云南省2025-2026学年高一下学期期末自编模拟数学卷（八）

**基本信息** 2025-2026学年云南省高一期末数学模拟卷，覆盖必修一至必修二统计内容，通过农业产量统计、立体几何证明等情境题，融合数据观念、空间观念与抽象能力，实现基础巩固与能力提升的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|集合、复数、统计中位数|基础概念辨析，如复数象限判断| |多项选择题|3/18|向量共线、函数性质|多选项设计考查推理严谨性，如向量模长计算| |填空题|3/15|解三角形、函数零点、卡西尼卵形线|结合创新情境，如卵形线距离最小值| |解答题|5/77|统计平均数方差、立体几何证明、函数周期|实际应用与逻辑推理结合，如农业产量数据分析|

2025-2026学年云南省高一期末模拟考试卷（八） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．为不为1的任意实数，则（     ）． A． B． C． D． 3．复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．一组数据升序排列为：，已知这组数据中位数是，的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 6．已知向量与的夹角为，，，则（    ） A．3 B． C．7 D． 7．表面积为的圆柱内放入一个球，则该球体的体积最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知点，，，，则（    ） A．三点共线 B． C． D． 10．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知的内角、、的对边分别为、、，且满足，则中角的大小为____________． 13．若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 14．平面上到两个不同的定点，的距离之积为非零常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．如图所示，曲线 是一条过坐标原点的卡西尼卵形线，其中两定点，．若点 为曲线 上的任意一点，则的最小值为____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．某农业合作社种植甲、乙两个品种的葡萄，为评估收成情况，随机抽取8株甲品种葡萄，测得单株产量（单位：千克）分别为4.5，4.7，4.8，4.8，4.8，4.9，4.9，5.0． (1)求抽取的这8株甲品种葡萄单株产量的平均数与方差； (2)已知随机抽取的12株乙品种葡萄单株产量的平均数，方差，求抽取的这20株葡萄单株产量的总体平均数和方差． 16．如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，C是圆周上一点，且，． (1)求证：； (2)求点A到平面的距离． 17．已知向量，． (1)若，且，求向量与向量的夹角； (2)若，且，求向量的坐标． 18．已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 19．已知，函数． (1)当时，解不等式； (2)当时，求函数的值域． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年云南省高一期末模拟考试卷（八） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知集合，， 由上图可得． 2．为不为1的任意实数，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则. 3．复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】. 实部为，虚部为， 所以对应点在第一象限. 4．一组数据升序排列为：，已知这组数据中位数是，的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】已知这组数据升序排列为：，中位数是， 这组数据中间两个数是5和x，根据中位数的计算方法：， 解得：． 5．的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【详解】因为， 当且仅当，即，时，等号成立, 所以的最小值为9. 6．已知向量与的夹角为，，，则（    ） A．3 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】由向量模长公式，向量数量积定义结合题设可得答案. 【详解】 7．表面积为的圆柱内放入一个球，则该球体的体积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆柱的底面圆的半径为，高为，由题设可得，分析可得要使球体的体积最大，则应取，进而结合球的体积公式求解即可. 【详解】设圆柱的底面圆的半径为，高为， 而圆柱的表面积为，则，即， 要在圆柱内放入一个球，设球的半径为，则，即， 要使球体的体积最大，则应取， 则，即， 则该球体的体积最大值为. 8．已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】由题意可得， 因为函数在上单调递增，所以， 又因函数在上单调递增，则， 所以， 因，且在上单调递增， 所以，即. 故. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知点，，，，则（    ） A．三点共线 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，根据向量共线判断即可；对于B，根据向量的模的坐标表示求解即可；对于C，根据垂直关系的向量表示求解即可；对于D，根据向量夹角的计算公式求解即可. 【详解】对于A，，，又为公共点，所以三点共线，故A正确. 对于B，，，所以，故B错误. 对于C，，所以，即，故C正确. 对于D，，，所以，故D正确. 10．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D， ，故D正确. 11．