云南省2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟考试卷（五）

**基本信息** 覆盖高一数学必修一、二核心内容，解答题融合统计分析、实际情境应用及函数综合，注重数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、圆台侧面积、不等式等|基础巩固，考查概念辨析（如单调性定义）| |多选|3/18|立体几何线面关系、向量运算|多角度辨析，提升推理意识| |填空|3/15|基本不等式、三角函数求值|灵活应用，强化运算能力| |解答|5/77|统计（评委打分）、向量新定义、三角函数应用（仰角）、立体几何（四棱锥）、函数综合|情境真实（广告牌设计）、综合探究（函数奇偶性与单调性），体现数据意识与空间观念|

2025-2026学年云南省高一期末模拟考试卷（五） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．（     ） A． B． C． D． 2．已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 4．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 5．在中，点在边上，且，则（   ） A． B． C． D． 6．下列关于函数单调性定义中 的说法，错误的是（    ） A． 必须取自同一个单调区间内 B．可用区间内的两个特殊值来验证函数在该区间的单调性 C．通常规定 来比较对应函数值的大小 D． 需是区间内任意的两个值 7．若直线是函数图像的对称轴，且在上无最值，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或 8．函数与的图象在上有个不同的交点，则（     ） A．4052 B．4053 C．8104 D．8105 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 10．已知平面向量，，则下列说法正确的有（   ） A． B．与的夹角为 C．在方向上的投影向量为 D．若向量满足，则 11．已知函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，，则（   ） A．函数的周期为4 B．函数在上单调递增 C．关于x的方程有且仅有2个不同的实根 D．当时， 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．设、为正数，且，则的最大值为______． 13．已知角为第三象限角，且，则_______. 14．已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．在某中学举办的“校园好声音”歌手决赛中，由8名专业人士和8名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组：86    86    87    90    91    93    93    94 小组：69    84    90    91    92    93    94    99 (1)分别求两组评委打分的平均分； (2)判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由. 16．对任意非零向量，，定义． (1)若向量，，求的值； (2)若单位向量，满足，求向量与的夹角的余弦值． 17．如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，BC长80米．设A、B在同一水平面上，从A、B看D的仰角分别为． (1)设计中CD是铅垂方向，若要求，求CD的长（结果精确到0.01米）； (2)施工完成后CD与铅垂方向有偏差，现实际测得＝39.82°，＝19.48°，求CD的长和∠ACD的大小（结果精确到0.01米和0.01°）． 18．在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点．    (1)求证：平面SCD； (2)求二面角的余弦值； (3)求点B到平面SCD的距离． 19．已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年云南省高一期末模拟考试卷（五） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的乘方 【详解】 2．已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】根据两个集合相等求参数、利用集合元素的互异性求参数 【详解】因为，所以或， 解得，或，（不符合集合元素的互异性，舍去） 所以. 3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】D 【知识点】圆台表面积的有关计算 【详解】设圆台较小底面半径为，较大底面半径为，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍， 所以，得到. 因为圆台的母线长为3，侧面积为，所以， 将代入得，解得. 所以圆台较小底面的半径为3. 4．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【详解】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则， 所以不等式的解集是. 5．在中，点在边上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用基底表示向量 【详解】. 6．下列关于函数单调性定义中 的说法，错误的是（    ） A． 必须取自同一个单调区间内 B．可用区间内的两个特殊值来验证函数在该区间的单调性 C．通常规定 来比较对应函数值的大小 D． 需是区间内任意的两个值 【答案】B 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【详解】选项 A：符合 “同区间性”，说法正确； 选项 B：违背了 “任意性” 的要求，不能用特殊值代替区间内的任意值来判断单调性，说法错误； 选项 C：符合 “有序性” 的规定，说法正确； 选项 D：体现了 “任意性” 的要求，说法正确. 7．若直线是函数图像的对称轴，且在上无最值，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、辅助角公式 【分析】通过辅助角公式化简函数解析式，由函数对称轴建立方程求得，然后由在上无最值求得范围，从而求得答案. 【详解】， 由题意可知是方程的一个解， 即，∴， 当时，， 由题意可知，所以， ∴当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，舍去， 所以或 8．函数与的图象在上有个不同的交点，则（     ） A．4052 B．4053 C．8104 D．8105 【答案】B 【知识点】函数周期性的应用、函数对称性的应用、正弦函数图象的应用 【分析】根据两函数的对称性可求出它们的对称中心为，结合图象求出它们在上交点的总个数，即可求得结果. 【详解】易知函数关于点成中心对称， 又函数满足； 因此函数也关于点成中心对称， 易知函数的最小正周期为，其值域为 因为函数在上单调递减，且当时，，当，； 可知的值域为； 画出两函数在同一坐标系下的图象如下图： 根据图象可知两函数在上除了之外，共有四个交点， 且由对称性可知这四个交点的横坐标之和为0，纵坐标之和满足， 再由周期性可知两函数在上除了之外共有个交点， 结合对称性可知. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BD 【知识点】判断线面是否垂直、线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断线面平行 【分析】用空间几何中线、面平行与垂直的判定定理与性质，构造反例来排除错误选项即可. 【详解】若，，则或m与n相交或m与n异面，选项A错误; 若，，则，选项B正确; 若，，则或α与β相交，选项C错误; 若，，则或，又，则，选项D正确. 10．已知平面向量，，则下列说法正确的有（   ） A． B．与的夹角为 C．在方向上的投影向量为 D．若向量满足，则 【答案】ABC 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】根据模的坐标表示即可判断A；根据向量夹角的坐标表示即可判断B；根据投影向量的定义即可判断C；根据向量平行的坐标关系可判断D. 【详解】对于A，，，则.所以A正确； 对于B，，则与的夹角为.所以B正确； 对于C，由B可知，，则在方向上的投影向量为.所以C正确； 对于D，，若，也满足，但.所以D错误. 11．已知函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，，则（   ） A．函数的周期为4 B．函数在上单调递增 C．关于x的方程有且仅有2个不同的实根 D．当时， 【答案】ACD 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据给定条件，求出函数的周期判断A；利用周期及对称性确定单调性判断B；求出方程的根判断C；利用对称性求出解析式判断D. 【详解】对于A，由上的奇函数满足，得， 则，，因此函数的周期为4，A正确； 对于C，当时，，由是奇函数，则当时，单调递增， ，因此函数在上单调递增，， 由，得函数的图象关于直线对称，则在上单调递减，， 而函数的周期为4，则在上值域为， 当或时，，于是方程在上无解， 当时，由，得无解； 当时，，，由，得，解得； 当时，，由，得，解得； 显然函数的图象关于直线对称，当时，，， 由，得，于是，而此方程在上无解， 因此方程在各有一个解，C正确； 对于B，由选项C知，在上单调递减，由，得， 又周期为4，因此函数在上单调递减，B错误； 对于D，当时，，，D正确. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．设、为正数，且，则的最大值为______． 【答案】/ 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】结合已知条件，利用基本不等式求积的最大值． 【详解】， ，当且仅当时取等号. ， ，即，解得， 当时，取等号，故的最大值为． 13．已知角为第三象限角，且，则_______. 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的正弦公式 【详解】因为角为第三象限角，且， 可得， 所以. 14．已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、根据对数型函数图象判断参数的范围 【分析】据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解． 【详解】当时，，对称轴为. 当时，函数在单调递增，函数图象如下： 令，则由， 结合图象可得或，即或. 结合图象可知，有2个解，有1个解， 此时函数有3个零点，不符合题意. 当时，函数在单调递增，在单调递减，函数图象如下： 令，则由，结合图象可得或或， 即或或. 由图可知，有2个解，有3个解， 又函数有8个零点，则需有3个解. 需使，解得. 综上，实数的取值范围为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．在某中学举办的“校园好声音”歌手决赛中，由8名专业人士和8名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组：86    86    87    90    91    93    93    94 小组：69    84    90    91    92    93    94    99 (1)分别求两组评委打分的平均分； (2)判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由. 【答案】(1)90，89； (2)组更像，理由见解析 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、用方差、标准差说明数据的波动程度 【分析】（1）根据平均数的定义计算即可求解； （2）分别求出两组的方差，比较大小，结合方差的表示意义即可下结论. 【详解】（1）记小组的数据依次为，小组的数据依次为，， 由题意可得：每组的平均数分别为：，. （2）组更像是由专业人士组成，理由如下： 两组的方差分别为：，. 由于专业人士给分更符合专业规则，相似程度更高，，， 因而，根据方差越大数据波动越大，因此组更像是由专业人士组成的． 16．对任意非零向量，，定义． (1)若向量，，求的值； (2)若单位向量，满足，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量夹角的计算、向量新定义、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】（1）先求出向量的坐标，再根据题目所给定义求出的值； （2）根据所给条件求出的值，再利用向量夹角的余弦值公式计算即可. 【详解】（1）因为向量，，所以， ， 则； （2） ，解得， 所以. 17．如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，BC长80米．设A、B在同一水平面上，从A、B看D的仰角分别为． (1)设计中CD是铅垂方向，若要求，求CD的长（结果精确到0.01米）； (2)施工完成后CD与铅垂方向有偏差，现实际测得＝39.82°，＝19.48°，求CD的长和∠ACD的大小（结果精确到0.01米和0.01°）． 【答案】(1)28.28米； (2)CD的长为28.57米，∠ACD≈88.50°. 【知识点】二倍角的正切公式、几何图形中的计算、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【详解】（1）根据题意可知，AC长35米，BC长80米， 设CD的长为x米，则，∵， ∴，则，即， 解得：米，故CD的长为28.28米. （2）由题设， 根据正弦定理得，则米， ∴由余弦定理得：， 所以米，又因为， 代入数据解得：米， 又因为， 代入数据得：， 则， 故CD的长为28.57米，∠ACD≈88.50°. 18．在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点．    (1)求证：平面SCD； (2)求二面角的余弦值； (3)求点B到平面SCD的距离． 【答案】(1)取SD的中点M，连接ME，MC， 因为E，M分别为SA，SD的中点，则且， 又因为F为BC的中点，且四边形ABCD为菱形，则且， 可得且，可知四边形EFCM是平行四边形，则， 且平面SCD，平面SCD，所以平面SCD． (2) (3) 【知识点】求点面距离、求二面角、证明线面平行 【分析】（1）作辅助线，可证，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）作辅助线，根据线面垂直分析可知为二面角的平面角，即可得结果； （3）由（2）可知：平面ABCD，利用等体积转化法求点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）取AB的中点O，连接SO，CO，AC，    因为，则， 且平面平面ABCD，平面平面，平面SAB， 所以平面ABCD， 由题意可知：为等边三角形，则， 且，平面，可得平面， 由平面可得， 又因为，则，， 可知为二面角的平面角， 在中，则，，， 可得， 所以二面角的余弦值为． （3）由（2）可知：平面ABCD， 且，， 设点B到平面SCD的距离为h， 因为，则， 即，解得， 所以B到平面SCD的距离为． 19．已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：． 【答案】(1)，； (2)函数在R上单调递增，理由如下：                                       任取，，且，                                                     则，   由，得， ，                                   则，即， 所以函数在R上单调递增. (3)． 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求函数解析式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数定义求出解析式. （2）确定函数的单调性，再利用单调函数的定义推理得证. （3）利用奇函数的性质及单调性求出不等式的解集. 【详解】（1）由是定义在R上的奇函数，得，                         当时，，则                           所以函数在R上的解析式为，.   （2）略 （3）由是奇函数，得，   又在R上单调递增，则，解得，                         所以原不等式的解集为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $