云南省2025-2026学年高一下学期期末自编模拟数学卷（七）

**基本信息** 覆盖高一数学必修一、二核心内容，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合统计案例、立体几何等情境，考查数学抽象、空间观念与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|统计（中位数）、集合、向量、函数图像与零点|注重基础概念辨析，如函数零点区间判断考查数学眼光| |多项选择|3/18|基本不等式、解三角形、正方体动点问题|如正实数不等式结合最值考查运算能力，体现思维层次性| |填空|3/15|函数奇偶性、解三角形|函数奇偶性求参数强化数学语言表达| |解答|5/77|统计案例（200人成绩分析）、立体几何证明与距离、函数奇偶性与不等式恒成立|统计题分析数据价值，立体几何三问递进考查空间观念，函数题结合不等式恒成立凸显逻辑推理，契合期末综合复习需求|

2025-2026学年云南省高一期末模拟考试卷（七） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．样本数据的中位数为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】计算几个数的中位数 【分析】结合中位数定义可得. 【详解】将已知数据从小到大排序为，则中位数为. 2．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算 【详解】由题可得，所以 3．已知向量满足，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、已知模求数量积 【详解】由，得， 所以，即； 由，得， 所以，即. 两式相减，得， 所以 . 4．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断. 【详解】由题意， 由题意及图得，函数为奇函数，且当时，， 对A选项，当时，，与图象不符，故A错误； 对B选项，当时，，与图象不符，故B错误； 对D选项，当时，，与图象不符，故D错误； 对C选项，在中， ，即该函数为奇函数， ，与图象相符，故C正确. 5．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间、比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】先判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在定理判断即可. 【详解】由题意可知函数的定义域为， 又因为与在均单调递减， 所以在均单调递减且连续， 因为，， 所以函数的唯一零点所在区间为. 6．已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的体积为（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【详解】当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可以将其补成一个长方体，该三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球，外接球的直径等于长方体的体对角线长度. 已知，，则长方体的体对角线 ， 因此，外接球半径. 球的体积 7．已知是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数周期性的应用、比较对数式的大小、函数奇偶性的应用 【分析】根据题意，得到函数的图象关于直线对称，进而推得函数也是周期等于的函数，化简得到，结合对数函数的单调性，即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，可得， 所以函数的图象关于直线对称，则有， 再由是定义在上的周期为2的函数， 可得函数也是周期等于2的函数， 所以， 又因为时，是增函数，可得． 8．已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、由奇偶性求参数 【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得. 【详解】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．若正实数满足 ，则（     ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】BCD 【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值、求二次函数的值域或最值、基本不等式求和的最小值 【分析】根据“1”的变形技巧，基本不等式以及二次函数的性质逐项分析求解即可. 【详解】对于A，由， 则， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值是，故A错误； 对于B，由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值是，故B正确； 对于C，由， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以， 所以， 设， 由二次函数开口向上，对称轴为：， 所以该二次函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故D正确. 10．下列说法正确的有（    ） A． B．已知，则 C． D．在中，角的对边分别为，若，则 【答案】ABD 【知识点】诱导公式五、六、用和、差角的正弦公式化简、求值、逆用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】对A，利用诱导公式化简原式各项，再用两角差的正弦公式计算结果验证等式；对B，将目标角变形为已知角的二倍加，结合诱导公式和二倍角公式计算结果验证；对C，利用诱导公式化简各正切项，结合两角和的正切公式变形计算结果验证等式；对D，根据判断三个内角均为锐角，结合三角形正切恒等式证明不等式成立. 【详解】对于A：，A正确； 对于B：，B正确； 对于C：因为，所以， 所以 .C错误； 对于D：在中，因为，所以， 又， 所以， 由，可知均为锐角（若一个为钝角，乘积为负，不满足不等式），因此，又，可得，即也为锐角， 设，由均值不等式， 则， 令， 因为， 所以，即，所以，因此恒成立， D正确. 11．如图，在棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，则以下命题正确的是（   ）    A．取得最小值 B．当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 C．四面体的外接球的表面积为时， D．当为线段中点时，过作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为 【答案】ABD 【知识点】判断正方体的截面形状、球的截面的性质及计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】选项 A，将正方体侧面与底面沿展开到同一平面，进而得到的最小值. 选项B，取中点，通过计算得到四边形是菱形，即可判断；选项C，当时得到两两垂直，则四面体的外接球的直径，从而得到，求出外接球表面积；选项 D，正方体外接球的球心为体对角线中点，求出球的半径，当截面垂直于时，截面圆半径最小，求的最大值为球心到的距离，从而得到即可判断. 【详解】选项 A，将正方体侧面与底面沿展开到同一平面， 则， 此时、、三点共线时，等号成立，则取得最小值， 故A正确.    选项B，取中点，连接，正方体的棱长为2，为线段中点， 则，则四边形是菱形， 则平面就是平面，此截面是平行四边形，故B正确.    选项C，当时，因为两两垂直， 所以四面体的外接球的直径, 则，此时外接球表面积为，故C错误. 选项 D，正方体外接球的球心为体对角线中点， 半径， 当截面垂直于时，截面圆半径最小，， 的最大值为球心到的距离， 即，故， 截面面积最小值为，故D正确. 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．______． 【答案】 【知识点】求复数的模 【分析】根据复数模的计算公式求解. 【详解】. 13．已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数 【分析】根据偶函数的性质求解. 【详解】因为函数是偶函数，当时，， 所以，解得. 14．在 中， ， ，则 的值为_____. 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】取的中点为，连接，利用向量的投影向量大小即可求解. 【详解】取的中点为，连接， 由，所以， 所以在上的投影向量的大小为， 所以. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．已知． (1)求与垂直的单位向量的坐标； (2)设，若向量，共线，求k的值． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、垂直关系的向量表示 【分析】（1）结合垂直条件和单位向量模长为1列方程组求解； （2）利用共线向量的坐标关系列方程求参数. 【详解】（1）设单位向量，由且可得： ， 将代入第二个方程得，解得，对应， 故所求单位向量坐标为或. （2），， 由两向量共线的坐标条件得：， 化简得，解得. 16．现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下： 成绩分组 人数 40 60 60 32 8 以频率估计概率，完成下列问题： (1)求数学成绩低于120分的概率； (2)从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率； (3)每组数据取左端、中间、右端，比较、、的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、独立重复试验的概率问题、用频率估计概率 【分析】（1）先求样本中数学成绩低于分的频率，再由频率估计概率； （2）先分别求事件成绩不低于分的概率和事件成绩小于分的概率，再由独立事件概率乘法公式求结论； （3）根据方差公式分别求，比较大小可得结论. 【详解】（1）由已知样本中数学成绩低于分的频率为， 所以数学成绩低于分的概率为， （2）从学校随机抽取一人，该学生成绩不低于分的概率为， 小于分的概率为， 所以从学校随机抽取人，人不低于且人小于的概率为， （3）每组数据取左端的值记为，， 每组数据取中间的值记为，， 每组数据取右端的值记为，， 由已知，，，，， 所以， 由已知，，，，， 所以， ，，，，， 所以， ， 所以. 17．已知正三棱柱的棱长均为，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 (3)求点到平面的距离 ． 【答案】(1)连接交于点，连接， 则正三棱柱中是平行四边形， 所以为的中点，又为的中点， 所以，平面， 平面， 所以平面. (2)因为为正三角形，为的中点，所以． 又平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. (3) 【知识点】求点面距离、证明面面垂直、锥体体积的有关计算、证明线面平行 【分析】（1）连接交于点，连接，利用平行四边形性质可得，然后利用线面平行的判定定理证明即可； （2）结合棱柱的性质，利用线面垂直的判定定理证明平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可； （3）过作，垂足为，利用勾股定理得，利用面面垂直的性质定理得所以平面，即可得到平面的距离，进而利用等体积法求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）过作，垂足为， 由题意可得，，， 所以，所以， 所以的面积， 因为正三棱柱中，平面 平面， 又平面 平面，平面，且， 所以平面， 即到平面的距离为， 又的面积， 所以， 又， 所以，解得， 所以点到平面的距离为. 18．内角，，的对边分别为，，，满足． (1)求证：； (2)当角取得最大值时，的面积为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）将进行切化弦，利用正弦定理和余弦定理可得结论. （2）求出为锐角，利用余弦定理结合基本不等式得到，此时最大，利用平方关系得到．利用三角形的面积公式求出的值． 【详解】（1）由，可得．   由正弦定理可得．   故．   由余弦定理可得．   化简得． （2）因为角取得最大值，所以为锐角，， 因为，所以，所以， 所以，所以为锐角， 则，   当且仅当即时取等号．   此时最大，且．   所以．   解得． 19．已知函数，函数是奇函数． (1)求实数a的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题、由奇偶性求参数 【分析】（1）通过求解，并验证即可； （2）由函数的单调性和奇偶性，通过去“”法，结合分离参数、基本不等式求最值，即可求解. 【详解】（1）因为的定义域为，且函数是奇函数， 由，得，则， 经检验是奇函数，满足题意，故． （2） 由解析式可知在上单调递增，且为奇函数， ∴由恒成立，得， 所以，时恒成立，即在上恒成立， 令，，则 又，当且仅当，即时取等号， 所以实数的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年云南省高一期末模拟考试卷（七） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．样本数据的中位数为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 2．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 3．已知向量满足，，则（     ） A． B． C． D． 4．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 5．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 6．已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的体积为（） A． B． C． D． 7．已知是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．若正实数满足 ，则（     ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 10．下列说法正确的有（    ） A． B．已知，则 C． D．在中，角的对边分别为，若，则 11．如图，在棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，则以下命题正确的是（   ）    A．取得最小值 B．当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 C．四面体的外接球的表面积为时， D．当为线段中点时，过作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．______． 13．已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 14．在 中， ， ，则 的值为_____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．已知． (1)求与垂直的单位向量的坐标； (2)设，若向量，共线，求k的值． 16．现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下： 成绩分组 人数 40 60 60 32 8 以频率估计概率，完成下列问题： (1)求数学成绩低于120分的概率； (2)从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率； (3)每组数据取左端、中间、右端，比较、、的大小关系． 17．已知正三棱柱的棱长均为，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 (3)求点到平面的距离 ． 18．内角，，的对边分别为，，，满足． (1)求证：； (2)当角取得最大值时，的面积为，求． 19．已知函数，函数是奇函数． (1)求实数a的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $