精品解析：辽宁省葫芦岛市绥中县第一初级中学2025-2026学年七年级下学期6月阶段检测数学试题

七年级下学期第二次数学月考卷 （考试时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下各数：，其中无理数的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】先明确无理数的定义：无限不循环小数是无理数，再对题目中的每个数逐一化简判断，统计无理数的个数即可． 【详解】解：根据无理数定义逐一判断： ∵含无理数 ，是无限不循环小数，是无理数； 是有限小数，是有理数；是整数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数；是无限循环小数，是有理数；是分数，是有理数；开方开不尽，是无限不循环小数，是无理数； ，是整数，是有理数；开方开不尽，因此是无理数， ∴无理数共有个． 2. 命题：①不相交的两条直线叫平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段叫作点到直线的距离；⑤同旁内角互补，两直线平行；⑥平方根是它本身的数是0．其中真命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线，点到直线的距离，平方根的相关概念，逐个辨析命题真假，统计真命题个数即可． 【详解】解：逐个判断命题：①平行线的定义要求在同一平面内，命题缺少条件，是假命题；②平行公理要求过直线外一点，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，命题错误，是假命题；③同一平面内垂直于同一直线的两直线才平行，命题缺少条件，是假命题；④点到直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段本身，命题错误，是假命题；⑤同旁内角互补，两直线平行是平行线的判定定理，是真命题；⑥的平方根是 ，只有的平方根是它本身，命题是真命题； ∴真命题共个． 3. 下列不等式变形错误的是（ ） A. 若 a＞b，则 1﹣a＜1﹣b B. 若 a＜b，则 ax2≤bx2 C. 若 ac＞bc，则 a＞b D. 若 m＞n，则＞ 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、∵a＞b， ∴﹣a＜-b，1﹣a＜1﹣b ∴选项A不符合题意； B、∵a＜b，x2≥0， ∴ax2≤bx2， ∴选项B不符合题意； C、∵ac＞bc，c是什么数不明确， ∴a＞b不正确， ∴选项C符合题意； D、∵m＞n， ∴＞， ∴选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质．解题的关键是掌握不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变． 4. 若点在第二象限，则点所在象限应该是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中，点的坐标特征与所在象限的关系，即可得到答案． 【详解】∵点在第二象限， ∴ a＜0，b＞0， ∴b+5＞0，1-a＞0， ∴点在第一象限， 故选A． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，点的坐标特征与所在象限的关系，掌握各个象限内点的横纵坐标的正负性，是解题的关键． 5. 若方程组的解为，则被“★”、“■”遮住的两个数分别是（ ） A. 3，9 B. 9，3 C. 9， D. 3， 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程组解的定义，方程组的解满足每个方程，先将已知的 代入第二个方程求出，即被 遮住的数，再计算 得到被 遮住的数，即可得到答案. 【详解】解：∵方程组的解满足方程 ，且 ∴将 代入 得 解得 ，即 ∵ ∴ 因此被遮住的两个数分别是和. 6. 已知 ，，那么的值约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了求算术平方根，根据被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，即可确定出结果． 【详解】解：∵， ∴的值约为， 故选：B． 7. 青海是我国重要的马铃薯产区．某合作社有甲、乙两个马铃薯种植基地，去年共收获马铃薯50吨．今年采用新技术，甲基地增产20%，乙基地增产15%，两基地总产量达到58.5吨．求甲、乙两个基地去年的产量．设甲基地去年产量为x吨，乙基地为y吨，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准题目中的等量关系是解题关键，根据去年总产量和今年增产后的总产量分别列方程即可得到方程组． 【详解】解：∵甲基地去年产量为吨，乙基地为吨，去年两基地总产量为吨， ∴， ∵今年甲基地增产，今年甲产量为，乙基地增产，今年乙产量为，今年两基地总产量为吨， ∴， 因此可得方程组 ． 8. 如图，把一张长方形纸片沿 折叠，若 ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据长方形对边平行的性质，利用平行线的性质求出内错角相等，再结合折叠前后对应角相等的性质，建立关于的等式求解即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，， ∴ ， ， 由折叠的性质可得， ， ∴ ． 9. 如图，小明家相对于学校的位置，下列描述正确的是（ ） A. 在距离学校300米处 B. 在学校的北偏东32°方向 C. 在北偏东32°方向300米处 D. 在学校北偏东58°方向300米处 【答案】D 【解析】 【分析】根据方向角的定义即可解答． 【详解】解：90°−32°＝58°， 则小明家在学校北偏东58°方向300米处， 故选：D． 【点睛】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 10. 如图，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，若在轴上方时，每运动一次需要1秒，在轴下方时，每运动一次需要2秒，按这样的运动规律，动点P第2026秒时运动到点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察图形可知，每6秒运动为一个循环组，并且每一个循环组向右运动4个单位，用2026除以6，然后根据商和余数的情况确定运动后点的坐标即可． 【详解】解：观察图形可知，点的运动规律是每6秒运动为一个循环组，并且每运动四次向右平移四个单位， ∵ ， ∴ ， ∴动点第2022秒时运动到向右平移1348个单位，则 ， 此时点的坐标为， 接下来点在轴的上方运动， ∴再过两秒后点坐标为， 接下来点在轴的下方运动， ∴再过两秒后点坐标为， 故动点第2026秒时运动到点． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是的整数部分，，则的平方根是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴， ∴9的平方根是； 故答案为． 12. 若关于 的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键是把当作已知数表示出 的值，再得到关于的不等式． 首先由中 得出，再根据，即可求出的范围． 【详解】解：， 得：， ∴， ∵， ∴ ， 解得： ， 故答案为： ． 13. 已知点 在x轴上，点是轴上一动点，且 ，若三角形的面积为20，则点的坐标为_____． 【答案】或 【解析】 【详解】解：设， ∵ ，三角形的面积为20， ∴ ， ∴ ， ∴ 或， ∴点的坐标为或． 14. 某次数学竞赛共有20道选择题，规定答对一题得5分，答错或不答一题倒扣2分．某位学生成绩要不低于60分，则至少要答对_____道题． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设答对x道题，根据得分规则列出不等式，求解后取最小整数解即可． 【详解】解：设答对x道题，则答错或不答道题， 由题意得：． 解不等式：， ， ， ． 因为x为整数，所以． 答：至少答对15道题． 故答案为：15． 15. 若关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的值之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】先解关于y的一元一次方程得到y关于a的表达式，根据y为非负整数得到a的取值范围，再解关于x的不等式组，根据已知解集确定a的限制条件，最后找出所有符合条件的整数a计算求和即可． 【详解】解： 解得 ∵关于y的方程有非负整数解， ∴ ∴，且a为整数； 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵关于x的不等式组的解集为， ∴ ∴ ∴， ∴所有符合条件的整数a的值有，，，， ∴ ∴所有符合条件的整数a的值之和为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算、解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， ，得 ， ，得 ， ， 将代入②，得 ， ∴原方程组的解为． 17. 解不等式组：，利用数轴确定不等式组的解集． 【答案】， 【解析】 【详解】解：解不等式①，得  ， 解不等式②，得 ，  把两个不等式的解集在数轴上表示如图， ∴不等式组的解集为． 18. 如图，点 在直线 上，，与互余，是上一点，连接． （1）求证：． （2）若平分 ，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用同角的余角相等得到，即可求证； （2）先求出，再求出，相减即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵平分 ，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，涉及到了角平分线的定义与垂直的定义，解题关键是牢记平行线的判定方法以及相关概念． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，． （1）把三角形先向右平移6个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形，请你在坐标系中画出三角形，并直接写出点的坐标； （2）求三角形的面积． 【答案】（1）图见解析； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查图形与坐标—平移，熟练掌握点的坐标平移是解题的关键． （1）先根据平移方式得出对应点的坐标，然后再进行作图即可； （2）利用割补法求解可得其面积． 【小问1详解】 解：如图，三角形即为所求； 点的坐标为； 【小问2详解】 解：． 20. 随着人工智能与互联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某企业使用、B两种型号的机器人搬运货物．相关信息如下：若买3台型机器人、4台B型机器人，共需480万元；若买4台型机器人、3台B型机器人，共需500万元．型机器人每天可以搬运货物75吨； 型机器人每天可以搬运货物50吨． （1）求、 两种型号机器人的单价； （2）该企业计划用不超过1000万元购买、 两种型号机器人共15台，且每天搬运货物不低于825吨，请通过计算，说明该企业有哪几种采购方案，并选出最省钱的采购方案． 【答案】（1）型机器人单价为80万元，型机器人单价为60万元． （2）共有3种采购方案，分别为：方案1，购买型机器人3台，型机器人12台；方案2，购买型机器人4台，型机器人11台；方案3，购买型机器人5台，型机器人10台． 最省钱的采购方案为购买型机器人3台，型机器人12台． 【解析】 【分析】（1）设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元．根据台数和总费用列方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购进A型台，B型 台，根据需要费用不超过1000万元，每天搬运货物不低于825吨列出不等式，解不等式组即可得到答案． 【小问1详解】 解：设A型号智能机器人每台为x万元，B型号智能机器人每台为y万元． 由题意得，， 解得； 型号智能机器人每台分别为80万元，B型号智能机器人每台为60万元． 【小问2详解】 设A型号智能机器人购买m台，则B型号智能机器人购买 台． 由题意得，， 解得：． 为正整数， 可以为3，4，5，共有3种采购方案． 方案一：购买A型机器人3台，购买B型机器人12台，费用为 （万元）； 方案二：购买A型机器人4台，购买B型机器人11台，费用为 （万元）； 方案三：购买A型机器人5台，购买B型机器人10台，费用为 （万元）， ∵ ， ∴最省钱的是购买A型机器人3台，购买B型机器人12台，费用为960万元． 21. 已知：在平面直角坐标系中，四边形是长方形， ，，， ， ，D点与原点重合，坐标为，动点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动，动点Q从点C出发以每秒5个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒． （1）直接写出点B的坐标． （2）当______时， ． （3）在Q的运行过程中，若 的面积不大于10，求t的取值范围． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）根据四边形是长方形，且点D与原点重合，点A在y轴上，点C在x轴上，可得 ， ，可直接写出点B的坐标； （2）根据题意可知，，，可得出 ，列出方程求出t的值即可； （3）分情况讨论：点Q在线段上时，点Q在线段的延长线上时，根据不同的情况得出线段的表达式，再利用三角形面积公式即可求得t的取值范围． 【小问1详解】 解：∵四边形是长方形， ∴ ， ， ∴． 【小问2详解】 解：由运动可知，，， ∴， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，解得：， 当时， ． 【小问3详解】 解：当点Q在线段上时，如图： ∴， ∵ ， ∴ ， 解得：； 当点Q在线段的延长线上时，如图： ∴， ∵ ， ∴ ， 解得：， 综上所述，t的取值范围是． 22. 定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解为，因为，所以称方程为不等式组的“相伴方程”． （1）下列方程是不等式组的“相伴方程”的是________；（填序号） ①；② ；③． （2）若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； （3）若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，求m的取值范围． 【答案】（1）①② （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键． （1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可； （2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，再去求不等式组的解集即可； （3）分别求出方程的解，分为两种情况：①当 时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当 时，求出不等式组的解集，再判断即可． 【小问1详解】 解不等式组，得， 解方程得：； 解方程 得：； 解方程得：， ∵，，， ∴①②是不等式组的“相伴方程”， 故答案为：①②； 【小问2详解】 解不等式组得：， 解方程得：， ∵关于x的方程是不等式组的“相伴方程”， ∴， 解得：， 即k的取值范围是； 【小问3详解】 解方程得 ， 解方程得， ∵方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，， 所以分为两种情况：①当 时，则， ∴不等式组为， 此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去； ②当 时，不等式组的解集是， 所以根据题意得：， 解得：， 所以m的取值范围是． 23. 综合与实践 【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图1，已知点是外一点，连接 ，．求的度数． 解：过点作， ________， ， 又． ________． 【问题解决】 （1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将， ，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图2所示，已知，、交于点，，求的度数． 【拓展探究】 （3）如图3所示，已知，、分别平分和，且、所在直线交于点，过作，若，求 的度数． 【答案】（1） ， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据证明过程填写即可； （2）过点作，可得，则可得，，即可求解； （3）过点作，可得，由平分，平分，可得，，设，，可得，由，可得，，由即可求解． 【小问1详解】 解：过点作， ， ， 又， ． 【小问2详解】 解：过点作，如图， ， ∴， ，， ． 【小问3详解】 解：过点作，如图， ， ， 平分，平分， ，， 设，， ，， ，， ， ， ， ，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级下学期第二次数学月考卷 （考试时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下各数：，其中无理数的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 命题：①不相交的两条直线叫平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段叫作点到直线的距离；⑤同旁内角互补，两直线平行；⑥平方根是它本身的数是0．其中真命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列不等式变形错误的是（ ） A. 若 a＞b，则 1﹣a＜1﹣b B. 若 a＜b，则 ax2≤bx2 C. 若 ac＞bc，则 a＞b D. 若 m＞n，则＞ 4. 若点在第二象限，则点所在象限应该是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 若方程组的解为，则被“★”、“■”遮住的两个数分别是（ ） A. 3，9 B. 9，3 C. 9， D. 3， 6. 已知 ，，那么的值约为（ ） A. B. C. D. 7. 青海是我国重要的马铃薯产区．某合作社有甲、乙两个马铃薯种植基地，去年共收获马铃薯50吨．今年采用新技术，甲基地增产20%，乙基地增产15%，两基地总产量达到58.5吨．求甲、乙两个基地去年的产量．设甲基地去年产量为x吨，乙基地为y吨，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把一张长方形纸片沿折叠，若 ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小明家相对于学校的位置，下列描述正确的是（ ） A. 在距离学校300米处 B. 在学校的北偏东32°方向 C. 在北偏东32°方向300米处 D. 在学校北偏东58°方向300米处 10. 如图，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，若在轴上方时，每运动一次需要1秒，在轴下方时，每运动一次需要2秒，按这样的运动规律，动点P第2026秒时运动到点（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是的整数部分，，则的平方根是_________． 12. 若关于 的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是______. 13. 已知点 在x轴上，点是轴上一动点，且 ，若三角形的面积为20，则点的坐标为_____． 14. 某次数学竞赛共有20道选择题，规定答对一题得5分，答错或不答一题倒扣2分．某位学生成绩要不低于60分，则至少要答对_____道题． 15. 若关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为 ，则所有符合条件的整数a的值之和为________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算、解方程组： （1）； （2）． 17. 解不等式组：，利用数轴确定不等式组的解集． 18. 如图，点在直线上，，与互余，是上一点，连接． （1）求证：． （2）若平分 ，，求的度数． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，． （1）把三角形先向右平移6个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形，请你在坐标系中画出三角形，并直接写出点的坐标； （2）求三角形的面积． 20. 随着人工智能与互联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某企业使用、B两种型号的机器人搬运货物．相关信息如下：若买3台型机器人、4台B型机器人，共需480万元；若买4台型机器人、3台B型机器人，共需500万元．型机器人每天可以搬运货物75吨； 型机器人每天可以搬运货物50吨． （1）求、 两种型号机器人的单价； （2）该企业计划用不超过1000万元购买、 两种型号机器人共15台，且每天搬运货物不低于825吨，请通过计算，说明该企业有哪几种采购方案，并选出最省钱的采购方案． 21. 已知：在平面直角坐标系中，四边形是长方形， ，，， ， ，D点与原点重合，坐标为，动点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动，动点Q从点C出发以每秒5个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒． （1）直接写出点B的坐标． （2）当______时， ． （3）在Q的运行过程中，若 的面积不大于10，求t的取值范围． 22. 定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解为，因为，所以称方程为不等式组的“相伴方程”． （1）下列方程是不等式组的“相伴方程”的是________；（填序号） ①；② ；③． （2）若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； （3）若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，求m的取值范围． 23. 综合与实践 【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图1，已知点是外一点，连接，．求的度数． 解：过点作， ________， ， 又． ________． 【问题解决】 （1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将， ，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图2所示，已知，、交于点，，求的度数． 【拓展探究】 （3）如图3所示，已知，、分别平分和，且、所在直线交于点，过作，若，求 的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $