精品解析：山东省青岛市胶州市实验中学2024-2025学年高一下学期6月阶段性检测数学试题

高一数学阶段性检测6.17 一、单选题 1. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】跟根据复数的乘方及除法运算求出复数，再根据复数虚部的定义即可得解. 【详解】由 得， 所以的虚部为. 故选：B. 2. 从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可. 【详解】记2名男生为，2名女生为， 任意选出两人的样本空间，共6个样本点， 恰好一男一女生的事件，共4个样本点， 所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是. 故选：A 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式结合三角函数图象变换可得出结论. 【详解】因为， 所以，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度. 故选：A. 4. 有一组样本数据：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9.则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（ ） A. 平均数 B. 第50百分位数 C. 极差 D. 众数 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出平均数、第50百分位数、极差、众数，即可得到答案 【详解】平均数为； ，则第50百分位数为； 极差为； 众数为 故平均数最大 故选：A. 5. 在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答. 【详解】在正方形ABCD中，以点A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图， 令，则，， ，因， 于是得，解得， 所以的值为. 故选：B 6. 如图，在直三棱柱 中，所有棱长都相等，分别是棱 的中点，则异面直线与 所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平移法作出异面直线与 所成角，解三角形即可求得答案. 【详解】连接，因为在直三棱柱中，分别是棱的中点， 故，即四边形为平行四边形，所以， 则即为异面直线与 所成角或其补角； 直三棱柱中，所有棱长都相等，设其棱长为，连接， 则平面，故平面平面， 故，是棱的中点，故， 则,而 ，又，故在中，, 由于异面直线所成角的范围，故异面直线与 所成角的余弦值是， 故选：D. 7. 已知数据，，，的方差为25，则数据，，，的标准差为（ ） A. 25 B. 75 C. 15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可. 【详解】因为数据，，，的方差为25， 所以另一组数据，，，的方差为， 故所求的标准差为. 故选：C 8. 在四棱锥中，为等边三角形，四边形为矩形，且，平面平面，则直线AC与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】取为的中点，先证明平面，得为所求线面角，由边长间的关系求正弦值. 【详解】平面平面，又平面平面， 平面，，则平面， 又平面，故平面平面， 取的中点，连接，如图所示， 平面平面，平面平面， 为等边三角形，则，故平面， 则直线AC与平面所成角即为， 令，则，，， 故. 故选：A 二、多选题 9. （多选）从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥的两个事件是（ ） A. “至少有一个黑球”与“都是黑球” B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C. “恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” D. “至少有一个黑球”与“都是红球” 【答案】CD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义进行判断即可得出结论. 【详解】对于A，两个事件能同时发生，故不互斥，即错误； 对于B，两个事件也可同时发生，故不互斥，可得错误； 对于C、D中两个事件是不可能同时发生的，故它们是互斥的. 故选：CD． 10. 某校为了解学生每个月在图书馆借阅书籍的数量，图书管理员甲抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；图书管理员乙也抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为7，方差为16.若将两个样本合在一起组成一个容量为200的新样本，则新样本数据的（ ） A. 平均数为6 B. 平均数为 C. 方差为 D. 方差为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据已知条件，结合平均数和方差公式即可求解． 【详解】新样本平均数为，故A正确，B错误； 又因为甲的方差为，，， 且， 则乙的方差为，，， 且， ， ， ， ， 新样本的方差为： 故D正确C错误 故选：AD. 11. 如图，在正四棱锥中，为，的交点，为侧棱的中点，为侧棱上一点（异于，两点），若，且，则（ ） A. B. 存在点，使得平面 C. 三棱锥的体积为 D. 异面直线与所成角的余弦值的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，利用勾股定理逆定理即可判断；对B，利用反证法结合面面平行的判定定理即可判断；对C，将其转化为与的关系即可判断；对D，将异面直线夹角进行转化，再利用余弦定理即可判断. 【详解】由题意，得． 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，假设存在点，使得平面． 因为平面平面，所以平面． 又平面平面，所以平面平面， 而平面与平面相交，矛盾，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，如图，取的中点，连接，则． 显然，所以异面直线与所成的角即为． 由，得为正三角形，所以， 所以，故D错误． 故选：AC． 三、填空题 12. 已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解即可. 【详解】由题得，则，又， . 故答案为：. 13. 所有棱长均为2的正三棱柱，它的顶点均在球的表面上，则球的表面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】如图，确定为的中点，根据正弦定理和勾股定理求出球的半径，结合球的表面积公式计算即可求解. 【详解】设正三棱柱上、下底面的外接圆的圆心分别为， 如图，连接，则为的中点，连接， 则为球的半径，设圆的半径为， 在中，由正弦定理得，解得， 又，所以， 所以球的表面积为. 故答案： 14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理，边角互化，等式变形，化简求值，利用余弦定理，结合基本不等式，以及三边关系，即可求解. 【详解】，以及正弦定理边角互化可知， ，即， ，即， 因为，且，所以， 根据余弦定理可知， 即，得，且 所以 故答案为： 四、解答题 15. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理和余弦定理来求解角的大小； （2）应用三角形的面积公式计算边的数量关系. 【小问1详解】 由可知， 由正弦定理，得， 即． 所以， 又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知． 所以， 又， 所以， 所以，即． 所以的周长为． 16. 如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足. （1）若，Q为PB的中点，求三棱锥的体积； （2）求证：AN⊥平面PBM； （3）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先得到，根据Q为PB的中点，故； （2）由线线垂直，得到线面垂直，即BM⊥平面PAM.，故BM⊥AN，又AN⊥PM，从而得到线面垂直； （3）由(1)知AN⊥平面PBM，故AN⊥PB，又AQ⊥PB，故PB⊥平面ANQ，得到答案. 【小问1详解】 因为AB为⊙O的直径，所以⊥， 又，故， 又PA垂直于⊙O所在的平面，， 故， 因为Q为PB的中点，所以. 【小问2详解】 ∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM. 又PA⊥平面ABM，BM平面ABM， ∴PA⊥BM. 又∵，PA，AM平面PAM， ∴BM⊥平面PAM. 又AN平面PAM，∴BM⊥AN. 又AN⊥PM，且，BM，PM平面PBM， ∴AN⊥平面PBM. 【小问3详解】 由(1)知AN⊥平面PBM， PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB. 又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ， ∴PB⊥平面ANQ. 又NQ平面ANQ， ∴PB⊥NQ. 17. 如图，在正三棱柱中，是棱的中点． （1）证明：； （2）证明：平面； （3）若，求到平面的距离． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）证明过程见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据三线合一得到⊥，又⊥，从而得到线面垂直，证明出； （2）作出辅助线，得到，由线面平行的判定得到结论； （3）建立空间直角坐标系，写出点的坐标和平面的法向量，由点到平面的距离公式得到答案. 【小问1详解】 因为为等边三角形，是棱的中点， 所以⊥， 三棱柱为正三棱柱，故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以； 【小问2详解】 连接，与相交于点，连接， 因为四边形为矩形，故为的中点， 又为的中点，故， 又平面，平面， 所以平面； 【小问3详解】 由（2）知，平面， 故到平面的距离即为到平面的距离， 取的中点，连接，则， 由于⊥平面，故⊥平面， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得， 故， 所以到平面的距离， 故到平面的距离为. 18. 某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在的有10个． （1）求n和乙样本直方图中a的值； （2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）； （3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率． 【答案】（1），； （2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为； （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出，由乙样本数据直方图能求出； （2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数； （3）由频率分布直方图可知从分数在和的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在中抽取的2名学生分别记为，，从分数在中抽取的4名学生分别记为，，，，利用列举法能求出这两人分数都在中的概率． 【小问1详解】 解：由直方图可知，乙样本中数据在的频率为， 则， 解得； 由乙样本数据直方图可知，， 解得； 【小问2详解】 解：甲样本数据的平均值估计值为 ， 乙样本数据直方图中前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 所以乙样本数据第75百位数在第4组，设第75百位数为， ， 解得，所以乙样本数据的第75百位数为， 即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为； 【小问3详解】 解：由频率分布直方图可知从分数在和的学生中分别抽取2人和4人， 将从分数在中抽取的2名学生分别记为，， 从分数在中抽取的4名学生分别记为，，，， 则从这6人中随机抽取2人的基本事件有： ，，，，，，，，，，，，，，共15个， 所抽取的两人分数都在中的基本事件有6个， 即这两人分数都在中的概率为． 19. 已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，点在线段上. （1）若为的中点，求证：平面； （2）求二面角的正切值； （3）证明：存在点，使得平面，并求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）设，连接，即可证明为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）在平面中过作于，连接，说明是二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得； （3）连接交于点，由面面垂直的性质得到平面，即可得到，当时可证平面，从而求出此时的值. 【小问1详解】 设，连接， 因为正方形，所以为中点， 又矩形中，为的中点， 所以且， 所以为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 在平面中，过作于，连接， 因为正方形和矩形所在的平面互相垂直， ，平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以，又，，平面， 平面，平面， 所以，又，平面，所以平面， 又平面，所以， 是二面角的平面角， 因为，，所以， 所以， 在中，，， 二面角的正切值为； 【小问3详解】 连接交于点，因为是正方形，所以， 又正方形和矩形所在平面互相垂直， 平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以， 当时，，平面，所以平面， 此时，，，则， 又，所以，则，则， 所以，又，所以，则， 所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学阶段性检测6.17 一、单选题 1. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 4. 有一组样本数据：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9.则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（ ） A. 平均数 B. 第50百分位数 C. 极差 D. 众数 5. 在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（ ） A B. C. D. 2 6. 如图，在直三棱柱 中，所有棱长都相等，分别是棱 的中点，则异面直线与 所成角的余弦值是（ ） A B. C. D. 7. 已知数据，，，的方差为25，则数据，，，的标准差为（ ） A. 25 B. 75 C. 15 D. 8. 在四棱锥中，为等边三角形，四边形为矩形，且，平面平面，则直线AC与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 1 二、多选题 9. （多选）从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥的两个事件是（ ） A. “至少有一个黑球”与“都是黑球” B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C. “恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” D. “至少有一个黑球”与“都是红球” 10. 某校为了解学生每个月在图书馆借阅书籍的数量，图书管理员甲抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；图书管理员乙也抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为7，方差为16.若将两个样本合在一起组成一个容量为200的新样本，则新样本数据的（ ） A. 平均数为6 B. 平均数为 C. 方差为 D. 方差为 11. 如图，在正四棱锥中，为，的交点，为侧棱的中点，为侧棱上一点（异于，两点），若，且，则（ ） A. B. 存在点，使得平面 C. 三棱锥的体积为 D. 异面直线与所成角的余弦值的最小值为 三、填空题 12. 已知平面向量，，，向量在向量上投影向量为，则_____________. 13. 所有棱长均为2的正三棱柱，它的顶点均在球的表面上，则球的表面积为__________. 14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是________. 四、解答题 15. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，求的周长． 16. 如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足. （1）若，Q为PB的中点，求三棱锥的体积； （2）求证：AN⊥平面PBM； （3）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 17. 如图，在正三棱柱中，是棱的中点． （1）证明：； （2）证明：平面； （3）若，求到平面的距离． 18. 某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在的有10个． （1）求n和乙样本直方图中a的值； （2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）； （3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率． 19. 已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，，点在线段上. （1）若为的中点，求证：平面； （2）求二面角的正切值； （3）证明：存在点，使得平面，并求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$