云南省2025-2026学年高一下学期期末自编模拟数学卷（十）

**基本信息** 以航天知识竞赛为情境载体，梯度设计覆盖函数、向量、立体几何、统计等核心知识，综合考查数学思维与数据观念，适配高一期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|中位数、集合、复数运算|基础概念直接考查，如样本中位数计算| |多选|3/18|函数奇偶性、向量夹角|多选项分层区分，如向量模与夹角综合判断| |填空|3/15|函数最值、解三角形|简洁考查运算能力，如三角函数最值求解| |解答|5/77|统计（航天竞赛）、立体几何证明、函数新定义|航天情境统计题融合数据分析，函数新定义题（弱中心对称）考查创新思维，立体几何证明体现推理意识|

2025-2026学年云南省高一期末模拟考试卷（十） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．样本数据1，1，3，5，7的中位数是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【知识点】计算几个数的中位数 【分析】根据中位数的定义求出. 【详解】共个数，中位数是第个数，即中位数是. 故选：B 2．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】并集的概念及运算 【详解】因为，则. 3．已知是复数的共轭复数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数加减法的代数运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【详解】因为，即为， 可得，则， 所以. 4．已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由题设及两角和的正切公式可得答案. 【详解】 5．已知关于 的不等式的解集为，其中 ，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、基本不等式求和的最小值 【详解】由题意可知：是方程的两根，且， 则，可得，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 6．在中，点在边上，．记，，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量减法的法则、向量数乘的有关计算、向量加法的法则、用基底表示向量、线段的定比分点 【分析】利用平面向量的线性运算法则，结合线段的比例关系，将用和表示后整理求解即可. 【详解】点在边上，，可得. 所以， 即，所以. 7．已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由指数（型）的单调性求参数 【详解】由题意可知可看作由和复合而成； 当时，函数单调递增，要使在上单调递增， 则需在上单调递增，因此需满足，解得， 结合得； 当时，函数单调递减，要使在上单调递增， 则需在上单调递减，因此需满足，解得，此时a不存在； 综合可知的取值范围为. 8．已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【知识点】函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值、函数周期性的应用 【分析】利用函数的周期性求解. 【详解】由 ，得， 两式相减：，周期， ， 原式：， 令： ， 关于对称，得, 所以，因为，得：， ，即 ， ， ， ， 一个周期：， 一个周期和：，     . 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】先依据奇函数定义判断各函数的奇偶性，排除奇偶性不符的选项，再验证剩余函数的单调性，选出同时满足两个条件的选项 【详解】对选项A：，满足，是偶函数，且在上单调递增，上单调递减，不符合要求，故A错误； 对选项B：设，满足，是奇函数，且在上单调递增，故B正确； 对选项C：设，满足，是奇函数，其斜率，故在上单调递增，故C正确； 对选项D：，满足且，是非奇非偶函数，不符合要求，故D错误。 10．已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（ ） A．与夹角为 B． C． D．与夹角为 【答案】BC 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】先利用向量模的平方等于向量自身的平方，结合已知条件求出，再根据向量点积的定义求与的夹角，接着计算，最后用向量夹角公式计算与的夹角，逐一判断各选项. 【详解】由两边平方，，因，，故，B正确； 对于A，由得，因，故，A错误； 对于C，由，即，C正确； 对于D，由，得，，D错误． 11．在棱长为2的正方体中，点在线段上运动（包括端点），点在正方形及其内部运动，且，则下列正确的选项有（     ） A． B．点的轨迹的长度为 C．的最小值为 D．直线与平面所成角的最小值为 【答案】AD 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱柱的展开图及最短距离问题、求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】A由正方体的性质，得到正方体中的垂直关系，作出判断；B先根据题意判定出点Q的轨迹，再求弧长即可；C通过翻折平面，将平面与平面沿翻折到同一个平面内，进而判断的最小值； D作出直线与平面所成角，进而判断线面角的最小值； 【详解】A，由正方体性质，易得，， 因为平面， 所以平面.因为平面，所以，故A正确； B，因为，在正方形中，，. 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧. 根据弧长公式，这里，，所以轨迹长度为，故B错误； C，如图，将平面与平面沿翻折到同一个平面内    由题意，， 从而，故为平行四边形. 又，故为矩形. 从而当为与交点时，最小，此时，故C错误. D，如图连接交于，              因为平面，平面，所以. 因为，平面， 所以平面，即平面， 所以为直线与平面所成角，所以. 所以当最大时最小，即P与B重合，时，最大. 可得， 此时，故的最小值为， 直线与平面所成角的最小值是，故D正确. 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知，则的最大值为__________． 【答案】/ 【知识点】条件等式求最值 【分析】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论. 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为. 13．在中，分别为角所对的边，若，，，则____________． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理求出，再利用余弦定理求即可． 【详解】由余弦定理，， ， 故． 14．已知函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，若 ，则______． 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用 【详解】函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，此时， 当时，，则，此时， 所以， 若 ，设 ，则有 ，解得， 由，解得. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．已知向量． (1)求向量与的夹角的余弦值； (2)当为何值时，与垂直？ 【答案】(1) (2)． 【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】（1）由向量线性运算的坐标运算可求得的坐标，进而利用夹角的坐标运算求得向量与的夹角的余弦值； （2）由向量线性运算的坐标运算可求得的坐标，利用数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】（1）因为， 所以． 所以． 设与的夹角为， 则． （2）因为， 所以． 因为与垂直， 所以，即， 解得． 16．为了普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动．现从参加竞赛的学生中随机抽取120人，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于90分的学生被评为“航天达人”，将数据分成，，，，，六组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)若该校参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计该校这次竞赛中“航天达人”的人数； (2)估计参加这次竞赛的学生成绩的80%分位数； (3)若在抽取的120名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于80分的学生中随机抽取9人，求从成绩在，内的学生中分别抽取的人数． 【答案】(1) (2) (3) 人， 人 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、总体百分位数的估计 【分析】（1）由频率分布直方图，求得不低于 分的学生所占的频率，进而得到答案. （2）先求得各个区间的频率，结合百分位数的计算方法，即可求解； （3）由（2）得到成绩在和内的频率为 和 ，结合分层抽样的方法，即可求解. 【详解】（1）解：由频率分布直方图，可得成绩不低于 分的学生所占的频率为 ， 则这次竞赛的共有3000名学生中，则这次竞赛中“航天达人”的人数 人. （2）解：由频率分布直方图得，成绩在内的频率为 ， 成绩在内的频率为 ， 成绩在内的频率为 ， 成绩在内的频率为 ， 成绩在内的频率为 ， 成绩在内的频率为 ， 可得成绩在 分以下的学生所占频率为 ，成绩在 分以下的学生所占频率为 ， 所以成绩的 分位数一定在内，设成绩的 分位数为， 可得 ，即成绩的 分位数 . （3）解：由（2）知：成绩在和内的频率为 和 ， 利用分层抽样的方法得，在抽的人数为 人， 在抽的人数为 人， 所以成绩在和内的学生分别抽取 人和 人. 17．如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)连接，交点O，连接，则O是的中点， 因为D是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. (2)因为为等边三角形，且D是的中点，所以， 由正三棱柱的性质知，平面，而平面，所以， 又 平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. (3) 【知识点】求点面距离、证明面面垂直、锥体体积的有关计算、证明线面平行 【分析】（1）连接，交点O，连接，易得，再由线面平行的判定定理证明结论； （2）由已知得、，再由线面、面面垂直的判定定理证明结论； （3）根据（2）得点A到平面的距离为，应用等体积法求点面距离. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知平面，所以点A到平面的距离为， 而 2， 4，                        设点B到平面的距离为d，且， 所以，即 ，解得， 所以到平面的距离为． 18．已知． (1)求最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，，求． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解； （2）利用换元法，结合正弦函数性质求解； （3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解. 【详解】（1）； （2）若，则， 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值，即， 当，即时，函数有最大值，即. 所以函数的最大值为，最小值为； （3）若，，所以， 则，， 则. 19．设函数的定义域为，如果，都有，且满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． (1)若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； (2)若函数，的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】函数对称性的应用、由函数对称性求函数值或参数、函数新定义 【分析】（1）根据题意“中心对称图形”的定义分析判断即可； （2）根据“弱对称中心图形”定义，代入解出表达式，讨论取值范围，再利用换元法即可求解． 【详解】（1）由，解得． 当时，， 对于任意的，都有， 所以函数的图象是关于点的中心对称图形， 故． （2）由题意可知，存在，且，使得， 当时，，则， 所以， 又知对勾函数在上单调递增， 所以，所以； 当时，，则不成立； 当时，，则， 所以， 令，易得在上单调递增，所以． 综上可知，实数的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年云南省高一期末模拟考试卷（十） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．样本数据1，1，3，5，7的中位数是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 3．已知是复数的共轭复数，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 5．已知关于 的不等式的解集为，其中 ，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 6．在中，点在边上，．记，，则 （   ） A． B． C． D． 7．已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 10．已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（ ） A．与夹角为 B． C． D．与夹角为 11．在棱长为2的正方体中，点在线段上运动（包括端点），点在正方形及其内部运动，且，则下列正确的选项有（     ） A． B．点的轨迹的长度为 C．的最小值为 D．直线与平面所成角的最小值为 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知，则的最大值为__________． 13．在中，分别为角所对的边，若，，，则____________． 14．已知函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，若 ，则______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．已知向量． (1)求向量与的夹角的余弦值； (2)当为何值时，与垂直？ 16．为了普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动．现从参加竞赛的学生中随机抽取120人，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于90分的学生被评为“航天达人”，将数据分成，，，，，六组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)若该校参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计该校这次竞赛中“航天达人”的人数； (2)估计参加这次竞赛的学生成绩的80%分位数； (3)若在抽取的120名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于80分的学生中随机抽取9人，求从成绩在，内的学生中分别抽取的人数． 17．如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求点到平面的距离． 18．已知． (1)求最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，，求． 19．设函数的定义域为，如果，都有，且满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． (1)若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； (2)若函数，的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $