2025--2026学年 湘教版七年级数学下学期期末模拟卷（二）（湖南地区专用）

**基本信息** 以高邮鸭蛋、研学租车等现实情境为载体，通过折叠实验、程序运算等创新设计，考查实数、几何变换等知识，融合抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、轴对称、调查方式|汉字对称题考查几何直观，程序运算题体现抽象能力| |填空题|6/18|统计、规律探究|扇形圆心角计算培养数据意识，规律归纳题发展推理意识| |解答题|8/72|方程应用、图形面积、新运算|研学租车问题构建模型意识，图形面积探究深化几何直观|

2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．高邮鸭蛋是闻名全国的特产．某鸭蛋加工厂的冷库温度设定为，实数的倒数为（   ） A． B．3 C． D． 2．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（     ） A．调查全班同学每周体育锻炼的时间 B．调查某热门景点的日均人流量 C．调查某市中学生的视力情况 D．调查某品牌新能源汽车的最大续航里程 5．如图，在折纸活动中，将一组对边互相平行的纸带进行了两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，，，则（     ） A． B． C． D． 7．在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 8．如图，有正方形，现将放在的内部得图1（图中阴影部分是正方形），将并列放置后构造新的正方形得图2．若图1，图2中阴影部分的面积分别为，关于甲、乙的说法．甲，正方形和的面积和是；乙：正方形的面积差为．判断正确的是（     ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲和乙都对 D．甲和乙都错 9．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，线段，P为上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，同时将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接，．若，则的面积为（   ） A．8 B．8.5 C．10 D．10.5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．计算： _____． 12．若，其中n为正整数，则_______． 13．商店某天卖出橙汁20瓶、可乐20瓶和矿泉水10瓶．若画出它们这天销量的扇形统计图，则表示“矿泉水”部分的扇形的圆心角度数为______________°． 14．如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是_________． 15．已知关于x的不等式组有以下说法： ①如果，那么不等式组的解集是， ②如果不等式组的解集是，那么， ③如果不等式组的整数解只有，，0，1，那么， ④如果不等式组无解，那么，其中所有正确说法的序号是________． 16．观察下列等式： …… （1）由此归纳出一般性规律：_____； （2）计算：_____（结果保留幂的形式即可） 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）先化简，再求值：，其中． 18．（6分）求下列各式的值： (1)； (2)． 19．（8分）据国家统计局网站公布的《中国统计年鉴2021》显示，对全国居民户按2020年人均可支配收入进行五等份分组后，每组居民人均可支配收入如下表所示： 2020年每组居民人均可支配收入 单位：元 人均可支配收入 低收入组家庭 7868.8 中间偏下收入组家庭 16442.7 中间收入组家庭 26248.9 中间偏上收入组家庭 41171.7 高收入组家庭 80293.8 回答以下问题： (1)这一分组法一共将全国居民户分成几组？具体是怎么分的？ (2)表中人均可支配收入一列中“80293.8”是什么含义？ 20．（8分）如图1，这是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后拼成一个如图2所示的正方形． (1)图2中阴影部分的面积为 或 ； (2)观察图2，请直接写出下列三个代数式，，之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值． 21．（10分）为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 22．（10分）阅读与思考 【阅读理解】 材料一：对于实数m，n，定义新运算：当时，；当时，．例如：，． 材料二：计算：． 设，则． 由得 ． 所以 【问题解决】 (1)计算：； (2)已知，求； (3)对于正数t，有，求的值． 23．（12分）【教材重现】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算为__________； 【拓展应用】 (2)根据图②所得的公式，若，，则__________； (3)若x满足，求的值； 【学以致用】 (4)两块完全一样的直角三角板（）如图③放置，其中A，O，D在一条直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 24．（12分）对于实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b均为非零常数）．例如：，．已知，． (1)直接写出：______，______； (2)若关于x，y的方程组的解满足，且关于p的不等式组的解集为，求关于s的不等式的解集； (3)若关于x的不等式组有4个整数解，且，求m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．高邮鸭蛋是闻名全国的特产．某鸭蛋加工厂的冷库温度设定为，实数的倒数为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：实数的倒数为． 2．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂乘法法则、完全平方公式、幂的乘方运算法则判断各选项即可得出结论． 【详解】解：A、，故选项A计算错误，不符合题意； B、，故选项B计算错误，不符合题意； C、，故选项C计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意． 4．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（     ） A．调查全班同学每周体育锻炼的时间 B．调查某热门景点的日均人流量 C．调查某市中学生的视力情况 D．调查某品牌新能源汽车的最大续航里程 【答案】A 【详解】解：A、调查全班同学每周体育锻炼的时间，调查范围小，人数少，易操作，适合普查； B、调查热门景点日均人流量，范围大，工作量大，适合抽样调查； C、调查某市中学生视力情况，调查范围广，人数多，适合抽样调查； D、调查某品牌新能源汽车的最大续航里程，测试具有破坏性，适合抽样调查． 综上，最适合采用全面调查（普查）的是A选项． 5．如图，在折纸活动中，将一组对边互相平行的纸带进行了两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，延长到点F，由平行线的性质求出，然后结合折叠的性质求解． 【详解】解：如图，延长到点F， ∵，， ∴， 由折叠得， ∵， ∴． 6．如图，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的性质求解即可． 【详解】，， ． 7．在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是729时，取算术平方根得， 27是有理数，再取立方根得， 3是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 8．如图，有正方形，现将放在的内部得图1（图中阴影部分是正方形），将并列放置后构造新的正方形得图2．若图1，图2中阴影部分的面积分别为，关于甲、乙的说法．甲，正方形和的面积和是；乙：正方形的面积差为．判断正确的是（     ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲和乙都对 D．甲和乙都错 【答案】C 【分析】根据图形列出算式，设正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意可得，，，然后进行化简计算即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∵图1中阴影部分是边长为的正方形， ∴面积为， 图2中阴影部分的面积为， 即， ∵， ∴， 即， ∴正方形、正方形的面积和为， 因此甲的说法正确； ∵，而， ∴， ∵，而， ∴， ∴正方形、正方形的面积差为， 因此乙的说法正确； 故选：C． 9．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，用x表示z得到，则，所以，再利用，得到，解不等式得到，所以，然后解不等式得到t的最大值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 解得：， ∴的最大值为1． 10．如图，线段，P为上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，同时将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接，．若，则的面积为（   ） A．8 B．8.5 C．10 D．10.5 【答案】D 【分析】设，，由题意可得，，由旋转的性质可得，，，，则，连接，则，利用完全平方公式求出，即可得出结果． 【详解】解：设，， 由题意可得：，， 由旋转的性质可得：，，，， ∴， 如图，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．计算： _____． 【答案】 【详解】解：原式． 12．若，其中n为正整数，则_______． 【答案】6 【分析】找到与相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，再结合已知不等式求出正整数的值． 【详解】解：， ， 即， 又，且为正整数， ． 13．商店某天卖出橙汁20瓶、可乐20瓶和矿泉水10瓶．若画出它们这天销量的扇形统计图，则表示“矿泉水”部分的扇形的圆心角度数为______________°． 【答案】 72 【分析】先计算总销量，再求出矿泉水销量占总销量的比例，再用该比例乘以即可得到对应扇形的圆心角度数 【详解】解：总销量为 ， 矿泉水销量占总销量的比例为 ， 则表示矿泉水部分的扇形圆心角度数为 14．如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是_________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴点到直线的距离是． 15．已知关于x的不等式组有以下说法： ①如果，那么不等式组的解集是， ②如果不等式组的解集是，那么， ③如果不等式组的整数解只有，，0，1，那么， ④如果不等式组无解，那么，其中所有正确说法的序号是________． 【答案】①②/②① 【分析】先求出不等式组中各不等式的解集，再根据一元一次不等式组解集的判定方法，逐一分析每个说法即可． 【详解】解：解不等式组得， ①如果，不等式组的解集是，故本说法正确； ②如果不等式组的解集是，可得，故本说法正确； ③如果不等式组的整数解只有，，，，可得，故本说法错误； ④如果不等式组无解，可得，故本说法错误； ∴所有正确说法的序号是①②． 16．观察下列等式： …… （1）由此归纳出一般性规律：_____； （2）计算：_____（结果保留幂的形式即可） 【答案】 【分析】（1）观察已知等式，总结等式变化规律即可得到一般性结论； （2）利用（1）中归纳的规律，代入，，变形计算即可得到结果． 【详解】（1）解：观察给出的等式可知，等式右侧的指数比左侧第二个因式中的最高指数大，常数项为， 因此归纳得：； （2）解：将，代入（1）中所得规律得： ， 即 ， 等式两边同除以得：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【详解】解：原式， 把代入得，原式． 18．（6分）求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 19．（8分）据国家统计局网站公布的《中国统计年鉴2021》显示，对全国居民户按2020年人均可支配收入进行五等份分组后，每组居民人均可支配收入如下表所示： 2020年每组居民人均可支配收入 单位：元 人均可支配收入 低收入组家庭 7868.8 中间偏下收入组家庭 16442.7 中间收入组家庭 26248.9 中间偏上收入组家庭 41171.7 高收入组家庭 80293.8 回答以下问题： (1)这一分组法一共将全国居民户分成几组？具体是怎么分的？ (2)表中人均可支配收入一列中“80293.8”是什么含义？ 【答案】(1)一共分成5组，将全国居民户按2020年人均可支配收入排序后，按每组占总户数分为5组，依次为低收入组、中间偏下收入组、中间收入组、中间偏上收入组、高收入组 (2)表示2020年占全国居民总户数的高收入组家庭，人均可支配收入为80293.8元 【详解】（1）答：一共分成5组，将全国居民户按2020年人均可支配收入排序后，按每组占总户数分为5组，依次为低收入组、中间偏下收入组、中间收入组、中间偏上收入组、高收入组． （2）答：表示2020年占全国居民总户数的高收入组家庭，人均可支配收入为80293.8元． 20．（8分）如图1，这是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后拼成一个如图2所示的正方形． (1)图2中阴影部分的面积为 或 ； (2)观察图2，请直接写出下列三个代数式，，之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）分别用正方形面积公式和大正方形面积减四个长方形面积表示即可； （2）根据（1）所得代数式求解即可； （3）根据（2）所得等式求解即可． 【详解】（1）解：图2中阴影部分的面积用正方形面积公式表示为， 图2中阴影部分的面积用大正方形面积减四个长方形面积表示为； （2）解：由（1）可知，； （3）解：由（2）所得等式可知，， ，， ． 21．（10分）为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【答案】(1)每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； (2)一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【分析】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，根据辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的两种客车的共载客量不少于人且租用型车数量不超过型车数量的倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合，均为不小于的正整数，可得出，进而可得出共有种租车方案，由即型车每辆租金小于型车每辆租金，可得出当租用型车越多时，总租金越小，结合的取值范围，即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可． 【详解】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为不小于的正整数， ， 种， 一共有种租车方案． ， 即型车每辆租金小于型车每辆租金， 当租用型车越多时，总租金越小， 当时，辆，总租金为元． 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 22．（10分）阅读与思考 【阅读理解】 材料一：对于实数m，n，定义新运算：当时，；当时，．例如：，． 材料二：计算：． 设，则． 由得 ． 所以 【问题解决】 (1)计算：； (2)已知，求； (3)对于正数t，有，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义规则判断两个数的大小关系，再代入对应法则计算； （2）利用推出，再代入对应法则化简计算； （3）先根据已知条件求出正数，再根据的大小分情况，结合材料二的求和法则计算即可. 【详解】（1）解：根据新定义， ， ， ， ， ． （2）解： ，即，． ． （3）解：t是正数， ， ． ，即， ． 23．（12分）【教材重现】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算为__________； 【拓展应用】 (2)根据图②所得的公式，若，，则__________； (3)若x满足，求的值； 【学以致用】 (4)两块完全一样的直角三角板（）如图③放置，其中A，O，D在一条直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 【答案】(1) (2)90 (3)17 (4)30 【分析】（1）需通过观察图②，用整体与部分的面积关系推导等式，即大正方形面积减去空白部分面积得到阴影部分面积，或者用各部分阴影小图形面积相加来表示． （2）根据类比探究得出的公式，将与的值代入计算； （3）把和看作整体，利用类比探究的公式，结合已知条件计算； （4）设出直角三角板的两条直角边，根据线段和与面积和的条件，结合完全平方公式变形求解单块三角板面积 ． 【详解】（1）解：大正方形边长，面积，空白是两个长宽的长方形，两个小正方形的面积分别为， ∴阴影面积 ． （2）由，，， ∴ ． （3）设，，则， ． ， ∴ ． （4）解：设，，则 ． ，即 ． ∵， ∴，，， ． ∴一块直角三角板面积 ． 24．（12分）对于实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b均为非零常数）．例如：，．已知，． (1)直接写出：______，______； (2)若关于x，y的方程组的解满足，且关于p的不等式组的解集为，求关于s的不等式的解集； (3)若关于x的不等式组有4个整数解，且，求m的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先根据已知条件列二元一次方程组求出a、b的值，得到新运算的表达式； （2）问先化简方程组得到t的范围，再根据不等式组的解集确定t的范围，最后化简所求不等式得到解集； （3）化简不等式组得到解集，结合整数解个数和已知条件求出m的范围． 【详解】（1）解：∵，，． ∴ ，解得 ， （2）解：由（1）可得：，，则， ∵关于x，y的方程组， ∴， 可得：，即， ∵ ∴，解得：， ∵关于p的不等式组， ∴，解得：， ∵关于p的不等式组的解集为， ∴，即， ∴， ∵关于s的不等式， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴，即． （3）解：∵， ∴，即， 关于x的不等式组可化为：， 解不等式①可得：； 解不等式②可得：，即 ∵关于x的不等式组有4个整数解， ∴， ∵有四个整数解， ∴设最小的整数解为k，最大的整数解为，则 ，整理得：， ∵方程组有解， ∴，解得：， 当时，由不等式①可得：；由不等②可得：，此时不等式组的解集为； 当时，由不等式①可得：；由不等②可得：，此时不等式组的解集为； 综上，m的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $