专题6 二次函数图象抛物线的对称轴与最值 专项练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数对称轴与最值，按“定轴定区间、定轴动区间、动轴定区间、动轴动区间”系统分类，通过梯度题型培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定轴定区间|5题（如第1题）|给定对称轴与区间，求最值或参数|从二次函数基本性质（开口、对称轴）出发，判断区间与对称轴位置关系，比较端点与顶点值确定最值| |定轴动区间|5题（如第6题）|对称轴固定，区间含参数，求参数或最值范围|基于对称轴分析区间变动对最值的影响，培养动态思维与分类讨论能力| |动轴定区间|4题（如第11题）|对称轴含参数，区间固定，求参数取值|通过对称轴位置分类（在区间左、中、右侧），结合最值条件构建不等式，强化推理意识| |动轴动区间|2题（如第15题）|对称轴与区间均含参数，综合求最值差|整合动轴与动区间分析，建立参数关系，提升复杂问题的数学表达与解决能力|

专题6 二次函数图象抛物线的对称轴与最值 类型一 定轴定区间 1．（2025秋•西岗区期末）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 2．（2026•西安模拟）已知关于x的二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3，当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（　　） A． B．1 C．1或﹣2 D．或 3．（2025•西安模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2﹣mx+m2+m（n为常数）的图象经过（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（　　） A．最大值 B．最大值7 C．最小值 D．最小值7 4．（2025•港南区四模）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（　　） A．﹣4或 B．4或 C．﹣4或 D．4或 5．（2025秋•镜湖区月考）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c． （1）当b＝4，c＝3时． ①求该函数图象的顶点坐标； ②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围． （2）当x＜0时，y的最大值为4；当x≥0时，y的最大值为2．求二次函数的表达式． 类型二 定轴动区间 6．（2025秋•临沭县月考）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 7．（2025•天元区自主招生）已知A（2﹣t，y1），B（t，y1）是抛物线y＝x2+bx+c上不同的两点，当0≤x≤t时，恒有c﹣1≤y1≤c，则t的取值范围是（　　） A．t＞1 B．0≤t≤2 C．1＜t≤2 D．1≤t≤3 8．（2025•白云区模拟）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为（　　） A． B． C．或 D．或 9．（2025•广州二模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是 　 　 ． 10．（2026•广州模拟）已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）． （1）求直线l的解析式； （2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下． ①求m的取值范围； ②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q′也在G上时，求G在x1的图象的最高点的坐标． 类型三 动轴定区间 11．（2025•荔城区一模）已知二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3（m为常数，m≠0），点P（xp，yp）是该函数图象上一点，当0≤xp≤4时，yp≤﹣3，则m的取值范围是 　 ． 12．（2025秋•高新区同步）函数y＝x2﹣2ax﹣2在﹣1≤x≤4有最小值﹣5，则实数a的值是 　 ． 13．（2025秋•崇川区月考）当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值是（　　） A．2或 B．2或或或 C．2或或 D．2或 14．（2025•兴化市开学）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中． （1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？ （2）当0＜x＜3时，y的最小值为﹣2，求出t的值； （3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围． 类型四 动轴动区间 15．（2025•文成县二模）已知二次函数y＝（x﹣a）（x﹣3a）（a为实数，a＞0）． （1）求该二次函数的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）． （2）设二次函数在a﹣3≤x≤3a+2时的最大值为p，最小值为q，p﹣q＝16，求a的值． 16．（2025秋•杭州月考）已知抛物线L1的顶点坐标为（1，4），且经过点A（﹣1，0）． （1）求抛物线L1的函数表达式． （2）将抛物线L1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2，若抛物线L2的顶点关于坐标原点的对称点在抛物线L1上，求m的值． （3）将抛物线L1向左平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，已知点P（8﹣t，s），Q（4﹣t，r）都在抛物线L3上，且当t＞6时，都有r＞s，求n的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6 二次函数图象抛物线的对称轴与最值 类型一 定轴定区间 1．（2025秋•西岗区期末）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 【分析】根据抛物线的解析式求得对称轴为直线x＝1，根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2， ∴对称轴为直线x＝1， ∵a＝1＞0， ∴抛物线的开口向上， ∴当0≤x＜1时，y随x的增大而减小， ∴当x＝0时，y＝﹣1， 当1≤x≤3时，y随x的增大而增大， ∴当x＝3时，y＝9﹣6﹣1＝2， ∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．（2026•西安模拟）已知关于x的二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3，当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（　　） A． B．1 C．1或﹣2 D．或 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x＝1时，y＝9，即可求出a． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量）， ∴对称轴是直线x1， ∵当x≥2时，y随x的增大而增大， ∴a＞0， ∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9， ∴x＝1时，y＝a+2a+3a2+3＝9， ∴3a2+3a﹣6＝0， ∴a＝1，或a＝﹣2（不合题意舍去）． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3．（2025•西安模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2﹣mx+m2+m（n为常数）的图象经过（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（　　） A．最大值 B．最大值7 C．最小值 D．最小值7 【分析】根据二次函数y＝x2+mx+m2+m（m为常数）的图象经过点（0，6），可以得到m的值，然后根据对称轴在y轴的右侧，可以得到m的值，从而可以得到二次函数的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的最值． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2﹣mx+m2+m（m为常数）的图象经过点（0，6）， ∴6＝m2+m， 解得m＝﹣3或m＝2， ∵对称轴在y轴的左侧，a＝﹣1＜0， ∴m＞0， ∴m＝2， ∴二次函数y＝﹣x2﹣2x+6＝﹣（x+1）2+7， ∴该函数的最大值为7， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，求出m的值，利用二次函数的性质求最值． 4．（2025•港南区四模）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（　　） A．﹣4或 B．4或 C．﹣4或 D．4或 【分析】先求出二次函数对称轴为直线x＝1，再分m＞0和m＜0两种情况，利用二次函数的性质进行求解即可． 【解答】解：∵二次函数解析式为y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）， ∴二次函数对称轴为直线， 当m＞0时， ∵在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2， ∴当x＝1时，y＝m﹣2m+2＝﹣2， ∴m＝4； 当m＜0时， ∵在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2， ∴当x＝﹣2时，y＝4m+4m+2＝﹣2， ∴m； 综上所述，m＝4或m， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 5．（2025秋•镜湖区月考）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c． （1）当b＝4，c＝3时． ①求该函数图象的顶点坐标； ②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围． （2）当x＜0时，y的最大值为4；当x≥0时，y的最大值为2．求二次函数的表达式． 【分析】（1）先把解析式进行配方，再求顶点； （2）根据函数的增减性求解； （3）根据函数的图象和系数的关系，结合图象求解． 【解答】解：（1）①∵b＝4，c＝3 时， ∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7， ∴顶点坐标为（2，7）． ②∵﹣1≤x≤3中含有顶点（2，7）， ∴当 x＝2 时，y有最大值7， ∵2﹣（﹣1）＞3﹣2， ∴当x＝﹣1 时，y有最小值为：﹣2， ∴当﹣1≤x≤3时，﹣2≤y≤7． （2）∵当x＜0时，y的最大值为4；当x≥0时，y的最大值为2， ∴抛物线的对称轴为直线x在y轴的左侧， ∴b＜0， ∵抛物线开口向下，x≥0时，y的最大值为2， ∴c＝2， 又∵4， ∴b＝±2， ∵b＜0， ∴b＝﹣2． ∴二次函数的表达式为 y＝﹣x2﹣2x+2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握数形结合思想是解题的关键． 类型二 定轴动区间 6．（2025秋•临沭县月考）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y＝15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案． 【解答】解：将二次函数y＝2x2﹣4x﹣1转化为顶点式得： y＝2（x﹣1）2﹣3， ∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点（1，﹣3），当x＝0时，y＝﹣1， ∵1＞0，开口向上， ∴在对称轴为直线x＝1的右侧，y随x的增大而增大， ∵当0≤x≤a时，y取得最大值为15， ∴2（a﹣1）2﹣3＝15， 解得：a＝4或a＝﹣2（舍去）， 故a的值为4． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值．熟练掌握以上知识点是关键． 7．（2025•天元区自主招生）已知A（2﹣t，y1），B（t，y1）是抛物线y＝x2+bx+c上不同的两点，当0≤x≤t时，恒有c﹣1≤y1≤c，则t的取值范围是（　　） A．t＞1 B．0≤t≤2 C．1＜t≤2 D．1≤t≤3 【分析】根据题意求得抛物线的对称轴为直线x＝1，即可求得x＝0或2时，y＝c，由1可知b＝﹣2，则函数为y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1，然后利用二次函数的增减性即可得到t的取值范围． 【解答】解：∵A（2﹣t，y1），B（t，y1）是抛物线y＝x2+bx+c上不同的两点， ∴1， ∴b＝﹣2， ∴抛物线y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴函数在x＝1时有最小值c﹣1， ∴x＝0或2时，y＝c， ∵当0≤x≤t时，恒有c﹣1≤y1≤c， ∴1＜t≤2． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解题的关键． 8．（2025•白云区模拟）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【分析】根据二次函数的解析式求出顶点坐标，再根据二次函数的性质求出a的值即可． 【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴二次函数的顶点坐标为（﹣1，4），且二次函数的图象开口向下， ∵当x时，y1， ∴a＜﹣1， 当y＝1时，﹣a2﹣2a+3＝1， 解得a＝﹣1或1（舍去）， 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 9．（2025•广州二模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是 　﹣1＜n＜0　 ． 【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线x＝1，开口向上，根据已知条件得出点A在对称轴的右侧，且y1＜y2，进而得出不等式，解不等式即可求解． 【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）， ∴抛物线的图象开口向上，对称轴为直线x1， ∵A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）分别位于抛物线对称轴的两侧， ①点A在对称轴左侧，点B在对称轴右侧， ∴2n+3＜1＜n﹣1， 即：，无解， ②点B在对称轴左侧，点A在对称轴的右侧， ∴， 解得：﹣1＜n＜2， 又∵y1＜y2， ∴|（2n+3）﹣1|＜|1﹣（n﹣1）|， ∴2n+2＜2﹣n， 解得：n＜0， ∴﹣1＜n＜0， 故答案为：﹣1＜n＜0． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．（2026•广州模拟）已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）． （1）求直线l的解析式； （2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下． ①求m的取值范围； ②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q′也在G上时，求G在x1的图象的最高点的坐标． 【分析】（1）用待定系数法求解析式即可； （2）①设抛物线的解析式为y＝a（x﹣m）2+7﹣m，将点（0，﹣3）代入可得am2+7﹣m＝﹣3，再由a0，求m的取值即可； ②由题意求出Q点的横坐标为m，联立方程组，整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，根据根与系数的关系可得m+m2m，可求a＝﹣2，从而可求m＝2或m，确定抛物线的解析式后即可求解． 【解答】解：（1）将点（0，7）和点（1，6）代入y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y＝﹣x+7； （2）①∵点P（m，n）在直线l上， ∴n＝﹣m+7， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣m）2+7﹣m， ∵抛物线经过点（0，﹣3）， ∴am2+7﹣m＝﹣3， ∴a， ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴a0， ∴m＜10且m≠0； ②∵抛物线的对称轴为直线x＝m， ∴Q点与Q'关于x＝m对称， ∴Q点的横坐标为m， 联立方程组， 整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0， ∵P点和Q点是直线l与抛物线G的交点， ∴m+m2m， ∴a＝﹣2， ∴y＝﹣2（x﹣m）2+7﹣m， ∴﹣2m2+7﹣m＝﹣3， 解得m＝2或m， 当m＝2时，y＝﹣2（x﹣2）2+5， 此时抛物线的对称轴为直线x＝2， 图象在x上的最高点坐标为（2，5）； 当m时，y＝﹣2（x）2， 此时抛物线的对称轴为直线x， 图象在﹣2≤x≤﹣1上的最高点坐标为（﹣2，9）； 综上所述：G在x1的图象的最高点的坐标为（﹣2，9）或（2，5）． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数法求函数的解析式，分类讨论是解题的关键． 类型三 动轴定区间 11．（2025•荔城区一模）已知二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3（m为常数，m≠0），点P（xp，yp）是该函数图象上一点，当0≤xp≤4时，yp≤﹣3，则m的取值范围是 m≥1或m＜0　 ． 【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标，再分两种情况：m＞0或m＜0，根据二次函数的性质求得m的不同取值范围便可． 【解答】解：∵二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3， ∴对称轴为直线x＝2m，抛物线与y轴的交点为（0，﹣3）， ∵点P（xp，yp）是该函数图象上一点，当0≤xp≤4时，yp≤﹣3， ∴①当m＞0时，对称轴为直线x＝2m＞0， 此时，当x＝4时，y≤﹣3，即m•42﹣4m2•4﹣3≤﹣3， 解得m≥1； ②当m＜0时，对称轴为直线x＝2m＜0， 当0≤x≤4时，y随x增大而减小， 则当0≤xp≤4时，yp≤﹣3恒成立； 综上，m的取值范围是：m≥1或m＜0． 故答案为：m≥1或m＜0． 【点睛】题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，关键是分情况讨论． 12．（2025秋•高新区同步）函数y＝x2﹣2ax﹣2在﹣1≤x≤4有最小值﹣5，则实数a的值是 　﹣2或　 ． 【分析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后分三种情况讨论得到关于a的方程，解方程求得a的值，看是否是满足条件的a． 【解答】解：∵y＝x2﹣2ax﹣2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线xa， 当a≤﹣1时，则x＝﹣1时，函数有最小值﹣5， ∴此时y＝1+2a﹣2＝﹣5，解得a＝﹣2； 当a≥4时，则x＝4时，函数有最小值﹣5， ∴此时y＝16﹣8a﹣2＝﹣5，解得a（不合题意，舍去）； 当﹣1＜a＜4时，则x＝a时，函数有最小值﹣5， ∴此时y＝a2﹣2a2﹣2＝﹣5， 解得a1，a2（舍去）， 综上，实数a的值是﹣2或， 故答案为：﹣2或． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键，注意分类讨论思想的运用． 13．（2025秋•崇川区月考）当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值是（　　） A．2或 B．2或或或 C．2或或 D．2或 【分析】联系已知条件，根据对称轴的位置，需分情况讨论求解，可分m＜﹣2，﹣2≤m≤1和m＞1这三种情况，分别进行讨论，求出相应的m的值，问题就可得解． 【解答】解：二次函数的对称轴为直线x＝m， ①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值， 此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4， 解得，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在； ②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，此时m2+1＝4， 解得， （舍去）； ③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值， 此时﹣（1﹣m）2+m2+1＝4， 解得m＝2， 综上所述，m的值为2或， 故选：D． 【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象是解题的关键，注意分类讨论． 14．（2025•兴化市开学）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中． （1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？ （2）当0＜x＜3时，y的最小值为﹣2，求出t的值； （3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围． 【分析】（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3即可得t； （2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为 x＝t．若0＜t≤3，有t2﹣2t2+3＝﹣2，若t＞3，有9﹣6t+3＝﹣2，解方程并检验可得t的值为； （3）根据A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，可得二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线xm﹣1，由t＞0，得m＞1，因m﹣2＜m，知A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），其关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），由b＜3，知4＜2m﹣2，m＞3；①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，y随x的增大而减小，有4＜m﹣2，可得m满足的条件为m＞6；②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，故4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），得：m＜4，m满足的条件是3＜m＜4． 【解答】解：（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3得： 1＝4﹣4t+3， 解得：t； （2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为 x＝t． 若0＜t＜3，当x＝t时函数取最小值， ∴t2﹣2t2+3＝﹣2， 解得t； 若t＞3，当x＝3时函数取最小值， ∴9﹣6t+3＝﹣2， 解得 （不符合题意，舍去）； 综上所述，t的值为； （3）∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上， ∴二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线xm﹣1， ∴t＝m﹣1， ∵t＞0， ∴m﹣1＞0， 解得m＞1， ∵m﹣2＜m， ∴A在对称轴左侧，C在对称轴右侧， 在y＝x2﹣2tx+3中，令x＝0得y＝3， ∴抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3）， ∴（0，3）关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3）， ∵b＜3， ∴4＜2m﹣2， 解得m＞3； ①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时， ∵y随x的增大而减小，且a＜b， ∴4＜m﹣2， 解得m＞6， 此时m满足的条件为m＞6； ②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时， ∵a＜b， ∴B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离， ∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2）， 解得：m＜4， 此时m满足的条件是3＜m＜4， 综上所述，3＜m＜4或m＞6． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及函数图象上点坐标的特征，解题的关键是分类讨论思想的应用． 类型四 动轴动区间 15．（2025•文成县二模）已知二次函数y＝（x﹣a）（x﹣3a）（a为实数，a＞0）． （1）求该二次函数的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）． （2）设二次函数在a﹣3≤x≤3a+2时的最大值为p，最小值为q，p﹣q＝16，求a的值． 【分析】（1）把解析式化成顶点式即可求解； （2）由（a﹣3，y1）关于对称轴为直线x＝2a的对称点（3a+3，y1），根据抛物线开口向上，3a+3＞3a+2可知x＝a﹣3时，函数取得最大值p＝（a﹣3﹣a）（a﹣3﹣3a）＝6a+9，x＝2a时，函数取得最小值q＝﹣a2，由p﹣q＝16，得到6a+9+a2＝16，解方程即可求解． 【解答】解：（1）∵y＝（x﹣a）（x﹣3a）＝x2﹣4ax+3a2＝（x﹣2a）2﹣a2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2a，顶点为（2a，﹣a2）； （2）由已知可得：点（a，0）（3a，0）关于对称轴为直线x＝2a对称， ∴（a﹣3，y1）关于对称轴为直线x＝2a的对称点（3a+3，y1）， ∵a＞0， ∴抛物线开口向上， ∵3a+3＞3a+2， ∴x＝a﹣3时，函数取得最大值p＝（a﹣3﹣a）（a﹣3﹣3a）＝6a+9， x＝2a时，函数取得最小值q＝﹣a2， ∵p﹣q＝16， ∴6a+9+a2＝16， 解得a1＝1，a2＝﹣7（不合题意，舍去）， ∴a的值为1． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 16．（2025秋•杭州月考）已知抛物线L1的顶点坐标为（1，4），且经过点A（﹣1，0）． （1）求抛物线L1的函数表达式． （2）将抛物线L1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2，若抛物线L2的顶点关于坐标原点的对称点在抛物线L1上，求m的值． （3）将抛物线L1向左平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，已知点P（8﹣t，s），Q（4﹣t，r）都在抛物线L3上，且当t＞6时，都有r＞s，求n的取值范围． 【分析】（1）设抛物线L1的解析式为y＝a（x﹣1）2+4（a≠0），把（﹣1，0）代入抛物线的解析式求出a即可； （2）求出平移后抛物线的顶点关于原点对称点的坐标，利用待定系数法求解即可； （3）抛物线l1向左平移n（n＞0）个单位得到抛物线l3的解析式为y＝﹣（x﹣1+n）2+4，根据题意得到，求得t＜5+n，结合t＞6，即可得到5+n＞6，解不等式即可． 【解答】解：（1）∵抛物线L1的顶点坐标为（1，4）， ∴设抛物线L1的解析式为y＝a（x﹣1）2+4（a≠0）， ∵经过点A（﹣1，0）， ∴4a+4＝0， ∴a＝﹣1， ∴抛物线l1的函数表达式为y＝﹣（x﹣1）2+4； （2）将抛物线L1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2为y＝﹣（x﹣1）2+4﹣m． ∴抛物线l2的顶点（1，4﹣m）， 而（1，4﹣m）关于原点的对称点为（﹣1，m﹣4）， 把（﹣1，m﹣4）代入y＝﹣（x﹣1）2+4得到，m﹣4＝﹣（﹣1﹣1）2+4， ∴m＝4； （3）将抛物线L1向左平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3的解析式为y＝﹣（x﹣1+n）2+4， ∵函数y＝﹣（x﹣1+n）2+4的开口向下，对称轴为直线x＝1﹣n， ∵点P（8﹣t，s），Q（4﹣t，r）都在抛物线L3上，且t＞6时，都有r＞s， ∴， ∴t＜5+n， ∵t＞6， ∴5+n＞6， ∴n＞1． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，平移变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $