山东青岛市2025-2026学年高一下学期6月部分学生调研检测（强基班调考）数学试题

2026年高一年级部分学生调研检测数学参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1-8:B A B D C D C D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.BC 10.ACD 11.BCD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分 12.6或7或8（写出其中一个即可）； 13.V3, [ 14 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. AM AB 15.(13分)(1)在△AMB中，由正弦定理，sin45°sin60° :M4v6 √23 22 4分 解得AM=8,“A,M间的距离为8km 6分 AN AB (2)在△ABN中，由正弦定理得sinl20°sin30°，则AW=12V2 8分 在△AMN中，由余弦定理得MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos45° =8+(122j}-1922. 2-=160 11分 MN=4V0,所以M,N间的距离为4Wi0km 13分 16.(15分) (1)由题意，不妨设BP=kBE,CP=tCD, 则可以得到： 4P-4B+BP-4B+kBE=(1-k)4B+2kAC 亚-C+①-4C+rD-B+-)4C 3分 3-5 k 由于AB，AC不共线，所以可得： 2k=1-t t= ( -+C 所以 7分 AM-14B+AC AP-24B+24C-4AM (2)因为 2 2 ，所以 5 5 -号m-6+0c.w--c 所以 9分 网-6+站j4+16+肉-器.p-9 a-g而cj416-8-9网=5 12分 PwW=24-16)= PM.CM cos∠PMC= 5 PM-CM.7 所以 5 15分 17.(15分) 解：(1)根据方差的定义可得， 2-0-时] 2分 a-g可 所以 2年-+x--[c-列+2x--)+G-门 =(x-+22(x-x-)+x-z) 2∑x--)=2-)∑x-)=0 6分 汉立-=m-} 2(氏-x+x-z}=m心+m(依-z列} 所以 ∑0y,-+-z}=s+m(厅-z} 同理 s=-1[msi+m(x-)+ns+n(-3) 所以m+nL s=m+(医-]+4[+0-] 所以 m+nL 10分 2)>, 11分 证明如下： 3 65+×75=71 3 5 12分 合并后的方差 --(65-7]+5+(5-] 22,32,120 59 5+ <s2 5 s2>3+40.s2>s号 15分 18.(17分) 解：(1)证明：因为底面ABCD为直角梯形，AD/BC,AB⊥BC,所以AB⊥AD ACBD=(AB+BC(AD-AB)=AB·AD-AB·AB+BC·AD-BCAB =-AB.AB+BC·AD=-8+8=0,所以AC⊥BD 2分 又PO⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,所以AC⊥PO 又POC平面PBD,BDC平面PBD,且PO∩BD=O,所以AC⊥平面PBD4分 (2)设平面PAD与平面PBC的交线为l,因为ADIIBC,可得AD∥平面PBC 由线面平行的性质得，AD/BCM,因为E为AD的中点，AD=2BC=4, 所以BC=DE=2,O为BD,CE的中点，由勾股定理得 BD=VAB2+AD=2N6,所以PD=VPO2+OD2=V10=PA=PB, 所以PE⊥AD6分 PC=VP02+0C2=V6,因为PC2+BC2=6+4=10=PB2, 所以PC⊥BC 如图，连接PE,易得PE⊥l,PC⊥l P A B 所以∠EPC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角 在△PEC中，PE=PC=V6 cos∠EPC PE2+PC2-EC2_6+6-8=1 2PE.PC 12 3 2√2 所以平面PAD与平面PBC所成二面角的正弦值为3 8分 (3)假设F,A,B,D四点在半径为V7的同一个球面上，设球心为2，因为AB⊥AD,O为BD 的中点，且PO⊥平面ABCD,所以Q在直线PO上，如图过F作FH⊥EC,FN⊥OP,垂足分别为 H,N, E D 显然FH⊥平面ABCD,FH=ON,OH=NF10分 CF =k(k>0) 设FP FH=C=+FH=O以=PF1 oH= k+1.OC PC k+1. k+1 在△00D中，由勾殷定理，Q0=VOD-0D=V7-6=1」 12分 ①若球心在平面ABCD上方，则 ON-100-OM 7= 42 在△ONF中，由勾股定理，OF2=QN2+NF2,即 (k+12 化简得3X2+8k+2=0,因为k>0,所以无解 14分 N=00+ON=1+ 2k3k+1 ②若球心Q在平面ABCD下方，则 k+1k+1 =3k+12 2 在△ONF中，由勾股定理，OF2=QN2+NF2,即 k+1)(k+1 化简得k2-4k-2=0,因为k>0,所以k=2+V6 所以，在棱PC上存在一点F,使F,A,B,D四点在半径为V7的同一个球面上. CF 此时FP的值为2+V6 17分 19.(17分) 证明：(1)如图延长BO交△ABC的外接圆O于D,连接AD,CD. :CD⊥BC,AH⊥BC,故CD∥AH,同理可证ADI∥CH ∴.四边形ADCH为平行四边形.Ai=DC=OC-OD=OC-BO. OH-0A=0B+0C.OH =04+0B+0C 3分 (2)(i)由(1)知，OF=OA+OB+OC,所以OB+BF=OA+OB+OC,即Bi=OA+0C 设△BC外接铜半径为，厕B时=-(O1+0C-2R+20a.0C 因为B0=BH=R,∠A0C=2B,所以R2=2R2+2R'os2B5分 28=7,n2ws8-l=.o8 2,即 B=π 所以 2,因为22，所以837分 AE=AB=2 BE-3BA+2BC (i)延长BI交AC于E,由角平分线性质可得：CEBC3, 5 在△ABC中，由余弦定理：AC2=AB2+BC2-2AB·BC.cosB=7, C=V5.AE=27 9分 BI AB-5 在△BAE中，由角平分线性质可得：EAEV7 5+√万 由 ( y 知 0i=0A+0B+0C=30G BH=BO+OH =BO+30G=BO+3OB+BG)=20B+3BG BG-1BA+IBC 3 3 BH =20B+BA+BC. 丽oG-(丽-)o+8G)-(2o6+A+c-可)OB+8+aC 2oo丽+M+sc-2o+o丽-m+o6-8c-2o-aA-B 网-品-语oa+c片 13分 a+o丽+厨+c-,B+Bd+cco8 6 (-可fom++兮8ct5b8+a丽+号ac -15N行6a+2co5+8+ad) 15分 (Bi+2ac30丽+A+aC)=-9B-3BC+3+2BC+aac·0 (-刷o丽+号+ac-0万.c写名0-8 17分 2026年高一年级部分学生调研检测 数学试题 2026.06 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． A． B． C． D． 2．已知为所在平面内一点，且，则可表示为 A． B． C． D． 3．为响应教育部普及全学段人工智能通识教育的号召，某校开展了知识线上答题活动，根据成绩得到如图所示的频率分布直方图，则估计该校学生的平均成绩为 A．70 B．68 C．66 D．65 4．一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的周长为 A． B． C． D． 5．已知圆台的侧面积等于上下两个底面面积之和，且圆台的母线和下底面所成的角为，则圆台上下两个底面面积之比为 A． B． C． D． 6．已知平面向量，，，，与夹角为，且对任意恒成立，则的最小值 A． B． C．4 D． 7．我国传统古建筑经常采用榫卯交叉结构，如图所示的榫卯交叉结构是：两个完全相同的正四棱柱垂直贯穿拼接成一个装饰多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点．已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为4，则该榫卯交叉结构的体积为 A． B． C． D． 8．已知平面上的点，，，，，满足，且，则下列式子一定不成立的是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在平面直角坐标系中，向量，如图所示，则 A． B．在上的投影向量为 C．存在实数，使得 D．存在实数，使得 10．已知虚数满足．记，则 A．为纯虚数 B． C．若，则为纯虚数 D．记，，则的最小值为 11．如图，矩形中，，为边上的一点．现将沿着折起，使点到达点的位置，点在平面内的射影在线段上，则 A．存在，使得平面 B．存在，使得平面 C．的取值范围为 D．与平面所成角最大为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．若一组整数数据：，2，1，3，4，5，4；6，8，9的第75百分位数是，则可以是_______（写出其中一个即可）． 13．已知正四棱柱的底面边长为，高为1，，，，，为中点，则的最小值为_______． 14．在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积，则的取值范围为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，为完善山区森林防火预警网络，林业公益小队操控固定高度巡航无人机开展山林测绘，计划在两处制高点布设火情监测摄像头，无人机在处测得山顶，的俯角分别为，，沿水平方向行驶到达处，在处测得山顶，的俯角分别为，．，，，在同一铅锤平面内． （1）求，间的距离； （2）求，间的距离． 16．（15分） 在中，，，和相交于点，是的中点． （1）用，表示； （2）若，，，求． 17．（15分） 已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记总的样本平均数为，样本方差为． （1）证明：； （2）若第一层抽取的样本量，平均数，方差为；第二层抽取的样本量，平均数，方差为，若两层合并后的方差为，且，试判断与的大小关系，并证明你的结论． 18．（17分） 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，点为的中点，，平面，且． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点，使，，，四点在半径为的同一个球面上．若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，的垂心为，外心为． （1）证明：； （2）若． （ⅰ）求； （ⅱ）设的重心为，内心为，且，，求． 学科网（北京）股份有限公司 $