已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 【答案】BCD 【分析】对于A，由配凑法或整体换元法可得解析式；对于B，由A分析可得解析式，据此可得值域；对于C，由复合函数定义域求法可得答案；对于D，由A分析可得，据此可得答案. 【详解】对于A，法一：依题意，， 则，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以则，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，，因此，故D正确． 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知的内角、、的对边分别为、、，且满足，则中角的大小为____________． 【答案】 【分析】利用正弦定理将边的关系转化为角的三角函数关系，结合两角和的正弦公式与三角形内角的性质化简求解角C. 【详解】在中，设其外接圆半径为，由正弦定理得， 即，，， 则由，可得 ， 由两角和的正弦公式，左边可化简为， 又， 因此等式化为 由于，故， 两边同除以得，又，因此. 13．若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】方法一：令,则即，,转化为一元二次方程有两个正根的问题. 方法二：把函数 有两个零点转化为方程有两个实数根的问题，再转化为,即函数与函数交点问题. 【详解】令，得，即， 方法一： 令，则，即，, 则一元二次方程有两个正根， 那么， 所以，的取值范围是. 方法二： 设，那么设，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增，且， 根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是. 14．平面上到两个不同的定点，的距离之积为非零常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．如图所示，曲线 是一条过坐标原点的卡西尼卵形线，其中两定点，．若点 为曲线 上的任意一点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】因为曲线过原点，且已知的坐标，所以先利用卡西尼卵形线的定义，代入原点坐标求出距离之积的常数，得到. 已知与的乘积为定值，所以利用基本不等式求该函数的最小值，验证等号成立的条件是否满足曲线的约束。 【详解】由题意，曲线过原点，，，则 ，， 根据定义，对曲线上任意点，有 ， 由基本不等式得：， 等号成立当且仅当，结合，得，，满足三角不等式，存在这样的点，等号可取。 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．某农业合作社种植甲、乙两个品种的葡萄，为评估收成情况，随机抽取8株甲品种葡萄，测得单株产量（单位：千克）分别为4.5，4.7，4.8，4.8，4.8，4.9，4.9，5.0． (1)求抽取的这8株甲品种葡萄单株产量的平均数与方差； (2)已知随机抽取的12株乙品种葡萄单株产量的平均数，方差，求抽取的这20株葡萄单株产量的总体平均数和方差． 【答案】(1)平均数为4.8千克，方差为0.02 (2)总体平均数为4.77千克，方差为0.023 【分析】（1）运算平均数和方差的公式进行求解即可； （2）运用总体平均数和方差的公式进行求解即可. 【详解】（1）设抽取的这8株甲品种葡萄单株产量的平均数为，方差为， 则， ． （2）设这20株葡萄单株产量的总体平均数为，方差为， 则， ． 16．如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，C是圆周上一点，且，． (1)求证：； (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)因为点C在底面圆周上，是圆O的直径， 所以，即，     因为垂直于圆O所在的平面，平面，所以，     又，平面，平面，所以平面，     又平面，所以． (2) 【分析】（1）根据题意可得出，，利用线面垂直的判定定理得平面，再利用线面垂直的性质定理即可证明； （2）方法一：过点A作，交于点H，通过证明平面得的长度即是点A到平面的距离，进而可求解；方法二：利用等积法，根据求解. 【详解】（1）略 （2）方法一：如图，过点A作，交于点H， 由（1）知平面，又平面，所以， 又，平面，平面，所以平面， 则的长度即是点A到平面的距离．     在中，，     由，即， 解得，即点A到平面的距离为．     方法二：由题可得．     设点A到平面的距离为h， 由题意知，即，     即，解得， 即点A到平面的距离为． 17．已知向量，． (1)若，且，求向量与向量的夹角； (2)若，且，求向量的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）借助向量垂直性质及数量积公式计算即可得； （2）借助向量平行性质计算即可得. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以，即， 所以，因为，所以； （2）因为，，所以， 因为，设， 则，解得， 故或． 18．已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)；， (2)最大值为1，最小值为 【分析】（1）根据二倍角公式化简函数，再利用最小正周期公式以及整体代入法求单调区间即可. （2）通过，求出，进而求出最大值和最小值. 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期为 ， 令，，则，， 所以函数的单调递增区间为，. （2）因为，所以， 则，所以， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 19．已知，函数． (1)当时，解不等式； (2)当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入，再利用函数在上单调递增求解； （2）把代入，求出的表达式为，再利用基本不等式与函数的性质求解值域. 【详解】（1） 当时，，由于函数在上单调递增， 故 解得 ， 所以，原不等式解集为. （2）当时，， 即，由，得， 故函数定义域为， 由于，所以(当且仅当即时取等号）， 又函数在上单调递增， 所以，， 故值域为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $