专题7 二次函数图象抛物线与直线 专项练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数与直线交点问题，按直线类型分四类系统编排，以题载法构建从特殊到一般的解题逻辑 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |抛物线与x轴相交|7题|含交点个数判断、方程解范围、坐标估计等|从基础交点概念到方程解的几何意义，渗透数形结合| |与x轴平行直线相交|8题|涉及两点距离、参数范围、图象翻折|特殊直线（y=k）交点，强化对称轴与区间最值关系| |与y轴平行直线相交|3题|含线段长度、面积关系、动态探究|垂直x轴直线（x=t）交点，深化函数值比较与变量控制| |与一般直线相交|8题|综合交点个数、参数范围、跨函数应用|一般直线y=kx+b交点，提升方程思想与分类讨论能力|

专题7 二次函数图象抛物线与直线（线段）交点问题 类型一 抛物线与x轴相交 1．（2026春•南岗区校级月考）抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026•贵州二模）二次函数y＝x2+nx的图象如图所示，对称轴为直线x＝3，若关于x的一元二次方程x2+nx﹣m＝0（m为实数）在2＜x＜7的范围内有解，则m的取值范围是（　　） A．m＞7 B．﹣8＜m≤2 C．﹣9≤m＜7 D．m≤2 3．（2026•柳江区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54）为图象上的两点，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解可能是（　　） A．2.75 B．2.68 C．2.45 D．2.18 4．（2026•相城区二模）定义：若二次函数的图象与坐标轴有三个公共点，且以这三个公共点为顶点的三角形是直角三角形，则称这样的二次函数为勾股二次函数．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）是勾股二次函数，且其图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．下列结论：①OC2＝OA•OB，②ac＝1，③若AB＝4OA，则，④若该函数图象的对称轴为直线x＝1，则bc＝2．其中正确的是（　　） A．①④ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 5．（2026•章丘区校级模拟）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），对称轴为l：x＝1，直线y＝kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），则|x1﹣x2|最小值为（　　） A．4 B．4 C．2 D．2 6．（2026•河南二模）数学探究课上，“善思”学习小组利用函数图象求方程x2+2x﹣2＝0的实数根时，先画出函数y＝x2+2x﹣2的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程x2+2x﹣2＝0的负的实数根可能是　 （结果保留小数点后一位）． 7．（2026•巨野县模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，若该图象与y轴交点的纵坐标是2，与x轴的一个交点在点（2，0）和（3，0）之间．则下列结论：①2a+b＝0；②方程ax2+bx+c＝0中一定有一个根在﹣2和﹣1之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④b﹣a＞2．其中，正确结论的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 类型二 抛物线和与x轴平行的直线相交 8．（2026•嘉善县二模）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+t（a＜0）经过A（﹣2，8），B（0，6），C（4，﹣10）这三点中的两个点． （1）求a+t的值； （2）已知t﹣11≤x≤t+m（其中m＞﹣11）， ①若此时函数的最小值为﹣24，求实数m的最大值； ②设l是一条平行于x轴的直线，此时，我们把函数图象上到直线l距离为d的点的个数记作nd﹣l.当m＝﹣3，d＝16时，nd﹣l＝3，求直线AC与l的交点坐标． 9．（2026•包河区二模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与直线y＝k交于点A、B． （1）若点A，B的横坐标分别为1，3且函数的最小值为2，求b，c的值； （2）若k＝0，即点A、B在x轴上时，点A，点B的横坐标分别为x1，x2． （i）b＝　 　 ，c＝ （用含x1，x2的代数式表示）； （ii）若该函数的图象经过点（1，n），且x1＝﹣1，0＜x2＜1，求c•n的取值范围． 10．（2026•曲阜市二模）已知二次函数y＝（x﹣a）（x﹣a﹣4）（a为常数）． （1）当a＝2时，求该二次函数图象的顶点坐标； （2）与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点，且点B的横坐标为a﹣1，求线段AB的长； （3）若1＜a＜3，点（2a﹣3，m），（4a﹣5，n）在该二次函数图象上，试说明m＞n． 11．（2026•瑶海区校级三模）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）． （1）求a的值． （2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值． （3）设m＜3，抛物线y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值． 12．（2026•平顶山模拟）如图，抛物线y＝﹣x2﹣2ax﹣2a+6（a为常数）与x轴交于A（﹣2，0），B两点． （1）求抛物线的表达式及顶点坐标． （2）作直线PQ⊥y轴于点M，分别交抛物线于点P，Q两点（P在Q左边），若线段PQ的长为4，求点M的坐标． （3）已知，线段EF的两个端点的坐标为E（﹣1，3n﹣1），F（3，3），且线段EF和抛物线有且只有一个交点，直接写出n的取值范围． 13．（2026•温州一模）已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b为常数）经过点A（2，﹣3），B（x1，t）． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当0≤x1≤k时，﹣4≤t≤﹣3，求k的最大值． （3）过点B与x轴平行的直线交抛物线于点C（x2，t），若4≤x2﹣x1≤6，求t的取值范围． 14．（2026•费县一模）已知点A（1，0）在抛物线y＝﹣x2+bx﹣5（b为常数）的图象上． （1）求b的值． （2）过点B（0，m）与x轴平行的直线交抛物线于C，D两点，且点C为线段BD的中点，求m的值． （3）设d1＜3＜d2，抛物线的一段y＝﹣x2+bx﹣5（d1＜x＜d2）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为18，求d2﹣d1的最大值． 15．（2026春•通州区校级月考）给定关于x的二次函数y＝kx2﹣4kx+3． （1）当二次函数y＝kx2﹣4kx+3与x轴只有一个公共点时，求k的值； （2）由于k的变化，二次函数的图象、性质有些随之变化，但也有不会变化的性质某学习小组在探究时得到以下结论： ①抛物线的对称轴不变； ②开口向上时，抛物线的顶点在第四象限； ③无论k取何值，总存在一条定直线与该抛物线交于两点． 请你判断以上结论是否正确，并说明理由． 类型三 抛物线和与y轴平行的直线相交 16．（2026•涟源市模拟）如图，函数y＝x2﹣1的图象C1与函数y＝﹣x2+bx+c的图象C2相交于A（﹣1，0），B（2，3）两点．直线x＝t（﹣1＜t＜2）与图象C1，C2分别交于E，F两点． （1）求b，c的值． （2）设直线x＝t（﹣1＜t＜2）与线段AB交于点D，记△BDF和△ADE的面积分别为S1，S2，当S1＝S2时，求t的值． （3）若t满足a≤t≤a+1，且﹣1＜a＜1，试问t取何值时，线段EF的长度最大？并求出这个最大长度． 17．（2026•黑龙江二模）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边），交y轴于点C，其对称轴为x＝﹣1，抛物线l2经过点A，与x轴交于另一点E（﹣5，0），交y轴于点D（0，﹣5）． （1）求抛物线l2的解析式； （2）M为抛物线l2上一动点，作MN∥y轴，交抛物线l1于点N，直接写出点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值． 18．（2026•乐陵市二模）已知抛物线y＝x2﹣（2a+1）x+2． （1）若a＝1，求图象与x轴的交点坐标； （2）若，是抛物线上不同的两点，且点C（x1+x2，m）也在抛物线上，求m的值； （3）在（1）的条件下，作一条垂直于x轴的直线x＝n，交抛物线于点P，交直线y＝x﹣1于点Q，当线段PQ随n的增大而增大时，求字母n的取值范围． 类型四 抛物线与y=kx+b 的直线相交 19．（2026•龙马潭区二模）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3及一次函数y＝x+m，将该二次函数y＝﹣x2﹣2x+3在x轴下方的图象沿x轴进行翻折，其余部分不变，得到一个新的函数图象，当直线y＝x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（　　） A．3＜m＜5 B．﹣1＜m＜3 C．3＜m D．5＜m 20．（2026•茌平区二模）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是A，对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点为B（4，0）；直线AB的解析式为y2＝mx+n（m≠0），下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）；④方程ax2+bx+c＝mx+n有两个不相等的实数根．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．②③④ 21．（2026•长沙模拟）已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的顶点为（﹣1，﹣4），直线l：y＝x+n与C1相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． （1）若点A的坐标为（﹣4，5），求点B的坐标； （2）当点A，B都在x轴上方时，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，取AB的中点Q，连接CQ，DQ，用S1，S2，S3分别表示△ACQ，△QCD，△QDB的面积．若S2＝S1S3（S2＞4），求的值； （3）已知抛物线C2：y＝mx2与直线l交于E，F两点（点E在线段AB上，点F在点B右侧）．若，a，m是整数，且满足m＞a＞0，求a+m的值． 22．（2026•卢氏县二模）已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）过点（1，﹣4）． （1）若该抛物线与y轴交于点（0，﹣3）． ①求该抛物线的解析式及顶点坐标； ②已知A（﹣m+3，y1），B（2，y2）在该抛物线上，当y1＞y2时，求m的取值范围； （2）若该抛物线与x轴的两个交点的横坐标的和为3，直线y＝x+n在第四象限内有两个交点，请直接写出n的取值范围． 23．（2026•义乌市二模）已知抛物线y＝ax2﹣1（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB＝2．将抛物线向右平移m个单位后得到抛物线y1，并与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）． （1）求a的值． （2）若点C恰好为AB的中点，则当y＞y1时，求x的取值范围． （3）若直线y＝m﹣1与抛物线y，y1均有两个交点（交点均无重合），且相邻两交点之间的距离均相等，求m的值． 24．（2026春•西城区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）与x轴交于点A、B，AB长为2． （1）求出抛物线的解析式； （2）直线y＝x+3交抛物线于C、D两点，C点在D点左侧．E（t，y1），F（6﹣t，y2）为抛物线上不同的两点．抛物线上C、E两点及之间的部分记为图形G1；D、F两点及之间的部分记为图形G2．若存在点P（x3，y3），Q（x4，y4）分别位于G1，G2上，使得y3＞y4，求t的取值范围． 25．（2026•德州一模）已知抛物线y＝﹣x2+ax+1（a为常数）经过点（3，4）． （1）求该抛物线的解析式； （2）若过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B恰为线段AC的中点，求t的值； （3）直线l1：y＝2x+t（t为常数），向下平移9个单位长度得到直线l2．设m＜2＜n，抛物线y＝﹣x2+ax+1（m≤x≤n）的一段夹在直线l1，l2之间，求n﹣m的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7 二次函数图象抛物线与直线（线段）交点问题 类型一 抛物线与x轴相交 1．（2026春•南岗区校级月考）抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4﹣4＝0，可知抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴有1个交点，再根据抛物线y＝x2﹣2x+1与y轴有1个交点，可知抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数为2个． 【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4﹣4＝0， ∴抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴有1个交点． ∵抛物线y＝x2﹣2x+1与y轴有1个交点， ∴抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数为1+1＝2（个）． 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．（2026•贵州二模）二次函数y＝x2+nx的图象如图所示，对称轴为直线x＝3，若关于x的一元二次方程x2+nx﹣m＝0（m为实数）在2＜x＜7的范围内有解，则m的取值范围是（　　） A．m＞7 B．﹣8＜m≤2 C．﹣9≤m＜7 D．m≤2 【分析】若关于x的一元二次方程x2+nx﹣m＝0（m为实数）在2＜x＜7的范围内有解，则二次函数y＝x2+nx的图象与直线y＝m在2＜x＜7的范围内有交点．由题意可得，解得n＝﹣6，则二次函数解析式为y＝x2﹣6x，进而可得二次函数y＝x2﹣6x的图象的顶点坐标为（3，﹣9），当x＝7时，y＝7，再结合图象可得m的取值范围是﹣9≤m＜7． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+nx﹣m＝0（m为实数）在2＜x＜7的范围内有解， ∴二次函数y＝x2+nx的图象与直线y＝m在2＜x＜7的范围内有交点． ∵二次函数y＝x2+nx的图象的对称轴为直线x＝3， ∴， 解得n＝﹣6， ∴二次函数解析式为y＝x2﹣6x， ∴二次函数y＝x2﹣6x的图象的顶点坐标为（3，﹣9），当x＝7时，y＝7， ∴m的取值范围是﹣9≤m＜7． 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．（2026•柳江区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54）为图象上的两点，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解可能是（　　） A．2.75 B．2.68 C．2.45 D．2.18 【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是﹣0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间． 【解答】解：当x＝2.18时，y＝﹣0.51；当x＝2.68时，y＝0.54， 当y＝0时，2.18＜x＜2.68，只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式；二次函数值为0，就是函数图象与x轴的交点，跟所给的接近的函数值对应的自变量相关． 4．（2026•相城区二模）定义：若二次函数的图象与坐标轴有三个公共点，且以这三个公共点为顶点的三角形是直角三角形，则称这样的二次函数为勾股二次函数．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）是勾股二次函数，且其图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．下列结论：①OC2＝OA•OB，②ac＝1，③若AB＝4OA，则，④若该函数图象的对称轴为直线x＝1，则bc＝2．其中正确的是（　　） A．①④ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【分析】连接AC、BC，如图，利用新定义得到∠ACB＝90°，先证明Rt△ACO∽Rt△CBO，则利用相似三角形的性质得到OC：OB＝OA：OC，从而可对①进行判断；设A（m，0），B（n，0），则OA＝﹣m，OB＝n，利用根与系数的关系得到mn，由于OC＝c，OC2＝OA•OB，所以c2＝﹣mn，即c2，所以ac＝﹣1，于是可对②进行判断；当OB＝4OA，则n＝﹣4m，利用根与系数的关系得到m+n，mn，然后消去m、n得到b2ac，则利用ac＝﹣1可对③进行判断；若该函数图象的对称轴为直线x＝1，根据对称轴方程得到b＝﹣2a，所以bc＝﹣2ac，则利用ac＝﹣1可对④进行判断． 【解答】解：连接AC、BC，如图， ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）是勾股二次函数， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ACO+∠BCO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°， ∴∠ACO＝∠CBO， ∴Rt△ACO∽Rt△CBO， ∴OC：OB＝OA：OC， ∴OC2＝OA•OB，所以①正确； 设A（m，0），B（n，0），则OA＝﹣m，OB＝n， ∵m、n为关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根， ∴mn， 当x＝0时，y＝ax2+bx+c＝c， ∴C（0，c）， ∴OC＝c， ∵OC2＝OA•OB， ∴c2＝﹣mn， ∴c2， ∴ac＝﹣1，所以②不正确； 当AB＝4OA，则n＝﹣3m， ∵m+n，mn， ∴m﹣3m，﹣3m2， 解得m，m2， ∴（）2， ∴b2ac， 而ac＝﹣1， ∴b2，所以③正确； 若该函数图象的对称轴为直线x＝1， ∴1， ∴b＝﹣2a， ∴bc＝﹣2ac， ∵ac＝﹣1， ∴bc＝2，所以④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． 5．（2026•章丘区校级模拟）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），对称轴为l：x＝1，直线y＝kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），则|x1﹣x2|最小值为（　　） A．4 B．4 C．2 D．2 【分析】先求得抛物线解析式，然后联立抛物线和直线MN，建立方程组，转化为关于x的一元二次方程，进而根据根与系数的关系得出x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣3，再求|x1﹣x2|最小值． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）， ∴1． ∴m＝1． ∴点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3． 则， ∴x2+（k﹣2）x﹣1＝0①， ∴x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣1， ∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（2﹣k）2+4， 要使|x1﹣x2|最小，则（x1﹣x2）2最小， ∴（k﹣2）2+4最小， 即k＝2时，|x1﹣x2|最小值为2． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，最小值的确定方法，解题时注意配方法的应用． 6．（2026•河南二模）数学探究课上，“善思”学习小组利用函数图象求方程x2+2x﹣2＝0的实数根时，先画出函数y＝x2+2x﹣2的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程x2+2x﹣2＝0的负的实数根可能是　﹣2.7　 （结果保留小数点后一位）． 【分析】先根据图象求出抛物线的对称轴，再根据其对称性求出另一个交点的横坐标，即可得出方程的解． 【解答】解：函数y＝x2+2x﹣2的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7， 根据图象可知抛物线与x轴的交点的横坐标是x＝0.7，且对称轴是直线x＝﹣1， 则抛物线与x轴的另一个交点得横坐标是x＝﹣1×2﹣0.7＝﹣2.7， 所以方程x2+2x﹣2＝0的负实数根可能是﹣2.7． 故答案为：﹣2.7． 【点睛】本题考查图象法求一元二次方程的近似根，正确进行计算是解题关键． 7．（2026•巨野县模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，若该图象与y轴交点的纵坐标是2，与x轴的一个交点在点（2，0）和（3，0）之间．则下列结论：①2a+b＝0；②方程ax2+bx+c＝0中一定有一个根在﹣2和﹣1之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④b﹣a＞2．其中，正确结论的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据抛物线的对称轴是直线x＝1可判断结论①；根据抛物线与坐标轴的交点情况可判断结论②；根据二次函数与方程的关系可判断结论③；根据抛物线与y轴的交点及当x＝﹣1时的函数值可判断结论④． 【解答】解：∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴x1，c＝2， ∴b＝﹣2a， 2a+b＝2a﹣2a＝0，故结论①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点在2，3之间， ∴该抛物线与x轴的另一个交点在﹣1，0之间，故结论②错误； ∵抛物线与x轴的另一个交点在﹣1，0之间， ∴当x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+2＜0， ∴b﹣a＞2．故结论④正确； ∵b﹣a＞2，b＝﹣2a， ∴﹣3a＞2， ∴a， ∴﹣a， ∵当x＝1时，y最大值＝a﹣2a+2＝2﹣a， ∴2﹣a， ∵， ∴方程一定有两个不相等的实数根；故结论③正确． 正确的有①③④，共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质并灵活运用是解题的关键． 类型二 抛物线和与x轴平行的直线相交 8．（2026•嘉善县二模）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+t（a＜0）经过A（﹣2，8），B（0，6），C（4，﹣10）这三点中的两个点． （1）求a+t的值； （2）已知t﹣11≤x≤t+m（其中m＞﹣11）， ①若此时函数的最小值为﹣24，求实数m的最大值； ②设l是一条平行于x轴的直线，此时，我们把函数图象上到直线l距离为d的点的个数记作nd﹣l.当m＝﹣3，d＝16时，nd﹣l＝3，求直线AC与l的交点坐标． 【分析】（1）先判断抛物线经过点B、C，然后利用待定系数法求得解析式即可得出a、t的值． （2）①由（1）可知y＝﹣2（x﹣1）2+8，﹣3≤x≤m+8，当x＝﹣3时，x＝5时，y＝﹣24，由此可知m+8≤5，解得m≤﹣3，即﹣11＜m≤﹣3，故m的最大值为﹣3； ②由y＝﹣2（x﹣1）2+8，可知当l为y＝﹣8时，nd﹣l＝3，利用待定系数法求得直线AC为y＝﹣3x+2，把y＝﹣8代入即可求得直线AC与l的交点坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣1）2+t（a＜0）的开口向下，对称轴为x＝1， ∴当x＜1时，函数值y随x的增大而减小， ∵抛物线y＝a（x﹣1）2+t（a＜0）经过A（﹣2，8），B（0，6），C（4，﹣10）这三点中的两个点， ∴A（﹣2，8）不在抛物线上，B，C两点均在抛物线上， 将B（0，6），C（4，﹣10）代入y＝a（x﹣1）2+t（a＜0）， 可得， 解得， ∴a+t＝6； （另法：因为点B在抛物线上，故将B（0，6）代入y＝a（x﹣1）2+t即可得到a+t＝6．） （2）①∵， ∴y＝﹣2（x﹣1）2+8， ∵t﹣11≤x≤t+m， ∴﹣3≤x≤m+8， ∵当x＝﹣3时，y＝﹣24， ∴根据抛物线关于x＝1对称可知，当x＝5时，y＝﹣24， 又∵抛物线开口向下，函数的最小值为﹣24， ∴m+8≤5，解得m≤﹣3， 又∵m＞﹣11， ∴﹣11＜m≤﹣3， ∴m的最大值为﹣3； ②t﹣11≤x≤t+m，即﹣3≤x≤m+8， 当m＝﹣3时，﹣3≤x≤m+8即﹣3≤x≤5， 又∵y＝﹣2（x﹣1）2+8， ∴当l为y＝﹣8时，nd﹣l＝3， 设经过A（﹣2，8），C（4，﹣10）两点的一次函数为y＝kx+b， 将A（﹣2，8），C（4，﹣10）代入y＝kx+b， 可得，解得， 即经过A，C两点的一次函数为y＝﹣3x+2， 设直线AC与l的交于点P， ∵l：y＝﹣8， ∴在y＝﹣3x+2中令y＝﹣8，解得， ∴直线AC与l的交点． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由此函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．（2026•包河区二模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与直线y＝k交于点A、B． （1）若点A，B的横坐标分别为1，3且函数的最小值为2，求b，c的值； （2）若k＝0，即点A、B在x轴上时，点A，点B的横坐标分别为x1，x2． （i）b＝　﹣（x1+x2）　 ，c＝x1x2 （用含x1，x2的代数式表示）； （ii）若该函数的图象经过点（1，n），且x1＝﹣1，0＜x2＜1，求c•n的取值范围． 【分析】（1）根据题意，得出抛物线的对称轴为直线x＝2，再结合函数的最小值为2进行计算即可； （2）（i）利用函数与方程的关系即可解决问题； （ii）根据题意，用c表示出c•n，再结合c的取值范围即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 因为二次函数y＝x2+bx+c的图象与直线y＝k交于点A、B且点A，B的横坐标分别为1，3， 所以抛物线的对称轴为直线x＝2， 则， 解得b＝﹣4． 又因为函数的最小值为2， 则22+2×（﹣4）+c＝2， 解得c＝6， 所以b的值为﹣4，c的值为6； （2）（i）因为k＝0， 所以二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点． 因为点A，点B的横坐标分别为x1，x2， 所以x1，x2是方程x2+bx+c＝0的两个实数根， 则x1+x2＝﹣b，x1x2＝c， 所以b＝﹣（x1+x2），c＝x1x2． 故答案为：﹣（x1+x2），x1x2； （ii）因为该函数的图象经过点（1，n）和（﹣1，0）， 所以1+b+c＝n，1﹣b+c＝0， 则n＝2c+2． 因为x1＝﹣1，0＜x2＜1且c＝x1x2， 所以﹣1＜c＜0． 令y＝c•n＝c（2c+2）＝2c2+2c＝2（c）2， 所以当c时，y取得最小值， 当c＝0时，y＝0， 所以y＜0， 即c•n＜0． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数的图象及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 10．（2026•曲阜市二模）已知二次函数y＝（x﹣a）（x﹣a﹣4）（a为常数）． （1）当a＝2时，求该二次函数图象的顶点坐标； （2）与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点，且点B的横坐标为a﹣1，求线段AB的长； （3）若1＜a＜3，点（2a﹣3，m），（4a﹣5，n）在该二次函数图象上，试说明m＞n． 【分析】（1）依据题意，将a＝2代入y＝（x﹣a）（x﹣a﹣4）然后配方计算可以得解； （2）由题意得，对称轴为直线x＝a+2，设点A的横坐标为xA，则，从而xA＝2（a+2）﹣（a﹣1）＝a+5，进而可得AB的长为|（a﹣1）﹣（a+5）|＝6，故可得解； （3）依据题意，由二次项系数为1＞0，即抛物线开口向 上，则抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，又对称轴是直线x＝a+2，从而|（2a﹣3）﹣（a+2）|＝|a﹣5|＝5﹣a，|（4a﹣5）﹣（a+2）|＝|3a﹣7|，然后由，分类讨论计算可以得解． 【解答】解：（1）当a＝2时，函数为y＝（x﹣2）（x﹣2﹣4）＝（x﹣2）（x﹣6）＝x2﹣8x+12 ＝（x﹣4）2﹣4， ∴顶点坐标为（4，﹣4）； （2）由题意得，对称轴为直线x＝a+2， 设点A的横坐标为xA， ∴， ∴xA＝2（a+2）﹣（a﹣1）＝a+5， ∴AB的长为|（a﹣1）﹣（a+5）|＝6； （3）由题意，∵二次项系数为1＞0，即抛物线开口向 上， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大． ∵对称轴是直线x＝a+2， ∴|（2a﹣3）﹣（a+2）|＝|a﹣5|＝5﹣a（因为1＜a＜3，a﹣5＜0），|（4a﹣5）﹣（a+2）|＝|3a﹣7|， 由题意得，， ∴当时，2a﹣2＞0（因为a＞1），即5﹣a＞7﹣3a；当时，12﹣4a＞0（因为a＜3），即5﹣a＞3a﹣7， 综上，点（2a﹣3，m）到对称轴的距离更远， 又因为抛物线开口向上， ∴m＞n． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键． 11．（2026•瑶海区校级三模）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）． （1）求a的值． （2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值． （3）设m＜3，抛物线y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值． 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出对称轴，由题意，可知，B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t，中点得到xC＝2xB，对称性得到，求出xB，再代入函数解析式求出t的值即可； （3）根据题意，易得要使 n﹣m最大，则，m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和 x＝n关于对称轴对称，根据直线l1，l2之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4 时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，令x2﹣6x+5＝12求出x的值，进而确定m，n的值，进行求解即可． 【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）， 将点（1，0）代入得：1﹣a+5＝0， ∴a＝6； （2）由（1）知：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4， ∴对称轴为直线 x＝3， ∵点A（0，t）在y轴上，过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点， ∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t， 又∵点B为线段AC的中点， ∴xC＝2xB， ∴， ∴xB＝2， ∴x＝2代入y＝x2﹣6x+5，得：y＝22﹣6×2+5＝﹣3， ∴t＝﹣3； （3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标（3，﹣4）， 当抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间时， m，n为直线与抛物线的交点， ∴要使n﹣m最大，则，m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和x＝n关于对称轴对称， 又∵直线l1，l2之间的距离为16，为定值， ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，如图： ∴当x2﹣6x+5＝12时， 解得：x1＝7，x2＝﹣1， ∴n＝7，m＝﹣1， ∴n﹣m的最大值为：7﹣（﹣1）＝8． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 12．（2026•平顶山模拟）如图，抛物线y＝﹣x2﹣2ax﹣2a+6（a为常数）与x轴交于A（﹣2，0），B两点． （1）求抛物线的表达式及顶点坐标． （2）作直线PQ⊥y轴于点M，分别交抛物线于点P，Q两点（P在Q左边），若线段PQ的长为4，求点M的坐标． （3）已知，线段EF的两个端点的坐标为E（﹣1，3n﹣1），F（3，3），且线段EF和抛物线有且只有一个交点，直接写出n的取值范围． 【分析】（1）运用待定系数法即可求解函数表达式，再配方成顶点式即可求出顶点坐标； （2）根据抛物线的对称性求解即可； （3）当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣2+8＝5，要使得线段EF和抛物线有且只有一个交点，只需满足3n﹣1≥5，即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得： ∴﹣4+4a﹣2a+6＝0， 解得a＝﹣1， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8， 而y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9， ∴顶点为（1，9）； （2）设M（0，m）， 由（1）可得抛物线的对称轴为直线x＝1， 而线段PQ的长为4， ∴Q（1+2，m），P（1﹣2，m），即Q（3，m），P（﹣1，m）， 将x＝3代入y＝﹣x2+2x+8，则m＝﹣9+6+8＝5； 故M的坐标为：（0，5）； （3）当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣2+8＝5， ∴要使得线段EF和抛物线有且只有一个交点，只需满足3n﹣1≥5， 解得n≥2． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键． 13．（2026•温州一模）已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b为常数）经过点A（2，﹣3），B（x1，t）． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当0≤x1≤k时，﹣4≤t≤﹣3，求k的最大值． （3）过点B与x轴平行的直线交抛物线于点C（x2，t），若4≤x2﹣x1≤6，求t的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）结合二次函数的图象和性质求解即可． （3）利用二次函数的对称性以及图象和性质求解即可． 【解答】解：（1）由题意，∵知抛物线y＝x2+bx﹣3（b为常数）经过点A（2，﹣3）， ∴4+2b﹣3＝﹣3，则b＝﹣2， ∴y＝x2﹣2x﹣3． （2）∵y＝x2﹣2x﹣3，a＝1＞0， ∴对称轴为直线， 又∵抛物线开口向上， ∴当x＝1时，y最小值＝﹣4；而当x＝0或2时，y＝﹣3， ∴由图象可得，当0≤x1≤2时，﹣4≤t≤﹣3， ∴k的最大值为2． （3）∵点B（x1，t）和点C（x2，t）关于对称轴为直线x＝1对称， ∴， ∴x2＝2﹣x1， ∵4≤x2﹣x1≤6， 即4≤2﹣2x1≤6， ∴﹣2≤x1≤﹣1． ∵a＝1＞0，且当x＜1时，y随x的增大而减小， ∴当x＝﹣2时，t＝5；x＝﹣1时，t＝0． ∴t的取值范围是0≤t≤5． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 14．（2026•费县一模）已知点A（1，0）在抛物线y＝﹣x2+bx﹣5（b为常数）的图象上． （1）求b的值． （2）过点B（0，m）与x轴平行的直线交抛物线于C，D两点，且点C为线段BD的中点，求m的值． （3）设d1＜3＜d2，抛物线的一段y＝﹣x2+bx﹣5（d1＜x＜d2）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为18，求d2﹣d1的最大值． 【分析】（1）把点A（1，0）代入y＝﹣x2+bx﹣5 即可求出b的值； （2）由（1）得b＝6，则抛物线解析式为y＝﹣x2+6x﹣5，设直线BD解析式为y＝m，联立得，所以即x2﹣6x+5+m＝0，设C、D的横坐标为xC，xD，根据题意可得，则xD＝2xC，又xC+xD＝6，解得：xC＝2，则当x＝2时，y＝﹣22+6×2﹣5＝3，从而可得出m的值； （3）由抛物线的对称轴为直线x＝3，顶点为（3，4），因为d1＜3＜d2，所以抛物线在d1＜x＜d2最大值为顶点坐标的纵坐标4，又直线l1，l2之间的距离为18，则函数在d1＜x＜d2最小值为4﹣18＝﹣14，当y＝﹣14时，﹣x2+6x﹣5＝﹣14，解得，，要使d2﹣d1最大，则需d1＜x＜d2应尽可能大，即，，然后代入即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得： ∴0＝﹣12+b﹣5， 解得：b＝6； （2）由（1）得b＝6， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6x﹣5， 设直线BD解析式为y＝m， 联立得：， ∴﹣x2+6x﹣5＝m，即x2﹣6x+5+m＝0， 设C、D的横坐标为xC，xD， ∵点C为线段BD的中点，点B（0，m）， ∴， ∴xD＝2xC， ∵xC+xD＝6， ∴xC+2xC＝6，解得：xC＝2， ∴当x＝2时，y＝﹣22+6×2﹣5＝3， ∴m＝3； （3）设d1＜3＜d2，抛物线的一段y＝﹣x2+bx﹣5（d1＜x＜d2）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间． 由（1）得，y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝3，顶点为（3，4）， ∵d1＜3＜d2， ∴抛物线在d1＜x＜d2最大值为顶点坐标的纵坐标4， ∵直线l1，l2之间的距离为18， ∴函数在d1＜x＜d2之间的最小值为4﹣18＝﹣14， 当y＝﹣14时，﹣x2+6x﹣5＝﹣14， 解得：，， 要使d2﹣d1最大，则需d1＜x＜d2应尽可能大，即，， ∴d2﹣d1的最大值为． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键． 15．（2026春•通州区校级月考）给定关于x的二次函数y＝kx2﹣4kx+3． （1）当二次函数y＝kx2﹣4kx+3与x轴只有一个公共点时，求k的值； （2）由于k的变化，二次函数的图象、性质有些随之变化，但也有不会变化的性质某学习小组在探究时得到以下结论： ①抛物线的对称轴不变； ②开口向上时，抛物线的顶点在第四象限； ③无论k取何值，总存在一条定直线与该抛物线交于两点． 请你判断以上结论是否正确，并说明理由． 【分析】（1）Δ＝（﹣4k）2﹣4k×3＝0且k≠0，即可求解； （2）①对称轴为直线，即可判断 ②当x＝2时，顶点为（2，﹣4k+3），当时，当时，当时，进行判断即可； ③y＝kx2﹣4kx+3＝k（x2﹣4）+3，当x2﹣4＝0时，解出x＝0或x＝4，此时y＝3，与k无关，抛物线过定点（0，3）、（4，3），即可判断． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝kx2﹣4kx+3与x轴只有一个公共点， ∴Δ＝（﹣4k）2﹣4k×3＝0，且k≠0， 解得，k2＝0（舍去）， 故； （2）①对称轴为直线， ∴抛物线的对称轴不变； 故此项正确； ②当x＝2时， y＝4k﹣8k+3 ＝﹣4k+3， ∴顶点为（2，﹣4k+3）， ∵开口向上， ∴k＞0， 当时，y＝0，此时顶点在x轴上； 当时，y＞0，此时顶点在第一象限； 当时，y＜0，此时顶点在第四象限； ∴开口向上时，抛物线的顶点所在象限不确定； 故此项错误； ③y＝kx2﹣4kx+3 ＝k（x2﹣4x）+3， 当x2﹣4x＝0时，x＝0或x＝4，此时y＝3，与k无关， ∴抛物线过定点（0，3）、（4，3）， ∴经过此两点的定直线为y＝3， ∴无论k取何值，直线y＝3都与抛物线交于点（0，3）、（4，3）， 故此项正确． 综上，结论①正确，结论②错误，结论③正确． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用 类型三 抛物线和与y轴平行的直线相交 16．（2026•涟源市模拟）如图，函数y＝x2﹣1的图象C1与函数y＝﹣x2+bx+c的图象C2相交于A（﹣1，0），B（2，3）两点．直线x＝t（﹣1＜t＜2）与图象C1，C2分别交于E，F两点． （1）求b，c的值． （2）设直线x＝t（﹣1＜t＜2）与线段AB交于点D，记△BDF和△ADE的面积分别为S1，S2，当S1＝S2时，求t的值． （3）若t满足a≤t≤a+1，且﹣1＜a＜1，试问t取何值时，线段EF的长度最大？并求出这个最大长度． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线AB的表达式为y＝x+1，可得E（t，t2﹣1），F（t，﹣t2+2t+3），D（t，t+1），求出FD＝ED．过点B作直线x＝t的垂线交EF于点P，设直线x＝t与x轴的交点为点Q．得到BP＝2﹣t，AQ＝t+1，根据S1＝S2，建立方程求解即可； （3）求出线段，分，即，，即，，即，三种情况讨论即可． 【解答】解：（1）由题意得， ∴b＝2，c＝3； （2）由题意，设直线AB为y＝kx+d， ∴， ∴， ∴直线AB为y＝x+1； ∵直线x＝t（﹣1＜t＜2）与图象C1，C2分别交于E，F两点，与线段AB交于点D． ∴E（t，t2﹣1），F（t，﹣t2+2t+3），D（t，t+1）， ∴FD＝（﹣t2+2t+3）﹣（t+1）＝﹣t2+t+2，ED＝（t+1）﹣（t2﹣1）＝﹣t2+t+2， ∴FD＝ED． 过点B作直线x＝t的垂线交EF于点P，设直线x＝t与x轴的交点为点Q． ∴BP＝2﹣t，AQ＝t+1． ∵S1＝S2， ∴2﹣t＝t+1， ∴； （3）线段EF＝（﹣t2+2t+3）﹣（t2﹣1） ＝﹣2t2+2t+4 ． ∵若t满足a≤t≤a+1，且﹣1＜a＜1， ∴直线x＝t始终满足﹣1＜t＜2． i．若，即， 当t＝a+1时，线段EF的长度取得最大值﹣2a2﹣2a+4． ⅱ．若，即， 当时，线段EF的长度取得最大值． ⅲ．若，即， 当t＝a时，线段EF的长度取得最大值为﹣2a2+2a+4． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要能灵活运用二次函数的性质是关键． 17．（2026•黑龙江二模）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边），交y轴于点C，其对称轴为x＝﹣1，抛物线l2经过点A，与x轴交于另一点E（﹣5，0），交y轴于点D（0，﹣5）． （1）求抛物线l2的解析式； （2）M为抛物线l2上一动点，作MN∥y轴，交抛物线l1于点N，直接写出点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值． 【分析】（1）由对称轴可求得b，可求得l1的解析式，令y＝0可求得A点坐标，再利用待定系数法可求得l2的表达式； （2）由（1）可知，可设M（x，x2+4x﹣5），则N（x，﹣x2﹣2x+3），再联立抛物线l1和抛物线l2求出交点的横坐标；此时可知，需分：①当﹣4≤x≤1时，②当﹣5≤x＜﹣4时，这两种情况用x表示出MN的长度，进而结合二次函数的性质不难求出MN的最大长度． 【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1， ∴， 解得b＝2． ∴抛物线l1的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3． 令y＝0，可得﹣x2﹣2x+3＝0， 解得x＝﹣3或x＝1． ∴点A的坐标为（1，0）． ∵抛物线l2与x轴交于点E（﹣5，0）， ∴设抛物线l2的解析式为 y＝a（x+5）（x﹣1）（a≠0）． 又抛物线l2交y轴于点D（0，﹣5）， ∴﹣5＝﹣5a，解得 a＝1． ∴y＝（x+5）（x﹣1）＝x2+4x﹣5． ∴抛物线l2的解析式为y＝x2+4x﹣5； （2）由题意可设M（x，x2+4x﹣5）， ∵MN∥y轴， ∴N（x，﹣x2﹣2x+3）． 令﹣x2﹣2x+3＝x2+4x﹣5， 解得x＝﹣4或x＝1， ①当﹣4≤x≤1时，MN＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x2+4x﹣5）＝﹣2（x）2， ∴当x时，MN有最大值， ②当﹣5≤x＜﹣4时，MN＝（x2+4x﹣5）﹣（﹣x2﹣2x+3）＝2（x）2， 显然当x时，MN随x的增大而减小， ∴当x＝﹣5时，MN有最大值，2（﹣5）212，． 综上可知在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法、二次函数的性质、最短距离问题．此题注意中用M、N的坐标分别表示出MN的长，并注意分类讨论是解题的关键． 18．（2026•乐陵市二模）已知抛物线y＝x2﹣（2a+1）x+2． （1）若a＝1，求图象与x轴的交点坐标； （2）若，是抛物线上不同的两点，且点C（x1+x2，m）也在抛物线上，求m的值； （3）在（1）的条件下，作一条垂直于x轴的直线x＝n，交抛物线于点P，交直线y＝x﹣1于点Q，当线段PQ随n的增大而增大时，求字母n的取值范围． 【分析】（1）将a＝1代入，再令y＝0，解方程求出交点坐标即可； （2）根据题意可得，点A和点B关于抛物线的对称轴对称，结合抛物线的对称轴公式可得，x1+x2＝2a+1，代入解析式求出m的值； （3）将x＝n分别代入二次函数与一次函数的解析式求出点P和点Q的坐标，从而得到PQ＝|（n﹣1）（n﹣3）|．分三类讨论，当n＜1时，PQ＝（n﹣2）2﹣1，此时线段PQ随n的增大而减小，不符合题意；当1≤n＜3时，PQ＝﹣（n﹣2）2+1，在对称轴左侧，PQ随n的增大而增大，因此1≤n≤2；当n≥3时，符合题意． 【解答】解：（1）∵a＝1， ∴y＝x2﹣3x+2， 将y＝0代入y＝x2﹣3x+2，得， x2﹣3x+2＝0， 解得x1＝1，x2＝2， ∴y＝x2﹣（2a+1）x+2．图象与x轴的交点的坐标为（1，0）和（2，0）； （2）对称轴为直线， 由题意可得：∵， ∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称， ∴，即x1+x2＝2a+1， 将点C（2a+1，m）代入y＝x2﹣（2a+1）x+2，得， m＝（2a+1）2﹣（2a+1）2+2， ∴m＝2； （3）抛物线y＝x2﹣（2a+1）x+2中． 将x＝n代入y＝x2﹣3x+2，得y＝n2﹣3n+2， ∴点P的坐标为（n，n2﹣3n+2）， 将x＝n代入y＝x﹣1，得y＝n﹣1， ∴点Q的坐标为（n，n﹣1）， ∴PQ＝|n2﹣3n+2﹣（n﹣1）|＝|n2﹣4n+3|＝|（n﹣1）（n﹣3）|， ①当n＜1时，（n﹣1）（n﹣3）＞0， ∴PQ＝n2﹣4n+3＝（n﹣2）2﹣1， ∵1＞0， ∴图象开口向上， 又∵1＜2， ∴当n＜1时，线段PQ随n的增大而减小，不符合题意； ②当1≤n＜3时，（n﹣1）（n﹣3）≤0， ∴PQ＝﹣n2+4n﹣3＝﹣（n﹣2）2+1， ∵﹣1＜0， ∴图象开口向下， ∴当n≤2时，线段PQ随n的增大而增大；当n＞2时，线段PQ随n的增大而减小， 又∵1≤n＜3， ∴1≤n≤2； ③当n≥3时，（n﹣1）（n﹣3）≥0， ∴PQ＝（n﹣2）2﹣1，图象开口向上， ∴当n≥3时，线段PQ随n的增大而增大，符合题意； 综上所述，n的取值范围为1≤n≤2或n≥3． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键． 类型四 抛物线与y=kx+b 的直线相交 19．（2026•龙马潭区二模）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3及一次函数y＝x+m，将该二次函数y＝﹣x2﹣2x+3在x轴下方的图象沿x轴进行翻折，其余部分不变，得到一个新的函数图象，当直线y＝x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（　　） A．3＜m＜5 B．﹣1＜m＜3 C．3＜m D．5＜m 【分析】如图，解方程﹣x2﹣2x+3＝0得A（﹣3，0），B（1，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y＝（x﹣1）（x+3），即y＝x2+2x﹣3（x＜﹣3或x＞1），然后求出直线y＝x+m经过点A（﹣3，0）时m的值和当直线y＝x+m与抛物线y＝﹣x2﹣2x+3（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y＝x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围． 【解答】解：如图，在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0， 得﹣x2﹣2x+3＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴A（﹣3，0），B（1，0）， 将该二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方的部分图象的解析式为y＝（x﹣1）（x+3）， 即y＝x2+2x﹣3（x＜﹣3或x＞1）， 当直线y＝x+m经过点A（﹣3，0）时，﹣3+m＝0，解得m＝3； 当直线y＝x+m与抛物线y＝﹣x2﹣2x+3（﹣3≤x≤1）有唯一公共点时，方程﹣x2﹣2x+3＝x+m有相等的实数解，解得m， 所以当直线y＝x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为3＜m． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换． 20．（2026•茌平区二模）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是A，对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点为B（4，0）；直线AB的解析式为y2＝mx+n（m≠0），下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）；④方程ax2+bx+c＝mx+n有两个不相等的实数根．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．②③④ 【分析】先根据抛物线的开口方向、对称轴位置以及抛物线与y轴交点的位置，确定a，b，c的正负，进而判定abc的正负，可判①，根据抛物线对称轴为直线x＝1，则，即2a+b＝0可判②；先确定B点的横坐标，然后根据二次函数图像的对称性求得与x轴的另一个交点的横坐标，即可判定③；运用函数确定方程的根的情况，即可判定④． 【解答】解：抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是A，对称轴是直线x＝1，则： ①∵抛物线开口向下，故a＜0， ∵对称轴在y轴右侧，故b＞0， ∵抛物线与y轴交于正半轴，故c＞0， ∴abc＜0， 故①错误，不符合题意； ②因为抛物线对称轴是直线x＝1，则，∴2a+b＝0， 故②正确； ③因为抛物线对称轴是直线x＝1，B（4，0）， 所以抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），故③正确，符合题意； ④从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程ax2+bx+c＝mx+n有两个不相等的实数根， 故④正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键． 21．（2026•长沙模拟）已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的顶点为（﹣1，﹣4），直线l：y＝x+n与C1相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． （1）若点A的坐标为（﹣4，5），求点B的坐标； （2）当点A，B都在x轴上方时，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，取AB的中点Q，连接CQ，DQ，用S1，S2，S3分别表示△ACQ，△QCD，△QDB的面积．若S2＝S1S3（S2＞4），求的值； （3）已知抛物线C2：y＝mx2与直线l交于E，F两点（点E在线段AB上，点F在点B右侧）．若，a，m是整数，且满足m＞a＞0，求a+m的值． 【分析】（1）根据题意可设y＝a（x+1）2﹣4，再代点A（﹣4，5）可得a＝1及直线方程，再联立求点B坐标即可； （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，再分别表示出S1，S2，S3，结合S2＝S1S3直接计算即可； （3）设A（x3，y3），B（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），联立直线与抛物线得得ax2+（2a﹣1）x+a﹣n﹣4＝0，则，然后可得，再结合列方程求解． 【解答】解：（1）已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的顶点为（﹣1，﹣4），直线l：y＝x+n与C1相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． ∵C1的顶点为（﹣1，﹣4）， ∴C1的函数解析式为：y＝a（x+1）2﹣4． ∵点A在抛物线C1上， ∴将点A（﹣4，5）代入C1，得5＝a（﹣4+1）2﹣4＝9a﹣4， 解得a＝1， ∴C1的函数解析式为y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3． ∵直线y＝x+n过点A（﹣4，5）， ∴将点A（﹣4，5）代入y＝x+n，得5＝﹣4+n， 解得n＝9， ∴y＝x+9， ∴联立，解得， ∴点B的坐标为（3，12）； （2）当点A，B都在x轴上方时，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，取AB的中点Q， 设A（x1，y1），B（x2，y2）． 则点Q的坐标为． ∴， ， ， ∴S1+S3＝S2． ∵S2＝S1S3， ∴； （3）设A（x3，y3），B（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）． 由（1）可设C1的函数解析式为y＝a（x+1）2﹣4， 联立化简，得ax2+（2a﹣1）x+a﹣n﹣4＝0， ∵抛物线C1与直线l相交于A，B两点， ∴x3，x4为方程ax2+（2a﹣1）x+a﹣n﹣4＝0 的两根， ∴． 联立化简，得mx2﹣x﹣n＝0， ∵抛物线C2与直线l相交于E，F两点， ∴x5，x6为方程mx2﹣x﹣n＝0 的两根， ∴． ∵直线l与x轴正方向的夹角为45°， ∴， ， 化简，得， 即， ∴， ∴am+6a﹣6m＝0， ∴a（m+6）﹣6（m+6）＝﹣36， ∴（a﹣6）（m+6）＝﹣36． ∵a，m是整数，且m＞a＞0， ∴或或或， ∴a+m的值为5或9或16或35． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键． 22．（2026•卢氏县二模）已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）过点（1，﹣4）． （1）若该抛物线与y轴交于点（0，﹣3）． ①求该抛物线的解析式及顶点坐标； ②已知A（﹣m+3，y1），B（2，y2）在该抛物线上，当y1＞y2时，求m的取值范围； （2）若该抛物线与x轴的两个交点的横坐标的和为3，直线y＝x+n在第四象限内有两个交点，请直接写出n的取值范围． 【分析】（1）①根据题意得抛物线y＝x2+bx+c过点（1，﹣4）和（0，﹣3），用待定系数法即可求解抛物线的解析式，再化为顶点式即可求顶点坐标；②根据抛物线的对称性求出B（2，y2）关于x＝1的对称点为（0，y2），结合增减性，列不等式求解即可； （2）由抛物线与x轴的两个交点的横坐标的和为3，得b＝﹣3，再求出c＝﹣2，画出抛物线图象，找出临界点求解即可． 【解答】解：（1）已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）过点（1，﹣4）． ①由题意可知抛物线y＝x2+bx+c过点（1，﹣4）和（0，﹣3）， ∴； 解得， ∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4； ∴顶点坐标为（1，﹣4）； ②由①可知抛物线关于对称，开口向上， 则当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大， ∴B（2，y2）关于x＝1的对称点为（0，y2）， ∵y1＞y2， ∴﹣m+3＜0或﹣m+3＞2， 解得m＞3或m＜1； （2）由题意可得：x1+x2＝﹣b＝3，即b＝﹣3， 将（1，﹣4）代入y＝x2+bx+c得，﹣4＝1+b+c， 解得c＝﹣2， ∴y＝x2﹣3x﹣2， 又∵直线y＝x+n在第四象限内与抛物线有两个交点， ∴令y＝x2﹣3x﹣2＝0， 解得（舍去）或， ∴当y＝x+n经过点时，在第四象限内与抛物线有1个交点， 即， 解得； 令x2﹣3x﹣2＝x+n即x2﹣4x﹣2﹣n＝0， 当Δ＝（﹣4）2+4×1×（2+n）＝24+4n＝0时， 解得n＝﹣6； ∴直线y＝x+n在第四象限内与抛物线有两个交点时，． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，正确记忆相关知识点是解题关键． 23．（2026•义乌市二模）已知抛物线y＝ax2﹣1（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB＝2．将抛物线向右平移m个单位后得到抛物线y1，并与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）． （1）求a的值． （2）若点C恰好为AB的中点，则当y＞y1时，求x的取值范围． （3）若直线y＝m﹣1与抛物线y，y1均有两个交点（交点均无重合），且相邻两交点之间的距离均相等，求m的值． 【分析】（1）由题意可知B（1，0），代入解析式即可求得a＝1； （2）由题意可知点C（0，0），D（2，0），即可求得对称轴为直线x＝1，得到抛物线y1＝（x﹣1）2﹣1，由y＞y1，得到x2﹣1＞（x﹣1）2﹣1，即x2﹣（x﹣1）2＞0，解得x＞0.5； （3）由（1）可知y＝x2﹣1，将抛物线向右平移m个单位后得到抛物线y1＝（x﹣m）2﹣1，然后求得直线y＝m﹣1与抛物线y的交点为（m，m﹣1），（m，m﹣1），直线y＝m﹣1与抛物线y1的交点为（m，m﹣1），（m，m﹣1），由相邻两交点之间的距离均相等，即可得到m（m）或m，求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣1（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB＝2， ∴B（1，0）， 代入y＝ax2﹣1得，a﹣1＝0， 解得a＝1； （2）∵将抛物线向右平移m个单位后得到抛物线y1，并与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），点C恰好为AB的中点， ∴点C（0，0），D（2，0）， ∴抛物线y1的对称轴为直线x＝1， ∴m＝1， ∴抛物线y1＝（x﹣1）2﹣1， ∵y＞y1， ∴x2﹣1＞（x﹣1）2﹣1，即x2﹣（x﹣1）2＞0， 解得x＞0.5； （3）∵y＝x2﹣1， ∴将抛物线向右平移m个单位后得到抛物线y1＝（x﹣m）2﹣1， 令x2﹣1＝m﹣1， 解得x， ∴直线y＝m﹣1与抛物线y的交点为（，m﹣1），（，m﹣1）， 令（x﹣m）2﹣1＝m﹣1， 解得x＝m， ∴直线y＝m﹣1与抛物线y1的交点为（m，m﹣1），（m，m﹣1）， ∵相邻两交点之间的距离均相等， ∴m（m）或m， 即2m＝2或4m， 解得m＝1或m＝16． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，能够理解题意求得y1的解析式是解题的关键． 24．（2026春•西城区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）与x轴交于点A、B，AB长为2． （1）求出抛物线的解析式； （2）直线y＝x+3交抛物线于C、D两点，C点在D点左侧．E（t，y1），F（6﹣t，y2）为抛物线上不同的两点．抛物线上C、E两点及之间的部分记为图形G1；D、F两点及之间的部分记为图形G2．若存在点P（x3，y3），Q（x4，y4）分别位于G1，G2上，使得y3＞y4，求t的取值范围． 【分析】（1）对称轴为直线x＝2，可得A、B坐标，代入y＝ax2﹣4ax+3，可得a，即可得抛物线的解析式； （2）抛物线与直线解析式联立，得到抛物线与直线交点坐标为C（0，3）和D（5，8），根据题意，结合二次函数的图象和性质，进行分类讨论即可得t的取值范围． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）与x轴交于点A、B，AB长为2． ， ∴抛物线对称轴为直线x＝2， ∵AB＝2， ∴A、B分别为（1，0）和（3，0）， ∴a﹣4a+3＝0 ∴a＝1， ∴解析式为y＝x2﹣4x+3； （2）直线y＝x+3交抛物线于C、D两点，C点在D点左侧．E（t，y1），F（6﹣t，y2）为抛物线上不同的两点． ， 解得或， ∴抛物线与直线交点坐标为C（0，3）和D（5，8）， ∵E（t，y1），F（6﹣t，y2）为抛物线上不同的两点， ∴6﹣t≠t， ∴t≠3， 当x≤2时，y随x的增大而减小； 当x≥2时，y随x的增大而增大． 点C（0，3）关于直线x＝2的对称点为C′（4，3）， 点D（5，8）关于直线x＝2的对称点为D′（﹣1，8）， ①当t≤0时，点F在点D右侧， 此时，只要让点E在点D′的左侧即可， 即t＜﹣1； ②当t＞0时，点E在点C右侧， 此时只要让点F在点C′的左侧即可， 即6﹣t＜4， 解得t＞2； 综上，t＜﹣1或t＞2且t≠3． 【点睛】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 25．（2026•德州一模）已知抛物线y＝﹣x2+ax+1（a为常数）经过点（3，4）． （1）求该抛物线的解析式； （2）若过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B恰为线段AC的中点，求t的值； （3）直线l1：y＝2x+t（t为常数），向下平移9个单位长度得到直线l2．设m＜2＜n，抛物线y＝﹣x2+ax+1（m≤x≤n）的一段夹在直线l1，l2之间，求n﹣m的最大值． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可求解； （2）设B（m，t），可得C（2m，t），再根据二次函数的对称性可得，即得，进而代入到函数解析式解答即可求解； （3）由直线l1与抛物线相切时得t＝2，即得此时直线l1：y＝2x+2，得到直线l2：y＝2x﹣7，再由2x﹣7＝﹣x2+4x+1得x1＝4，x2＝﹣2，即得m＝﹣2，n＝4时n﹣m取最大值，代入计算即可求解． 【解答】解：（1）已知抛物线y＝﹣x2+ax+1（a为常数）经过点（3，4）． 把（3，4）代入y＝﹣x2+ax+1得4＝﹣32+3a+1 解得：a＝4 ∴y＝﹣x2+4x+1； （2）设B（m，t）， ∵点B恰为线段AC的中点， ∴C（2m，t）， 由题意可得：对称轴为直线x＝2， ∵点B、C关于对称轴对称， ∴， 解得， 当时，， ∴t的值为； （3）当直线l1与抛物线相切，即只有一个交点时，n﹣m的值最大，如图， ∴2x+t＝﹣x2+4x+1， 即x2﹣2x+t﹣1＝0， 由b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4（t﹣1）＝0，解得t＝2， ∴此时直线l1：y＝2x+2， ∵直线l1：y＝2x+2向下平移9个单位长度得到直线l2， ∴直线l2：y＝2x﹣7 由2x﹣7＝﹣x2+4x+1，解得x1＝4，x2＝﹣2， ∵m＜2＜n， ∴当m＝﹣2，n＝4时， ∴n﹣m的最大值＝4﹣（﹣2）＝6． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $