云南省2025-2026学年高一下学期期末自编模拟数学卷（九）

**基本信息** 2025-2026学年云南省高一期末数学模拟卷，覆盖必修一、必修二统计前内容，通过科举制度、三农科普等情境融合集合、函数、几何、统计知识，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合运算、函数性质、棱台体积|第1题以科举录取比例考查比例计算，渗透文化传承| |多项选择|3/18|立体几何命题、函数对称性|第9题辨析空间线面关系，考查逻辑推理能力| |填空题|3/15|向量垂直、函数定义域|第13题通过向量垂直求参数，强化基础运算| |解答题|5/77|统计均值方差、立体几何证明、函数单调性|第15题分析三农科普成绩，用数据描述现实问题；第19题结合奇函数定义与单调性证明，体现数学思维|

2025-2026学年云南省高一期末模拟考试卷（九） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为300，则北卷录取人数为（    ） A．140 B．105 C．70 D．30 【答案】B 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】先计算北卷录取人数占总录取人数的比例，再结合总录取人数求解北卷录取人数即可. 【详解】由题意，会试南卷、北卷、中卷的录取比例为， 因此北卷录取人数占总录取人数的比例为， 已知该年会试录取总人数为300，故北卷录取人数为. 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】并集的概念及运算 【详解】，， 所以. 3．已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【详解】法1，因为，则， 解得，则，则， 所以. 法2，因为，则由，解得， 设，，则； 由向量减法的几何意义，可得 4．已知棱台的上、下底面均是有一个内角为的菱形，上、下底面的边长分别为2，3，该棱台的高为，则其体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】分别求出棱台的上底面面积和下底面面积，再根据棱台的体积公式求得该棱台的体积. 【详解】由题意，得棱台的上底面面积为， 下底面面积为， 所以该棱台的体积为. 5．已知正实数满足时，有恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、解不含参数的一元二次不等式 【分析】利用基本不等式求出的最小值，再代入解不等式即可． 【详解】解：因为正实数满足， 所以， 当且仅当时，等号成立，即时，等号成立， 因为正实数满足时，有恒成立， 所以，即， 即，得最大值为8． 6． （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用同角三角函数的基本关系将切化弦，二倍角公式及和差角公式，并结合三角变换公式可得； 【详解】 7．定义一种运算，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求指数函数在区间内的值域、分段函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域 【详解】当时，，， 因为在上是单调递增函数，所以，即； 当时，，， 因为在上是单调递减函数，所以，即； 综上可知，的值域为.故选项C正确. 8．下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、定义法判断或证明函数的单调性 【详解】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误； B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误； 方法一： C，在中，，则， ，函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，则为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： C，在中，，则，为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，为奇函数， ∵和是增函数，则为增函数， ∴函数单调递增，故正确. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9． ，是三个平面， 是两条直线，下列四个命题中错误的是（ ） A．若 ，则 B．若 则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】BD 【知识点】判断线面平行、判断面面平行、线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【详解】对于A，若 ， 由平面与平面平行的性质可得，故选项A正确； 对于B，若， 当与相交时，，故选项B错误； 对于C，若则与无公共点，因为，所以与无公共点， 所以，故选项C正确； 对于D，若，，则或与相交，故选项D错误. 10．已知函数，则（   ） A． B．的定义域为 C．曲线关于点对称 D． 【答案】ABC 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、求正切（型）函数的对称中心、求正切（型）函数的定义域 【详解】A选项，，故A正确； B选项，由，解得， 则的定义域为，故B正确； C选项，令，得， 则函数的对称中心为， 令，得，则曲线关于点对称，故C正确； D选项，，故D错误． 11．已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 【答案】BCD 【知识点】复合函数的定义域、已知f（g（x））求解析式、求函数值、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】对于A，由配凑法或整体换元法可得解析式；对于B，由A分析可得解析式，据此可得值域；对于C，由复合函数定义域求法可得答案；对于D，由A分析可得，据此可得答案. 【详解】对于A，法一：依题意，， 则，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以则，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，，因此，故D正确． 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．化简__________． 【答案】 【知识点】复数代数形式的乘法运算 【详解】. 13．已知向量，，且，则__________． 【答案】 13 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【详解】因为，，， 所以，解得. 14．函数中自变量的取值范围是__________． 【答案】且 【知识点】具体函数的定义域 【详解】由题意得且，解得且． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．某校两个班级准备参加全市“三农”农业、农村和农民科普大赛，每班各自随机选出10名学生，测验“三农”科普成绩满分10分以评估对“三农”的了解程度，测验成绩如下单位：分： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 乙 9 6 (1)分别计算两个样本的平均值和方差； (2)根据计算结果估计哪个班的成绩更稳定？假如两个班级的“三农”科普成绩处于全市班级的中等偏上水平，该校为了获得更好名次，选择哪个班级参赛？并说明理由． 【答案】(1) 甲班样本平均值为，方差为；乙班样本平均值为，方差为. (2) 甲班成绩更稳定；应选择乙班参赛，理由如下： 甲乙两班平均成绩相同，整体均处于中等偏上水平； 乙班成绩波动更大，存在9分、8.4分等高分数，最高成绩高于甲班的最高成绩，冲击更高名次的可能性更大，因此选择乙班参赛. 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、用方差、标准差说明数据的波动程度 【分析】（1）利用平均数、样本方差的定义公式，分别代入两班的成绩计算即可； （2）依据方差越小数据波动越小的性质判断稳定性，结合竞赛按高分排名的规则，比较两班高分分布确定参赛班级. 【详解】（1）设样本平均值为，样本方差为，样本容量， ① 对于甲班样本： ， ； ② 对于乙班样本： ， . （2）因为，方差越小成绩波动越小，因此甲班成绩更稳定； 选择乙班参赛，理由略. 16．如图，的外接圆⊙O的半径为，所在的平面，，，，且，． (1)求证：平面BCDE； (2)求几何体ABCDE的体积． 【答案】(1)证明：所在的平面，， 平面，又平面，，又，， ，， 又的半径为，为圆的直径， ，又平面，平面， ，又.平面，平面， 平面； (2)． 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直 【分析】（1）由题可得为圆的直径，进而可得平面，然后利用面面垂直的判定定理即得； （2）利用锥体的体积公式即得． 【详解】（1）略 （2），，，，， 因为，平面，平面， 所以平面，所以点到平面的距离即点到平面的距离. 因为平面，平面，所以， 又如图可知为直径，所以，，平面， 所以平面. ， 即几何体的体积为． 17．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 18．在中，角的对边分别为 ，已知. (1)求证：； (2)若，求； 【答案】(1)由正弦定理可得， 即有， 则或， 若，则； 若，则，舍去； 故. (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角后，利用两角差的正弦公式计算即可得； （2）借助同角三角函数基本关系与二倍角公式计算可得 、 、 ，再利用三角形内角和与两角和的正弦公式计算即可得. 【详解】（1）略 （2）由，所以，则， 由，则， 由，则，解得，， 故 . 19．已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【答案】(1) (2)在上单调递增.              证明如下：任取且， ， ，且，，， 所以，即，   所以在上单调递增. (3) 【知识点】由函数奇偶性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，则，                           又，则.                         . （2）略 （3）在上是奇函数且单调递增， 由得  ，          ，解得：  ，         不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年云南省高一期末模拟考试卷（九） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为300，则北卷录取人数为（    ） A．140 B．105 C．70 D．30 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知棱台的上、下底面均是有一个内角为的菱形，上、下底面的边长分别为2，3，该棱台的高为，则其体积为（     ） A． B． C． D． 5．已知正实数满足时，有恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6． （    ） A． B． C． D． 7．定义一种运算，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 8．下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9． ，是三个平面， 是两条直线，下列四个命题中错误的是（ ） A．若 ，则 B．若 则 C．若 ，则 D．若 ，则 10．已知函数，则（   ） A． B．的定义域为 C．曲线关于点对称 D． 11．已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．化简__________． 13．已知向量，，且，则__________． 14．函数中自变量的取值范围是__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．某校两个班级准备参加全市“三农”农业、农村和农民科普大赛，每班各自随机选出10名学生，测验“三农”科普成绩满分10分以评估对“三农”的了解程度，测验成绩如下单位：分： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 乙 9 6 (1)分别计算两个样本的平均值和方差； (2)根据计算结果估计哪个班的成绩更稳定？假如两个班级的“三农”科普成绩处于全市班级的中等偏上水平，该校为了获得更好名次，选择哪个班级参赛？并说明理由． 16．如图，的外接圆⊙O的半径为，所在的平面，，，，且，． (1)求证：平面BCDE； (2)求几何体ABCDE的体积． 17．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 18．在中，角的对边分别为 ，已知. (1)求证：； (2)若，求； 19．已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $