点但不包括左端点)，请你根据统计图解答下列问题： 用户用水量频数直方图 用户用水量扇形统计图 （1）此次抽样调查的样本容量是________； （2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数； （3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析，79.2°；（3）4.08万户. 【解析】 【分析】 （1）根据用户用水量在吨的户数以及所占比例得出样本容量； （2）由样本容量减去用水15～20吨之外的户数，即可得出用水15～20吨的户数，再由用水15～20吨的户数占样本容量的比例求出圆心角； （3）将样本中享受基本价格的户数所占样本的比例乘以得出答案. 【详解】（1）； （2）用水15～20吨的户数为100－10－36－24－8＝22(户)， “15～20吨”部分的圆心角的度数为 （3）(万户) 所以该地区6万用户中约有4.08万户的用水全部享受基本价格． 16. 如图，在正方体1中，，E、F、G分别为、、中点. （1）求三棱锥的表面积； （2）求证：平面. 【答案】（1）16； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）借助正方体的结构特征求出三棱锥的表面积. （2），连接，利用线面平行的判定推理得证. 【小问1详解】 在正方体中，，两两垂直， 由分别为的中点，得，， 等腰底边上的高， 所以三棱锥的表面积 . 【小问2详解】 连接，，连接， 由是正方形对边中点，得四边形是矩形，则是的中点， 而是的中点，因此，而平面，平面， 所以平面 17. 某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量（单位：），并绘制频率分布直方图如下： （1）请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数，平均数，中位数；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表） （2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求（在10天中，大约有8天可以满足顾客的需求）.请问每天应该进多少千克苹果？（精确到整数位） 【答案】（1）众数，平均数，中位数 （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，结合众数、平均数和中位数的概念与计算公式，即可求解； （2）由频率分别直方图，求得日销售量和之间的频率，得到所求的量位于区间之间，进而求得没电该进量. 【小问1详解】 解：根据频率分布直方图知，区间的频数最大，所以估计众数为， 平均数为， 设中位数为，因为日销售量之间的频率为， 日销售量之间的频率为， 所以. 【小问2详解】 解：由频率分别直方图知， 日销售量之间频率为， 日销售量之间的频率为， 所以所求的量位于区间之间， 设每天的该进量为千克，则， 所以每天应该进量为千克. 18. 某电视台有一档益智答题类综艺节目，每期节目从现场编号为01～80的80名观众中随机抽取10人答题.答题选手要从“科技”和“文艺”两类题目中选一类作答，一共回答10个问题，答对1题得1分. （1）若采用随机数表法抽取答题选手，按照以下随机数表，从下方带点的数字2开始向右读，每次读取两位数，一行用完接下一行左端，求抽取的第6个观众的编号. 1622779439  4954435482   1737932378   8735209643     8426349164 8442175331  5724550688   7704744767   2176335025    83921206761 （2）某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50人，其平均年龄为38岁，方差为2，高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该学校教师年龄的平均数和方差. 【答案】（1） （2）平均数为，方差为 【解析】 【分析】（1）根据随机数表中数字的读取方法，得到读取的数字，即可得到答案； （2）设中级职称教师的人数年龄的平均数为，方差为，可得，，再设中级职称教师的人数年龄的平均数为，方差为，求得，，结合分层抽样方差的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题意，结合随机数表中数字的读取方法， 可得读取的数字编号依次为：， 所以抽取的第6个观众的编号为. 【小问2详解】 解：设中级职称教师的人数年龄的平均数为，方差为，可得，， 设中级职称教师的人数年龄的平均数为，方差为， 因为高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁， 可得， ， 则该学校教师年龄的平均数（岁）， 方差为. 19. 如图，直三棱柱中，，E、F分别为AB、的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若，直线EF与平面ABC所成角为，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理，即可证明结论； （2）取BC中点为H，先证明平面，再根据线面垂直的性质定理，即可证明结论； （3）证明平面，根据等体积法即可求得答案. 【小问1详解】 连接交于O点，连接， 则直三棱柱中，四边形为平行四边形， 则O为的中点，又E为AB的中点，故， 平面，平面， 故平面； 【小问2详解】 取BC中点为H，连接, F为的中点，故，而底面， 故底面，底面，故; 又E为AB的中点，则，而，即， 故，而平面， 故平面，平面，故，即； 【小问3详解】 由（2）可知为直线EF与平面ABC所成角，即， 由，E为AB中点，则； 又，得， 又底面，底面，故， 而平面，故平面， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$