精品解析：2024年吉林省长春市力旺实验初级中学中考考前模拟数学试题

数学试卷 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 计算的结果是（ ） A. 6 B. 9 C. 8 D. 32 2. 如果把202400这个数精确到千位，并且用科学记数法表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是由下列哪个立体图形展开得到的（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱 4. 3是下列哪个不等式的解（ ） A B. C. D. 5. 生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线反射之后，反射光线，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（　　）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） A. B. C. D. 7. 在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 只有① 8. 糖固体溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图：轴表示糖水质量，轴表示含糖浓度（含糖浓度：瓶中糖固体质量与糖水质量比值），其中描述甲、丁的两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含糖固体质量最多的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二．填空题（每题3分，共18分） 9. 计算：＝_______________． 10. 抛物线的图象与直线有且只有一个公共点时，______． 11. 走进中国科技馆，同学们会在数学区发现截面为“莱洛三角形” 的轮子．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，则弧AB，弧BC，弧AC组成的封闭图形就是“莱洛三角形”．若，则此“莱洛三角形”的周长为__________________． 12. 如图，在中，，，的面积为20，的垂直平分线分别交于E点，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为________． 13. 一些木工师傅利用平行四边形的不稳定性制作了一种放缩尺，可将图形进行缩放．如图，已知四边形为平行四边形，，，以点O为轴心，在A处和处安装制图笔，当A处制图笔所画图形的面积为3时，则处制图笔所画图形的面积是______． 14. 如图，抛物线，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；② 图形有最小值，且最小值为0；③ 当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论的序号是________． 三．解答题（共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 甲、乙、丙三人玩“石头、剪刀、布”猜拳游戏，游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”．两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负．三人游戏时，若三人的手势都相同或互不相同，则不分胜负：游戏规则．例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜． （1）甲、乙两人玩此游戏，则甲胜出的概率是______； （2）甲、乙、丙三人玩此游戏，甲决定出“石头”，请用画树状图或列表的方法分析甲胜出的概率．（其中石头、剪刀、布分别用序号A、B、C表示）． 17. 无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 18. 如图，在等边中，点D是的中点，点F是的中点，以为边作等边，连接点A、E． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，则线段______； 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1.线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中以为边画一个等腰三角形，使它的三边长均是无理数； （2）在图②中以为边画一个直角三角形，使它的直角边之比为； （3）在图③中以为边画一个钝角三角形，使它的钝角为． 20. 一本图鉴中的照片由1开始连续编号，由于装订线脱落，照片散落一地．小明想利用统计学知识估计照片总数，于是从中随机抽取10张照片，将其编号作为样本，数据整理如下： a．10张照片的编号： 4，15，34，45，68，88，90，102，110，144 b．10张照片编号的最小值、最大值、平均数和中位数； 最小值 最大值 平均数 中位数 4 144 70 m （1）表中m=_______； （2）设照片总数为n，所有照片编号分别为1，2，…，n，这n个数的平均数和中位数均为． ①利用样本平均数估计全体平均数，可估算出照片的总数为_______． ②利用样本中位数估计全体中位数，可估算出照片的总数为_______． 小明发现，有一个估算结果不合理，这个不合理的结果是_______（填“”或“”）； （3）小明想到还可使用样本数据的“平均间隔长度”进行估计．在下面的示意图中，用，，…，表示随机抽取的10张照片编号从小到大排序，则从0到的平均间隔长度为，从0到n的平均间隔长度为，请估算出照片的总数n（结果精确到整数）． 21. 输液管上有一个调节滴速的开关，护士能通过调整这个开关控制药液输入人体的时间．对于不同的药物，不同体质的人输液速度不相同．下表记录了内5个时间点的剩余药液量，其中t表示输液所用时间，y表示剩余药液量． 输液所用时间 0 10 20 30 40 剩余药液量 100 85 70 55 40 根据以上信息解决下列问题： （1）研究发现剩余药液量y与输液所用时间t存在函数关系，在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点连线画出函数图象； （2）结合表中数据求剩余药液量y关于输液所用时间t的函数解析式； （3）在这种输液速度下，请根据函数图象直接写出药液需要______分钟输完． 22. 【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为，点A在上，点B为线段中点，过点B作垂线l．点P是上一动点，点P关于直线l的对称点为，试探究点的轨迹． 【问题解决】经过讨论，小组同学猜想点在一个确定的圆上，下面是部分证明过程： 证明： 证明过程缺失 ∴点在以点______为圆心，______为半径的圆上． （1）请你补全证明中的缺失过程． 【结论应用】（2）如图②，的半径为，点A与点C在上且．点B为线段上的点，且，过点B作的垂线l．点P是上一动点，点P关于直线l的对称点为．当点P从点A运动到点C时，点的运动路径长为______． 【拓展提升】（3）如图③，若把上述问题的条件“”去掉，其它条件不变，为直径．点D到点距离d的取值范围是______． 23. 如图，在中，．动点P从点B出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点A运动．作点A关于点P的对称点D，连结与．设点P的运动时间为t秒（）． （1）当点P和点C重合时，线段的长为______； （2）当点P在边上运动时，若为等腰三角形，求t的值； （3）当点P在边上运动时，求周长的最小值，并求出此时t的值； （4）不添加任何辅助线，当图中存在三角形与相似时，直接写出t的值． 24. 在平面直角坐标系中，点M在抛物线上，以点M为中心构造边长为2的正方形，边轴，点A为正方形中横坐标与纵坐标最小的顶点．点P为抛物线上的点且在正方形的内部或边上，点Q在抛物线上且横坐标比点P的横坐标大1．设点M的横坐标为m． （1）当时，求点P纵坐标最小值与最大值； （2）若点Q横坐标最大值为3，求点P纵坐标的最小值； （3）若存在直线只经过两个象限，求m取值范围； （4）当时，若存在与，使得的面积大于的面积，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 计算的结果是（ ） A. 6 B. 9 C. 8 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据有理数的乘方运算法则计算即可． 【详解】解： 故选：B． 2. 如果把202400这个数精确到千位，并且用科学记数法表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 本题考查了科学记数法和近似数，熟悉科学记数法概念是解题的关键． 【详解】解：202400这个数精确到千位是202000 故选：B． 3. 如图，是由下列哪个立体图形展开得到的（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体展开图的识别，根据展开图可知该几何体侧面是三个长方形，上下底面是两个三角形，再根据常见几何体展开图的特点进行判断求解即可． 【详解】解：该几何体侧面是三个长方形，上下底面是两个三角形，则该几何体为三棱柱， 故选B． 4. 3是下列哪个不等式的解（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，将选项中的不等式解出，即可判断3为哪个不等式的解．熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 【详解】A、，解得：，故该选项不符合题意； B、，解得：，故该选项符合题意； C、，解得：，故该选项不符合题意； D、，解得：，故该选项不符合题意； 故选：A． 5. 生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线反射之后，反射光线，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，，然后相加即可得解． 【详解】解：过点P作，如图， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 6. 某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（　　）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．先求出∠AEH=53°，则∠EAH=37°，然后在△EAH中，利用正弦函数的定义得出EH=AE•sin∠EAH，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可． 【详解】解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H， 则∠EHG=∠HEF=90°， ∵∠AEF=143°， ∴∠AEH=∠AEF﹣∠HEF=53°， ∠EAH=37°， 在△EAH中，∠EHA=90°，∠EAH=37°，AE=1.2米， ∴EH=AE•sin∠EAH≈1.2×0.60=0.72（米）， ∵AB=1.2米， ∴AB+EH≈1.2+0.72=1.92≈1.9米． 故选A． 【点睛】考点：解直角三角形的应用． 7. 在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 只有① 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断平分；在图③中，利用作法得， 可证明，有，可得，进一步证明，得，继而可证明，得，得到是的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 【详解】在图①中，利用基本作图可判断平分； 在图③中，利用作法得， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； 在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 则①③可得出射线平分． 故选：B． 8. 糖固体溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图：轴表示糖水质量，轴表示含糖浓度（含糖浓度：瓶中糖固体质量与糖水质量的比值），其中描述甲、丁的两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含糖固体质量最多的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．结合实际含义理解图象上点的坐标的含义是解题的关键．由题意知，的值表示糖水中含糖固体质量，根据图象确定乙瓶的糖水中含糖固体质量最多，甲、丁两瓶糖水中含糖固体质量相同，丙瓶糖水中含糖固体质量最少，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，的值表示糖水中含糖固体质量， ∵描述甲、丁的两点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴甲、丁两瓶糖水中含糖固体的质量相同， ∵点乙在反比例函数图象上方，点丙在反比例函数图象下方， ∴乙瓶的的值最大，即糖水中含糖固体质量最多；丙瓶的的值最小，即糖水中含糖固体质量最少， 故选：B． 二．填空题（每题3分，共18分） 9. 计算：＝_______________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据负整数指数幂，零指数幂的性质解答 ． 【详解】解：原式=2+1=3， 故答案为3 ． 【点睛】本题考查整数指数幂的应用，熟练掌握负整数指数幂和零指数幂的性质是解题关键． 10. 抛物线的图象与直线有且只有一个公共点时，______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，由的图象与直线有且只有一个公共点，可得令，得方程，从而△，进而计算即可得解． 【详解】解：由题意，的图象与直线有且只有一个公共点， 令，得方程． ． ． 故答案为：4． 11. 走进中国科技馆，同学们会在数学区发现截面为“莱洛三角形” 的轮子．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，则弧AB，弧BC，弧AC组成的封闭图形就是“莱洛三角形”．若，则此“莱洛三角形”的周长为__________________． 【答案】3π 【解析】 【分析】弧AB所对的圆心角为60°，则弧AB为周长，再乘3即可. 【详解】在等边△ABC中，∠ACB=60°， ∴弧AB所对的圆心角为60°， ∴弧AB的长为==， 同理可得弧BC的长为，弧AC的长为， 即“莱洛三角形”的周长为3. 【点睛】此题主要考查扇形面积的求法. 12. 如图，在中，，，的面积为20，的垂直平分线分别交于E点，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，结合三角形三边关系，证明线段的最值，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵是等腰三角形，点D是边的中点，， ∴， ∴， ， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， 连接，则， ∴当点M在线段上时，的值最小， ∴的长10为的最小值． 故答案为：10． 13. 一些木工师傅利用平行四边形的不稳定性制作了一种放缩尺，可将图形进行缩放．如图，已知四边形为平行四边形，，，以点O为轴心，在A处和处安装制图笔，当A处制图笔所画图形的面积为3时，则处制图笔所画图形的面积是______． 【答案】27 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形，根据相似三角形的性质得出处制图笔所画图形的面积与A处制图笔所画图形的面积之间的关系即可解决问题． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴ ∴ 连接，由题意知点A在上，如图 ∵ ∴ ∵ ∴处制图笔所画图形的面积与A处制图笔所画图形的面积的比值为9 ∵A处制图笔所画图形的面积为3， 则处制图笔所画图形的面积是27 故答案为：27． 14. 如图，抛物线，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；② 图形有最小值，且最小值为0；③ 当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】画出图象，根据图象即可判断． 【详解】解：如图所示， ①图形关于y轴成轴对称，故正确； ②由图象可知，图形有最小值，且最小值为0；，故正确； ③当时，图形与x轴交点的左侧的函数值都是随着x的增大而减小，图形与x轴交点的右侧的函数值都是随着x的增大而增大，故错误； ④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键． 三．解答题（共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法转化成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，． 16. 甲、乙、丙三人玩“石头、剪刀、布”猜拳游戏，游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”．两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负．三人游戏时，若三人的手势都相同或互不相同，则不分胜负：游戏规则．例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜． （1）甲、乙两人玩此游戏，则甲胜出的概率是______； （2）甲、乙、丙三人玩此游戏，甲决定出“石头”，请用画树状图或列表的方法分析甲胜出的概率．（其中石头、剪刀、布分别用序号A、B、C表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率； （1）将石头、剪刀、布分别用序号A、B、C表示，列表得出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：将石头、剪刀、布分别用序号A、B、C表示，列表如下： A B C A (A,A) (A,B) (A,C) B (B,A) (B,B) (B,C) C (C,A) (C,B) (C,C) 由表格可知，共有9种等可能出现的结果，其中甲胜出的有3种结果 ∴甲胜出的概率是 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有9种等可能出现的结果，其中甲胜出的有3种结果 ∴甲胜出的概率是 17. 无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 【答案】使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，根据等量关系列出分式方程即可求解 【详解】解：设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是亩． 由题意，得． 解得． 经检验，是原方程解，且符合题意． 答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩． 18. 如图，在等边中，点D是的中点，点F是的中点，以为边作等边，连接点A、E． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，则线段______； 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，再求出，然后利用边角边证明，根据全等三角形对应边相等可得，再求出四边形是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可； （2）根据等边三角形的性质得到，得到，求得，得到，求得，根据等边三角形的性质得到结论． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ∵在等边中，点D是的中点，点F是的中点， ∴ ∵是等边三角形 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 ∵，是等边三角形 ∴ ∵点D是的中点， ∴ ∴ ∵点F是的中点， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴ 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1.线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中以为边画一个等腰三角形，使它的三边长均是无理数； （2）在图②中以为边画一个直角三角形，使它的直角边之比为； （3）在图③中以为边画一个钝角三角形，使它的钝角为． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，矩形的性质以及等腰三角形性质和直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等腰三角形的性质，可能是腰或底两种情况，考虑所做线段也是有小正方形组成的矩形的斜边，点C的位置不唯一，找到一个符合条件的点C，连结即可． （2）根据网格可知得长度为，根据直角边之比为及勾股定理可知，为一个小正方形的对角线，，为边长为2两个网格的正方形的对角线，即可得出交点即为所求， （3）以B为顶点的一个小正方形对角线得到，再加一个正方形的角，故点E在B为顶点的一个小正方形对角线即为所求。 【小问1详解】 如图所示：即为所求 【小问2详解】 如图所示：即为所求； 【小问3详解】 如图所示：即为所求； 20. 一本图鉴中的照片由1开始连续编号，由于装订线脱落，照片散落一地．小明想利用统计学知识估计照片总数，于是从中随机抽取10张照片，将其编号作为样本，数据整理如下： a．10张照片的编号： 4，15，34，45，68，88，90，102，110，144 b．10张照片编号的最小值、最大值、平均数和中位数； 最小值 最大值 平均数 中位数 4 144 70 m （1）表中m=_______； （2）设照片总数为n，所有照片编号分别为1，2，…，n，这n个数的平均数和中位数均为． ①利用样本平均数估计全体平均数，可估算出照片的总数为_______． ②利用样本中位数估计全体中位数，可估算出照片的总数为_______． 小明发现，有一个估算结果不合理，这个不合理的结果是_______（填“”或“”）； （3）小明想到还可使用样本数据的“平均间隔长度”进行估计．在下面的示意图中，用，，…，表示随机抽取的10张照片编号从小到大排序，则从0到的平均间隔长度为，从0到n的平均间隔长度为，请估算出照片的总数n（结果精确到整数）． 【答案】（1）78 （2）①；② ；不合理的结果是； （3）158 【解析】 【分析】（1）根据中位数计算方法即可求解； （2）10张照片编号的平均数为70，n个数的平均数为，由此列式求解即可；10张照片编号的中位数为78，个数的中位数为，由此列式求解即可；根据10张长照片编号的最大值为144即可求解； （3）根据题意可得10张照片的编号中，从O到n的平均间隔长度为，列方程求解即可． 【小问1详解】 10张照片的编号是第5，6张照片的编号的平均数， ∴ ∴m的值为78； 【小问2详解】 10张照片编号的平均数为70，n个数的平均数为 ∴，解得：； 10张照片编号的中位数为78，个数的中位数为 ∴，解得： ∵10张照片编号的最大值为144，且 ∴不合理的结果是； 【小问3详解】 从0到的平均间隔长度为，从0到n的平均间隔长度为， 根据题意，10张照片的编号中 ∴，解得： ∴估算出照片的总数 【点睛】本题主要考查平均数，中位数的实际运用，掌握平均数的计算方法，中位数的计算方法，根据平均数，中位数估算总体数量的方法是解题的关键． 21. 输液管上有一个调节滴速的开关，护士能通过调整这个开关控制药液输入人体的时间．对于不同的药物，不同体质的人输液速度不相同．下表记录了内5个时间点的剩余药液量，其中t表示输液所用时间，y表示剩余药液量． 输液所用时间 0 10 20 30 40 剩余药液量 100 85 70 55 40 根据以上信息解决下列问题： （1）研究发现剩余药液量y与输液所用时间t存在函数关系，在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点连线画出函数图象； （2）结合表中数据求剩余药液量y关于输液所用时间t的函数解析式； （3）在这种输液速度下，请根据函数图象直接写出药液需要______分钟输完． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能求出函数关系式． （1）描出表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点连线画出函数图象即可； （2）用待定系数法可得； （3）结合（2），令得解得的值即可． 【小问1详解】 描出表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点连线画出函数图象如下： 【小问2详解】 与之间为一次函数， 设，把，代入得： ， 解得， ； 【小问3详解】 在中，令得， 解得； 故答案为：． 22. 【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为，点A在上，点B为线段中点，过点B作垂线l．点P是上一动点，点P关于直线l的对称点为，试探究点的轨迹． 【问题解决】经过讨论，小组同学猜想点在一个确定的圆上，下面是部分证明过程： 证明： 证明过程缺失 ∴点在以点______为圆心，______为半径的圆上． （1）请你补全证明中的缺失过程． 【结论应用】（2）如图②，的半径为，点A与点C在上且．点B为线段上的点，且，过点B作的垂线l．点P是上一动点，点P关于直线l的对称点为．当点P从点A运动到点C时，点的运动路径长为______． 【拓展提升】（3）如图③，若把上述问题的条件“”去掉，其它条件不变，为直径．点D到点距离d的取值范围是______． 【答案】（1）A，2；（2） （3） 【解析】 【分析】本题考查圆的综合应用，熟练掌握对称的性质，能够确定点的运动轨迹是解题的关键； （1）利用对称性可知，再由圆的定义可得在以A为圆心，2为半径的圆上； （2）作O点关于直线l的对称点，则在以为圆心，2为半径的的圆上，再求点的运动路径即可； （3）作O点关于直线l的对称点M，在以M为圆心，2为半径的的圆上，当直线l经过直径时，有最小值2，当直线l经过点A时，有最大值． 【详解】（1）∵点B为线段中点， ∴ ∴O、A点关于直线l对称 ∵点P关于直线l的对称点为， ∴ ∴以A为圆心，2为半径圆上； （2）作O点关于直线l的对称点 ∵点P关于直线l的对称点为， ∴ ∵点P是上一动点， ∴在以为圆心，2为半径的的圆上， ∴点的运动路径长 （3）作O点关于直线l的对称点M ∵点P关于直线l对称点为， ∴在以M为圆心，2为半径的的圆上 当直线l经过直径时，有最小值2, 当直线l经过点A时，有最大值 ∴ 23. 如图，在中，．动点P从点B出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点A运动．作点A关于点P的对称点D，连结与．设点P的运动时间为t秒（）． （1）当点P和点C重合时，线段的长为______； （2）当点P在边上运动时，若为等腰三角形，求t的值； （3）当点P在边上运动时，求周长的最小值，并求出此时t的值； （4）不添加任何辅助线，当图中存在三角形与相似时，直接写出t的值． 【答案】（1）5 （2）t的值为或 （3） （4）当图中存在三角形与相似时， t的值为或3或 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理和线段的垂直平分线的性质解答即可； （2）利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答，当时，当时，当时，进而得到关于t的方程，解方程即可； （3）延长至，使，取的中点M，连接交于点P，此时周长的最小，利用三角形的中位线的性质得到周长的最小值； （4）利用分类讨论的方法和相似三角形的判定与性质解答即可． 【小问1详解】 ∵ ∴ 当点P和点C重合时 ∵，点A关于点P的对称点D， ∴ ∴垂直平分 ∴ 【小问2详解】 当时，如图， ∵ ∴ 由题意得： ∴， ∵ ∴，解得：； 当时，如图， 由题意得：，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，此方程无解； ∴不存在； 当时，如图， 由题意得：， ∴ ∵ ∴，解得： 综上，为等腰三角形时，t的值为或 【小问3详解】 延长至，使，取的中点M，连接交于点P，此时周长的最小 ∵垂直平分 ∴ ∵ ∴ ∵， ∴为的中位线 ∴ ∴周长的最小值 过点M作 ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴周长的最小值 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵动点P从点B出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点A运动， ∴ 【小问4详解】 当点P为的中点时， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴时满足存在三角形与相似； 当点P与点重合时 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴时满足存在三角形与相似； 当点P与点重合时 如果 ∴，即 由题意得：， ∴ ∴ ∵，解得：（不符合题意得舍去） 综上：当图中存在三角形与相似时， t的值为或3或 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论的思想方法，等腰三角形的性质，本题是动点问题，利用的代数式表示出相应线段的长度是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点M在抛物线上，以点M为中心构造边长为2的正方形，边轴，点A为正方形中横坐标与纵坐标最小的顶点．点P为抛物线上的点且在正方形的内部或边上，点Q在抛物线上且横坐标比点P的横坐标大1．设点M的横坐标为m． （1）当时，求点P纵坐标的最小值与最大值； （2）若点Q横坐标的最大值为3，求点P纵坐标的最小值； （3）若存在直线只经过两个象限，求m的取值范围； （4）当时，若存在与，使得的面积大于的面积，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）点P纵坐标的最小值为2，最大值为4 （2） （3）或或 （4） 【解析】 【分析】（1）根据题意，当时，即，结合以点M为中心构造边长为2的正方形，边轴，得到轴，，即，，故得到，，计算点P纵坐标的最小值为2，最大值为4． （2）设点P的横坐标为n，则点Q横坐标为，根据点Q横坐标的最大值为3，得，构造二次函数求点P纵坐标的最小值即可； （3）若存在直线只经过两个象限，则点P与点Q中必有一点在原点，当点P在原点时，点M的纵坐标，分别求出临界位置时的m的值，即得答案； （4）当时，符合题意；当点M在y轴右侧的x轴上方时，的面积小于的面积，不合题意；当点M在x轴下方时，只要找到临界点即可，分别求出的面积和的面积，令，列出方程，并求出临界位置中m的值，即可求得答案． 【小问1详解】 解：当时，， ， 以点M为中心构造边长为2的正方形，边轴， ∴轴， ， 即，， ，， ∴点P纵坐标的最小值为2，最大值为4； 【小问2详解】 解：设点P的横坐标为n，则点Q横坐标为， 点Q横坐标的最大值为3， ， 解得， ， 故当，点P纵坐标的最小值为； 【小问3详解】 若存在直线只经过两个象限，则可分三种情况讨论: ①当点P在原点时，， 此时点M的纵坐标， 令，则， 解得，（舍去）， 令，则， 解得， ， ②当点Q在原点时，， 则点P的横坐标为， 令，则， ， 此时点M的纵坐标， 令，则， 解得，（舍去）， 令，则， 解得，（舍去）， ； ③当平行于x轴时，同样符合题意， 此时，点Q与点重合，即， 由题意， 解得； 综上所述，m的取值范围是或或； 【小问4详解】 当点M在y轴左侧时，，显然存在与，使得的面积大于的面积，符合题意； 当点M在y轴右侧的x轴上方时，的面积小于的面积，不合题意； 当点M在x轴下方时，若存在与，使得的面积大于的面积，只要找到临界点即可， 由已知，，即， ， ， 设直线的解析式为，与相交于点H， ， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， ， 令， 则， 解得，（舍去）， 当时， 的面积大于的面积， 综上所述，当时，存在与，使得的面积大于的面积． 【点睛】本题考查了二次函数与面积问题，二次函数的图象与性质，二次函数与方程不等式，正方形的性质，找出满足题意得临界位置是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $