精品解析：2025年安徽省芜湖市镜湖区安徽师范大学附属中学自招数学试题

安徽师范大学附属中学 2025年高中自主招生考试数学试题 满分：150分 时长：120分钟 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，每小题只有一个选项正确） 1. 如图，把纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠性质得出∠A=∠A′，根据三角形外角性质得出∠1=∠DOA+∠A，∠DOA=∠2+∠A′，即可得出答案． 【详解】如图， ∵根据折叠性质得出∠A=∠A′， ∴∠1=∠DOA+∠A，∠DOA=∠2+∠A′， ∴∠1=∠A+∠2+∠A， ∴2∠A=∠1-∠2， 故选C． 【点睛】本题考查三角形折叠角度问题，掌握折叠的性质和三角形外角性质是关键. 2. 如果a，b，c是正数，且满足 ，，那么的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意得出 ， ， ，再代入原式进行计算即可． 【详解】解：∵a，b，c是正数，且满足 ， ∴ ， ， ， ∴ ． 3. 若直角坐标系内两点P、Q满足条件①P，Q都在函数y的图象上②P，Q关于原点对称，则称点对是函数y的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对”）．已知函数，则函数y的“友好点对”有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知函数 关于原点对称的图象与 的图象的交点的个数即为答案． 【详解】解：函数，则“友好点对”的个数即为函数 关于原点对称的图象与 的图象的交点的个数． 在同一直角坐标系中作出函数 关于原点对称的图象与函数 的图象，如图所示， 由图象可知，两个图象的交点有2个，则“友好点对”有2个． 4. 瑞安市举行中学生象棋比赛实行的是循环赛，因此每个选手都必须与其他选手赛一场，既若有人参加，共赛一局；若有人参加，共赛局；若有人参加，共赛局……并且规定：每局赢者得分，输者得0分，如果平局，两个选手各得分．经统计，全部选手总分为分，试问如果选手这次比赛共得分，有无可能成为冠军？（ ） A. 无可能 B. 有可能 C. 不能确定 D. 一定能 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用—比赛积分问题，先根据比赛规定，可知选手的总人数为人；则每位选手比赛的场次为场，而选手这次比赛共得分，即选手每场都获胜，即可得出结论．了解单循环赛的规则及积分规定，求出参加比赛选手的总人数是解题的关键． 【详解】解：∵全部选手总分为分， ∴比赛的场次为， 设选手人数为人， 依题意，得：， 解得：，（舍去）， ∴选手人数为人， ∵每局赢者得分，每位选手比赛的场次为场，每位选手最高可得（分），又∵选手这次比赛共得分， ∴选手一定能成为冠军． 故选：D． 5. 一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶，最多可以迈三级台阶，从地面上到最上面一级台阶，一共可以有多少种不同的迈法（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了加法原理和乘法原理，解题关键是从简单情况入手，从中找出规律，再利用规律求解． 先从简单情况入手，若有1级台阶，则只有唯一的迈法，若有2级台阶，则有两种迈法，若有3级台阶，则有4种迈法，若有4级台阶，则按照第一步迈的级数分三类讨论：①第一步迈一级台阶，那么还剩三级台阶，根据前面分析可知种迈法，②第一步迈二级台阶，还剩二级台阶，根据前面的分析可知有种迈法，③第一步迈三级台阶，那么还剩一级台阶，还有 种，然后依次求出、、…． 【详解】从简单情况入手： （1）若有1级台阶，则只有唯一的迈法： ； （2）若有2级台阶，则有两种迈法：一步一级或一步二级，则； （3）若有3级台阶，则有4种迈法：①一步一级地走，②第一步迈一级而第二步迈二级，③第一步迈二级而第二步迈一级，④一级迈三级，； （4）若有4级台阶，则按照第一步迈的级数分三类讨论：①第一步迈一级台阶，那么还剩三级台阶，根据前面分析可知种迈法，②第一步迈二级台阶，还剩二级台阶，根据前面的分析可知有种迈法，③第一步迈三级台阶，那么还剩一级台阶，还有 种． ∴（种） 相应有 （种）， （种）， （种）， （种）， （种）， （种）， ∴共有 种迈法． 故选：D． 6. 如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC＝120°，③AH+CH＝DH，④CH2＝HO•HD中，正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①根据菱形的性质去证明，②利用外角定理和①中全等三角形的性质证明，③在HD上截取HK=AH，连接AK，证明，利用全等三角形的性质得到结论，④证明与相似条件不一定成立，得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC， ∵AB=AC， ∴AB=BC=AC， 即是等边三角形， 同理是等边三角形， ∴， 在和 中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴ ，故②正确； 在HD上截取HK=AH，连接AK， ∵， ∴点A、H、C、D四点共圆， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， 但是无条件证明 ∴与不一定相似， ∴CH2＝HO•HD不一定成立，故④不正确； 正确的有3个． 故选C． 【点睛】本题考查几何的综合证明，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定，菱形的性质，四点共圆的条件，相似三角形的性质和判定，利用这些性质定理结合题目条件进行证明． 二、填空题（本大题共9小题，每小题5分，共45分） 7. 已知，则的值等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了裂项法求和、配方法的应用，学会利用配方法求出未知数的值是解题的关键．利用配方法把方程变形为，求出 的值，再代入到题目中的式子，利用裂项法求和即可解答． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8. 无论a取何值时，点P（a-1，2a-3）都在直线l上，Q（m，n）是直线l上的点，那么4m-2n+7的值是______． 【答案】9 【解析】 【分析】由于a不论为何值此点均在直线l上，令a=0，则P（-1，-3）；令a=1，则P（0，-1），设此直线的解析式为y=kx+b（k≠0），把两点代入即可得出其解析式，再把Q（m，n）代入即可得出m与n的数量关系，进而可得出结论． 【详解】解：由于a不论为何值点P均在直线l上， 当a=0，则P（-1，-3）； 当a=1，则P（0，-1）， ∴设此直线的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∴，解得， ∴此直线的解析式为：y=2x-1， ∵Q（m，n）是直线l上的点， ∴2m-1=n，即2m-n=1， ∴4m-2n+3=2（2m-n）+7=9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式． 9. 设实数a、b、c满足，则函数的图象一定经过一个定点，那么这个定点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】由可得 ，再由当时，，即可得结论． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，， ∴ ， 当时，， ∴函数的图象一定经过一个定点． 10. 已知点，到直线L的距离分别为和，满足条件的直线L的条数是______． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为判断两圆的位置关系，以为圆心为半径作圆，以为圆心为半径作圆，满足条件的直线 是两圆的公切线，公切线的条数即为所求． 【详解】解：如图所示： ， ∴， ∵两圆半径分别为 ， ， ∴ ，即 两圆外离，外离的两圆共有条公切线 ∴故满足条件的直线 的条数为条． 11. 设下列三个一元二次方程：；；；至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是_______． 【答案】a≤或a≥ 【解析】 【分析】本题研究的三个方程至少有一个有实根，此类题求解时通常转化为求其对立面，研究三个方程都没有实根时实数a的取值集合，其补集即是所求的实数a的取值范围 【详解】解：不妨假设三个方程都没有实数根，则有 ， 解得， ∴， 故三个方程x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实根时，实数a的取值范围为a≤或a≥， 故答案为：a≤或a≥． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 12. 满足方程的正整数解为______． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程；先将方程变形为关于的一元二次方程，进而根据题意得出判别式为完全平方数，进而求得的值，逐个代入，解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ ，是完全平方公式 ∴或或或或 解得： 当 时，， 解得：（不合题意），， 当时， ， 解得：，， ∴，， 故答案为：，，． 13. 如图，四边形中，，，，设、延长线交于，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形与等边三角形的性质、菱形和平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 过点作，与过点与平行的直线交于点，得到四边形为菱形，则，得为等边三角形，可以求出，进而求解． 【详解】解：过点作，与过点与平行的直线交于点，如图， 由作法得四边形为平行四边形， ∵ ， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵，而， ∴， ∴， 而， ∴． 故答案为：． 14. 如图，正方形的边长为，点，分别为边，上一动点，且 连接，相交于点，点，分别是，的中点，连接 ，点为 的中点 点从点运动到点的过程中，线段扫过的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，，可证明 ，得，再证明，则，以点为圆心，以长为半径作，则点、点都在上，可证明在上运动，则线段扫过的面积为所对的“弓形”的面积，求所对的“弓形”的面积即可． 【详解】解：取的中点，连接，取的中点，连接，，则， 四边形是边长为的正方形， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， 连接并延长 交于点，连接， 、分别为、的中点， ，， 点在上，，， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是正方形， ， ， ， 经过 的中点，即在上运动， 以点为圆心，以长为半径作， ， 点、点都在上， 当点与点重合时，则点与点重合，点与点重合， 线段扫过的面积为所对的“弓形”的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的中位线定理、平行线分线段成比例定理、扇形面积的计算、点的运动轨迹问题的求解等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 15. 如图，以的直角边为直径作半圆与边交于点D，过D作半圆的切线与边交于点E，过E作，与交于点F．若， ，则的长为______． 【答案】9 【解析】 【分析】连接，先证明E是的中点，可知 是的中位线，于是可求出及的长，再证明 ，根据相似的性质即可求出的长. 【详解】解：连接，如图， ∵，为直径， ∴是的切线， ∵为的切线， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 而 ， ， ∴ ， ∴ ， 在中， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴， 即， ∴ ． 三、解答题（本大题共7小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已和x，y，z均为非负数，且满足． （1）用x表示，y，z； （2）求的最小值． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）①×2+②消去z得用x表示y得式子，①+②消去y得用x表示z的式子； （2）把（1）中求得的式子代入u=2x2-2y+z，得到关于x的二次函数，再根据x、y、z都是非负数列出不等式组求出x的取值范围，然后求出二次函数的对称轴并利用二次函数的增减性解答． 【详解】解：（1）解， ① ②消去得， ①②消去得； （2） ，，均为非负数， ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ， ， ， ， ， 当时有最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，用x表示出y、z从而得到关于x的二次函数是解题的关键，要注意x的取值范围的求解． 17. （1）已知，求的值． （2）已知，先化简再求值：． 【答案】；． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、运用乘法公式进行化简．乘法公式包括完全平方公式和平方差公式，完全平方公式是，平方差公式是． 首先把整理，可得：和，把多项式整理可得：原式，再整体代入进行求值即可； 整理可得，把整理可得：原式，再整体代入求值即可． 【详解】解：， 移项得：， 把两边同时除以可得：， ， ； 解：， 两边同时乘以 可得：， 整理得：， ． 18. 如图，已知直线平分第一象限，直线由直线 向右平移2个单位得到，动点在上运动，过点A作直线轴． （1）求点C的坐标； （2）设中位于直线l右侧部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式； （3）当x为何值时，直线l平分的面积? 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积及分类讨论思想等知识点． （1）利用平移的性质求得直线的解析式，联立即可求得点C的坐标； （2）分①当 时，②当时，两种情况讨论，利用三角形面积公式求解即可； （3）根据题意列方程，据此求解即可． 【小问1详解】 解：直线的解析式为：， 直线的解析式为：． 联立两直线方程得：， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：过点C作 轴交于D点，则， ∵直线交x轴于B点， ∴， ①当 时，直线l右侧部分是三角形， 面积为：； ②当时，直线l右侧部分是四边形， 面积为：． ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴直线l平分的面积时， 动点A只能在线段上，即， ∴， 解得． 所以当时，直线l分的面积． 19. 如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D． （1）求解抛物线解析式； （2）连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到，点O、B、C的对应点分别为点，，，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，请直接写出S与时间t的函数解析式； （3）如图2，过抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME-MF=？若存在，请求F点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）；（3）存在，． 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法解答即可； （2）分0<t<1、、三种情况解答即可； （3）设F点坐标为(-1，t)、点M（m，n），则有、进而求得ME，然后分别通过线段的和差和勾股定理求得MF的长，然后得到等式、化简、对比即可求得t即可． 【详解】解：（1）将A（-3，0）和B（1，0）代入抛物线解析式y=ax2+bx+3中，可得： ，解得： ∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3； （2）∵y=-x2-2x+3= ∴抛物细的顶点坐标为（-1,4） ∵A(-3,0)在直线AD上 设抛物线解析式为y=kx+b 则有 ，解得： ∴直线AD的解析式为y=2x+6, 当在AD上时，令y=3，即3=2x+6，解得x=- ①如图所示，当0<t<1时， ∴OC=O＇C＇=3,O＇B＇=OB=1,OB＇=1-t ∵O＇C//OC ∴△∽△OM ∴,即，解得：OM=3(1-t) S= S△O＇B＇C＇- S△OMB＇ = ②当时，完全在四边形AOCD内， ③当时，如图所示，过G点作GH⊥，设HG=x， ∵GH//AB ∴,∠HGK=∠KAO ∵ ∴ ∴， ∵直线AD的解析式为y=2x+6, ∴ ∴ , ∴,KO＇=2AO＇ ∴ ∵ ∴ ∵O＇C＇= C＇K+AO＇ ∴ ∴ S=S△O＇B＇C＇- S△C＇GK = ∴ 综上：； （3）假设存在，设F点坐标为(-1，t)、点M（m，n） ∴ ∴ ∴ 而 ∴ ∴ ∴=- ∴，即 ∴． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的解析式、解直角三角形、勾股定理、分类讨论思想和存在性问题，其中掌握二次函数的性质和分类讨论思想是解答本题的关键． 20. 如图，四边形是梯形，点是上底边上一点，的延长线与的延长线交于点，过点作的平行线交的延长线于点，与交于点．证明：． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】根据平行，可证出：∽，写出比例式，根据比例的基本性质可得：，同理可证：，即可得出，再根据相似三角形的判定定理可证： ∽，从而得到：，根据平行线的判定即可得：，根据平行线的性质可得：，，最后根据三角形内角和定理即可证出：. 【详解】∵， ∴∽． ∴． ∴． 又， ∴∽． ∴． ∴． ∴． 故． 又， ∴ ∽． ∴． ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∵ ∴． 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质、平行线的判定及性质和三角形的内角和定理，掌握相似三角形的各个判定定理、相似三角形的对应边成比例、对应角相等和平行线的性质是解决此题的关键. 21. 已知正整数、、满足条件且 ，求的最大值． 【答案】 【解析】 【分析】把右边展开可得：，根据为质数且、、为小于的正整数可知、、中至少有个数为，设 ，则条件等式化为，整理可得 ，由的最大值为，即可求出的最大值． 【详解】解： 、、为正整数， ， 若 ， ， 则 ， ， ， 与 不符合， 、、均为小于的正整数， 将展开， 可得： ， 即， 能被整除， 为质数，、、为小于的正整数， 、、中至少有个数为， 设 ， 则条件等式化为， ， ， ， ， 根据二次函数性质可知，当或 时，最大， 的最大值为， 的最大值为 ． 22. 如图，为的切线， 为的割线，于点．证明： ． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了圆切线的性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，，，由切线的性质得到 ，然后证明出，得到，推出，然后，得到，然后证明出，得到，然后证明出，得到，、、、四点共圆，然后证明出，得到． 【详解】证明：连接，，． ∵为的切线， ∴ ， ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， 同理可证， ∴ ∴， ∵为的切线， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴、、、四点共圆， ∴，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽师范大学附属中学 2025年高中自主招生考试数学试题 满分：150分 时长：120分钟 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，每小题只有一个选项正确） 1. 如图，把纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） A. B. C. D. 2. 如果a，b，c是正数，且满足 ，，那么的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 若直角坐标系内两点P、Q满足条件①P，Q都在函数y的图象上②P，Q关于原点对称，则称点对是函数y的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对”）．已知函数，则函数y的“友好点对”有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 瑞安市举行中学生象棋比赛实行的是循环赛，因此每个选手都必须与其他选手赛一场，既若有人参加，共赛一局；若有人参加，共赛局；若有人参加，共赛局……并且规定：每局赢者得分，输者得0分，如果平局，两个选手各得分．经统计，全部选手总分为分，试问如果选手这次比赛共得分，有无可能成为冠军？（ ） A. 无可能 B. 有可能 C. 不能确定 D. 一定能 5. 一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶，最多可以迈三级台阶，从地面上到最上面一级台阶，一共可以有多少种不同的迈法（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC＝120°，③AH+CH＝DH，④CH2＝HO•HD中，正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共9小题，每小题5分，共45分） 7. 已知，则的值等于_________． 8. 无论a取何值时，点P（a-1，2a-3）都在直线l上，Q（m，n）是直线l上的点，那么4m-2n+7的值是______． 9. 设实数a、b、c满足，则函数的图象一定经过一个定点，那么这个定点的坐标是______． 10. 已知点，到直线L的距离分别为和，满足条件的直线L的条数是______． 11. 设下列三个一元二次方程：；；；至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是_______． 12. 满足方程的正整数解为______． 13. 如图，四边形 中，，，，设、延长线交于，则______． 14. 如图，正方形 的边长为，点，分别为边， 上一动点，且 连接， 相交于点，点， 分别是， 的中点，连接 ，点为 的中点 点从点运动到点的过程中，线段扫过的面积为______． 15. 如图，以的直角边为直径作半圆与边交于点D，过D作半圆的切线与边交于点E，过E作，与交于点F．若， ，则 的长为______． 三、解答题（本大题共7小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已和x，y，z均为非负数，且满足． （1）用x表示，y，z； （2）求的最小值． 17. （1）已知，求的值． （2）已知，先化简再求值：． 18. 如图，已知直线平分第一象限，直线由直线 向右平移2个单位得到，动点在上运动，过点A作直线轴． （1）求点C的坐标； （2）设中位于直线l右侧部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式； （3）当x为何值时，直线l平分的面积? 19. 如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D． （1）求解抛物线解析式； （2）连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到，点O、B、C的对应点分别为点，，，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，请直接写出S与时间t的函数解析式； （3）如图2，过抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME-MF=？若存在，请求F点的坐标；若不存在，请说明理由． 20. 如图，四边形 是梯形，点是上底边上一点，的延长线与的延长线交于点，过点作的平行线交的延长线于点 ，与交于点 ．证明：． 21. 已知正整数、、满足条件且 ，求的最大值． 22. 如图，为的切线， 为的割线，于点．证明： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $