精品解析：吉林省通化市第十三中学2025-2026学年下学期 九年级数学期末试题

九年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 在数轴上，下列实数所表示的点在原点的左边的是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 生活中，我们常用的五号电池整体可以近似看作一个圆柱体叠上一个圆柱体．如图，这是五号电池的示意图，则该电池的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，小颖同学按图中的方式摆放两块完全相同的等腰直角三角板，画出依据是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 同旁内角互补，两直线平行 C. 两直线平行，内错角相等 D. 内错角相等，两直线平行 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若一个不等式的正整数解为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，点C是上一点，且，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于M，N两点，再分别以M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，连接交于点E，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 分解因式：___________． 8. 计算：_________． 9. 点关于原点对称的点的坐标为______． 10. 杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一个八边形，则这个八边形的外角和为_____． 11. 如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴，交轴于点，交反比例函数的图象于点．点是轴上任意一点，连接，．若的面积为，则的值是_______． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中 ． 13. 某教育体育局向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学同时分别读420页和300页的两本书，准备参加读书分享活动，甲同学每天读书的页数是乙同学每天读书页数的1.2倍，结果乙同学比甲同学提前1天完成．求乙同学每天读书多少页？ 14. 为庆祝神舟十五号载人飞船发射成功，某中学组织志愿者周末到社区进行航天航空知识宣讲活动，现有四名同学报名参加．若从这四人中随机选取两人作为志愿者，请用列表或画树状图的方法求恰好选中两名同学作为志愿者参加活动的概率． 15. 如图，在中，对角线与相交于点， ． （1）求 的度数； （2）若 ，则的长为__________． 16. 某型号起重机吊臂底端为点O，顶端为点B，货物M通过吊索与B连接．初始 平行于水平地面， ， 米， ．吊臂与吊索的长度保持不变，将吊臂绕点O逆时针旋转至，旋转后点B、M的对应点分别为点、（始终与地面垂直），当 时，求货物M上升的高度（参考数据： ）． 17. 图①、图②是由边长为1的小正方形组成的66网格，每个小正方形的顶点叫做格点，其中点、为格点，经过点、，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务． （1）如图①，过点作的垂线，交于点、； （2）如图②，点在上，过点作弦 ． 18. 体测中心对6周岁儿童的肺活量进行测试后，随机抽取部分儿童的肺活量数据（）作为样本进行统计，先从小到大分为A（），B（），C（），D（），E（）五个等级，再绘制出如下的统计图： 请根据以上信息，完成下列问题： （1）频数直方图中a的值为________，扇形统计图中m的值为________； （2）若儿童的肺活量数据都取所在等级的中间值，即在A等级取，在B等级取，在C等级取，在D等级取，在E等级取，则样本数据的众数为________，中位数为________； （3）根据以往经验，经过一段时间训练后，有的儿童的肺活量数据可以上升一个等级，请你估计经过训练后6周岁儿童肺活量的达标率（成绩在C，D，E等级及以上）． 19. 一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水．第分钟时，再打开出水管排水；第分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量（升）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）进水速度是_____升/分钟； （2）求段的函数表达式及的值； （3）在整个过程中，某两个时刻容器的水量都为升，且这两个时刻的差为分钟，直接写出的值． 20. 如图，在中，， ，，点D是的中点．点P从点B出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，连接 ，以、 为邻边作平行四边形 ，设四边形 与重叠部分的面积为S，点P的运动时间为． （1）的长为__________； （2）当点H落在边上时，求t的值； （3）求S关于t的函数关系式． 21. 综合与实践 （1）【提出问题】如图1，在菱形中，，P是对角线上一动点，连接，将绕点P顺时针旋转得到，连接，，则的度数为 ； （2）【类比探究】如图2，在正方形中，P是对角线上一动点，且，，将绕点P顺时针旋转得到，连接， ①求的度数； ②当时，求的长； （3）【迁移运用】如图3，在矩形中，，P是对角线上一动点，连接，以为边在右边作 ，且，当点Q到的距离为时，请直接写出的长． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点和点，与轴交于点．点，在该抛物线上，设点的横坐标为，点的横坐标为 ． （1）求的值及点的坐标； （2）当时，求的值； （3）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两条垂线交于点，以 ，为边构造矩形，若矩形的边（不含矩形的顶点）与抛物线有交点时，交点记为，当 与矩形的面积之比为 时，求出此时的值； （4）点是点关于抛物线对称轴的对称点，将抛物线上，两点之间的部分（含，两点）记为图象，点为轴上一动点，过点作轴的垂线，当直线与图象W只有一个公共点时，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 在数轴上，下列实数所表示的点在原点的左边的是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查数轴与实数的对应关系，根据数轴的性质，原点左边的点对应的数是负数，只需判断选项中的数的正负性即可得到答案． 【详解】解：数轴上原点左边的点对应的数是负数，原点对应，原点右边的点对应正数． 对各选项判断如下： A选项，是负数，对应点在原点左边； B选项，对应点在原点，不在原点左边； C选项，是正数，对应点在原点右边； D选项，是正数，对应点在原点右边． 2. 生活中，我们常用的五号电池整体可以近似看作一个圆柱体叠上一个圆柱体．如图，这是五号电池的示意图，则该电池的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A: 内部的小圆是虚线，不符合“能看到”的特征，错误； B: 由一个大圆和一个中心的实线小圆组成，完全符合俯视图的特征，正确； C: 只有一个大圆，没有体现顶部的凸起部分，错误； D: 这是电池的主视图（正视图），不是俯视图，错误． 3. 如图，小颖同学按图中的方式摆放两块完全相同的等腰直角三角板，画出依据是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 同旁内角互补，两直线平行 C. 两直线平行，内错角相等 D. 内错角相等，两直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形可知 与 互为内错角，由等腰直角三角板的性质可知这两个角相等，根据平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】如图： ∵ 两块三角板是完全相同的等腰直角三角板 ， ∴ ， 又  与   互为内错角， ∴（内错角相等，两直线平行）． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴A选项运算错误； ∵， ∴B选项运算正确； ∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得， ∴C选项运算错误； ∵与不是同类项，不能合并， ∴D选项运算错误． 5. 若一个不等式的正整数解为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的解集，， 向右画；， 向左画；在表示解集时“ ”，“ ”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示． 根据不等式的正整数解只有，，对四个选项中数轴所表示的不等式的解集内的正整数解分别进行判定即可解决问题． 【详解】解：A、不等式的解集为，正整数解为：，，，…，不符合题意； B、不等式的解集为，正整数解为：，，，…，不符合题意； C、不等式的解集为 ，正整数解为：，不符合题意； D、不等式的解集为 ，正整数解为：，，符合题意； 故选：D． 6. 如图，是的直径，点C是上一点，且，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于M，N两点，再分别以M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，连接交于点E，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图得：平分，可得，再由圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：由作图得：平分， ， ， ， ， ， ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 用提取公因式法分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 计算：_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，直接根据二次根式的乘法运算法则计算，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 9. 点关于原点对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，据此求解即可． 【详解】解：点关于原点对称时，横坐标取相反数为，纵坐标取相反数为，即对称点的坐标为， 故答案为：． 10. 杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一个八边形，则这个八边形的外角和为_____． 【答案】##360度 【解析】 【分析】本题考查多边形的外角和，根据n边形的外角和为即可求解． 【详解】解：八边形的外角和为． 故答案为： 11. 如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴，交轴于点，交反比例函数的图象于点．点是轴上任意一点，连接，．若的面积为，则的值是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】设， ，根据轴，得点的纵坐标为，，即可表示点C的坐标，再表示出，再根据的面积，可得方程，解方程即可． 【详解】解：∵是反比例函数的图象上一点，且在第二象限， ∴， 设， ， ∵轴， ∴点的纵坐标为，， 将代入得， 解得， ∴， ∴， ∵点是轴上任意一点，轴， ∴点到的距离为， ∴的面积， 解得，符合， 即的值是4． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中 ． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据平方差公式、单项式乘以多项式去括号，再合并同类项即可化简，最后代入 计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 当 时，原式． 13. 某教育体育局向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学同时分别读420页和300页的两本书，准备参加读书分享活动，甲同学每天读书的页数是乙同学每天读书页数的1.2倍，结果乙同学比甲同学提前1天完成．求乙同学每天读书多少页？ 【答案】乙同学每天读书页 【解析】 【分析】设乙同学每天读书x页，可表示出甲同学每天读书的页数，根据读书天数等于总页数除以每天读的页数，结合乙比甲提前1天完成得到天数差，列出分式方程，求解检验即可得到答案． 【详解】解：设乙同学每天读书x页，则甲同学每天读书为 页， 由题意知， ， 解得：， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴乙同学每天读书50页． 14. 为庆祝神舟十五号载人飞船发射成功，某中学组织志愿者周末到社区进行航天航空知识宣讲活动，现有四名同学报名参加．若从这四人中随机选取两人作为志愿者，请用列表或画树状图的方法求恰好选中两名同学作为志愿者参加活动的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查两步概率问题的解法，涉及列表法解两步概率问题、简单概率公式等知识，根据题意，列出表格，从表格得到总的结果数及满足题意的结果数，再由简单概率公式求解即可得到答案，熟练掌握列举法解两步概率问题是解决问题的关键． 【详解】解：列表如下： — — — — 由上表可知，共有12种等可能得结果，其中，恰好选中两名同学作为志愿者参加活动的结果有2种， （恰好选中两名同学作为志愿者参加活动）． 15. 如图，在中，对角线与相交于点， ． （1）求 的度数； （2）若 ，则的长为__________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 ，然后根据等边对等角和三角形内角和可求得，即可解答； （2）根据平行四边形的对角线相互平分可求得，进而求出，由（1）可知 ，勾股定理求出，进而求出的长. 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形 ， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，对角线与交于点O， ， ， ， 由（1）知， ∴， ∴. 16. 某型号起重机吊臂底端为点O，顶端为点B，货物M通过吊索与B连接．初始 平行于水平地面， ， 米， ．吊臂与吊索的长度保持不变，将吊臂绕点O逆时针旋转至，旋转后点B、M的对应点分别为点、（始终与地面垂直），当 时，求货物M上升的高度（参考数据： ）． 【答案】货物M上升的高度为2.1米 【解析】 【分析】先利用30度所对的直角边等于斜边的一半，求出 米，延长，交水平线于点N，解直角三角形求出 ，最后求出货物上升的高度即可． 【详解】解：如图，延长，交水平线于点N，则 ， ∵， ， 米， ∴ （米）， ∵旋转后 长度不变，即 米， 米， 在 中， ， ∴ （米）， ∴上升高度为： （米）， ∴货物M上升的高度为2.1米． 17. 图①、图②是由边长为1的小正方形组成的66网格，每个小正方形的顶点叫做格点，其中点、为格点，经过点、，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务． （1）如图①，过点作的垂线，交于点、； （2）如图②，点在上，过点作弦 ． 【答案】（1）解：即为所求作： （2）解：即为所求作： 【解析】 【分析】（1）取格点 ，连接 交于，过 作直线交于 即可； （2）取格点 ，连接 交于，过 作直线交于 ，连接交于，连接 并延长交于，连接，则即为所求． 【小问1详解】 解：理由：由格点图形可得：四边形 为正方形， ∴ ， ∴ ，即 ； 【小问2详解】 解：理由：同（1）得：是的垂直平分线， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 18. 体测中心对6周岁儿童的肺活量进行测试后，随机抽取部分儿童的肺活量数据（）作为样本进行统计，先从小到大分为A（），B（），C（），D（），E（）五个等级，再绘制出如下的统计图： 请根据以上信息，完成下列问题： （1）频数直方图中a的值为________，扇形统计图中m的值为________； （2）若儿童的肺活量数据都取所在等级的中间值，即在A等级取，在B等级取，在C等级取，在D等级取，在E等级取，则样本数据的众数为________，中位数为________； （3）根据以往经验，经过一段时间训练后，有的儿童的肺活量数据可以上升一个等级，请你估计经过训练后6周岁儿童肺活量的达标率（成绩在C，D，E等级及以上）． 【答案】（1）10， （2）1100，1000 （3） 【解析】 【分析】（1）B等级的人数除以所占的比例求出抽查的人数，用抽查人数减去其他等级的人数求出的值，用C等级的人数除以抽查的人数，求出的值； （2）根据众数和中位数的定义进行求解即可； （3）用提升等级后的等级的总人数除以抽查的人数进行计算即可. 【小问1详解】 解：（人）； ； ； 【小问2详解】 解：D等级的人数最多，故众数为； 将数据排序后，第20个和第21个数据均在C等级，即均为， 故中位数为； 【小问3详解】 解：. 答：估计经过训练后6周岁儿童肺活量的达标率为 . 19. 一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水．第分钟时，再打开出水管排水；第分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量（升）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）进水速度是_____升/分钟； （2）求段的函数表达式及的值； （3）在整个过程中，某两个时刻容器的水量都为升，且这两个时刻的差为分钟，直接写出的值． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（）分钟进水升，即可求解； （）据函数图象，结合题意分析分别求得进水速度和出水速度，即可求解； （）设段的函数表达式为，设这两个时刻分别为和，根据这两个时刻的差为分钟，列方程求解． 【小问1详解】 解：由题意可得：分钟进水升， ∴进水速度是（升分钟）； 【小问2详解】 解：进、出水管同时开了分钟，到分钟时水量从升降到升，净减少升 ∴出水速度为 (升/分钟)， ∴剩余的升水的出水时间为(分钟)， ∴， ∴， ∵端点为， 设：段函数表达式为， 得， 解得， ∴段函数表达式为； 【小问3详解】 解：设段的函数表达式为， 将点代入得， 解得 ，即 ， 设这两个时刻分别为和，且在段，在段， 则，得， ，得， ∵这两个时刻的差为分钟，即， ∴， 解得． 20. 如图，在中，， ，，点D是的中点．点P从点B出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，连接 ，以、 为邻边作平行四边形 ，设四边形 与重叠部分的面积为S，点P的运动时间为． （1）的长为__________； （2）当点H落在边上时，求t的值； （3）求S关于t的函数关系式． 【答案】（1）3 （2）2 （3）S关于t的函数关系式为： 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出直角边的长度，再利用中点的性质即可求得结果； （2）根据平行四边形的性质确定点H的位置，再利用相似三角形的判定与性质建立方程求解t的值； （3）分情况讨论：当 时，点H在内部，重叠部分为平行四边形 ；当 时，点H在外部，重叠部分为梯形 ，利用平行四边形的面积公式和相似三角形的判定与性质即可得出S与t的关系式． 【小问1详解】 解：在中， ，， ∴ ， ∵点D是的中点， ∴ ． 【小问2详解】 解：由题意知，当点H在边上时， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵点D是的中点， ∴， 设 ， ∴，解得：， ∴t的值为2． 【小问3详解】 解：由（2）知，当时，点H在上， ①当 时，点H在内部，重叠部分为平行四边形 ， ∴ ； ②当 时，点H在外部， 如图，设与交于点E，重叠部分为梯形 ， ∵ ， ∴ ， ∴，即， ∴ ， ∴， 综上所述，S关于t的函数关系式为：． 21. 综合与实践 （1）【提出问题】如图1，在菱形中，，P是对角线上一动点，连接，将绕点P顺时针旋转得到，连接，，则的度数为 ； （2）【类比探究】如图2，在正方形中，P是对角线上一动点，且，，将绕点P顺时针旋转得到，连接， ①求的度数； ②当时，求的长； （3）【迁移运用】如图3，在矩形中，，P是对角线上一动点，连接，以为边在右边作 ，且，当点Q到的距离为时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）①；② （3）的长为 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质 ，根据旋转的性质，证明是等边三角形，再证明，得到； （2）①过点A作于点E，由正方形的性质证明，从而求得结果； ②通过解求得的长，继而得到，由①的可求得结果； （3）先求得的度数，过点A作于点L，过Q作于点K，利用三角形相似的判定与性质，特殊角三角函数值，分类思想解答即可． 【小问1详解】 解：在菱形中，， ，， ， 由旋转可知，， ， ∴是等边三角形， ∴， 在 和 中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①过点A作于点E， 四边形是正方形，是对角线， ，即为等腰直角三角形， ， ， 由旋转可知是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ②在中，， ∴， 由①知，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：在 中，， ∴， ， ， 如图，过点A作于点L，过Q作于点K， ∴， 在中，， 当点Q在上方时， 同理可得， ∴， ∴， ∴； 如图，当在下方时， 同理可得， ∴， 综上，的长为． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点和点，与轴交于点．点，在该抛物线上，设点的横坐标为，点的横坐标为 ． （1）求的值及点的坐标； （2）当时，求的值； （3）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两条垂线交于点，以 ，为边构造矩形，若矩形的边（不含矩形的顶点）与抛物线有交点时，交点记为，当 与矩形的面积之比为 时，求出此时的值； （4）点是点关于抛物线对称轴的对称点，将抛物线上，两点之间的部分（含，两点）记为图象，点为轴上一动点，过点作轴的垂线，当直线与图象W只有一个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1），的坐标为 （2）， （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用两点之间的距离公式列式计算即可求解； （3）分两种情况讨论，①当边 与抛物线有交点时，②当边 与抛物线有交点时，分别画出图形，列式计算即可求解； （4）分四种情况讨论，画出图形，列出不等组，分别求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入， 得， 解得， ∴，令，即 ， ∴，， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：由题意得，点，点， ∴，即， ∴，； 【小问3详解】 解：∵， ∴对称轴为直线， ①当边 与抛物线有交点时，如图1， ∵ 与矩形的面积之比为 ， 即 与 的面积之比为， ∴点G为 的中点， 又∵轴， ∴点G和点N关于对称轴对称， ∴，， 又∵点G为 的中点， ∴，即， ∴； ②当边 与抛物线有交点时，如图2， ∵ 与矩形的面积之比为 ， 即 与的面积之比为， ∴点G为 的中点， 又∵轴， ∴点M和点G关于对称轴对称， ∴， ， 又∵点G为 的中点， ∴，即， ∴； 综上，或； 【小问4详解】 解：∵对称轴为直线，顶点坐标为， 令，则， ∴， ∵点是点关于抛物线对称轴的对称点， ∴， 分情况讨论， 当时，如图， 直线与图象只有一个公共点， ∴， 解不等式得或， 解不等式得， 又， ∴； 当 时，如图， 直线与图象只有一个公共点， ∴， 解不等式得， 解不等式得， 又 ， ∴； 当时，如图， 直线与图象只有一个公共点， ∴， 解不等式得， 解不等式得， 又， ∴； 当 时，如图， 直线与图象只有一个公共点， ∴， 解不等式得，不符合题意； 综上，的取值范围是或或，即或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $