2.3.2 两点间的距离公式导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦两点间距离公式，涵盖公式推导、坐标法及对称问题（点关于点、直线对称）等核心内容。课堂从向量模与坐标关系切入推导公式，衔接平面直角坐标系知识，为解析几何应用搭建学习支架。 资料亮点在于知识要点系统梳理，典型例题结合实际情境（如供水站选址），助力学生用数学眼光观察现实问题，通过坐标法推理培养数学思维，提升用数学语言表达几何关系的能力，适合师生教学与自主学习。

第二章 直线与圆的方程 第二章 直线与圆的方程 §2.3.2 两点间的距离公式【导学】 导学目标 1.理解向量的模与向量的坐标的关系，由此可以理解平面内两点之间的距离以及两点间距离公式的推导过程. 2.会用两点间的距离公式求平面内两点间的距离.【重点】 3.利用平面内两点间的距离公式及意义，解决与之相关的平面几何问题.【难点】 【知识要点】 两点间的距离公式 平面上任意两点间的距离公式为. 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离． 坐标法（解析法） 1．坐标法的定义 通过建立平面直角坐标系，设出已知点的坐标，求出未知点的坐标，把几何问题转化为代数问题，从而利用代数知识使问题得以解决，这种解决问题的方法叫做坐标法，也称为解析法． 2．坐标法解决问题的基本步骤 （1）建立适当的平面直角坐标系； （2）设出已知点的坐标，求出未知点的坐标； （3）利用已学的坐标公式列出方程（组），通过计算得出代数结论； （4）反演回去，得到几何问题的结论． 也可简记为： 对称问题 对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称． 1．点关于点对称 点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题． 设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有， 所以，即点． 特别地，点P关于坐标原点O的对称点为． 2．点关于直线对称 对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系： ①（直线l的斜率存在且不为零）； ②线段的中点在直线l上； ③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即． 常见的点关于直线的对称点： 1.点关于x轴的对称点； 2.点关于y轴的对称点； 3.点关于直线y=x的对称点； 4点关于直线y=−x的对称点； 5.点关于直线x=m（m≠0）的对称点； 6.点关于直线y=n（n≠0）的对称点． 【典型例题】 题型一 求平面两点间距离 【例1-1】已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)． （1）判断△ABC的形状； （2）求△ABC的面积． 【例1-2】若直线过定点A，直线过定点B，则两点间的距离. 【例1-3】已知的三个顶点分别是A（−1，0），B（1，0）， ，则为（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 题型二 两点间距离公式的应用 【例2-1】（衔接教材P73L3）已知点A（–1，2），B（2，），在x轴上求一点P，使，并求|PA|的值． 题型三 解析法证明平面几何问题 【例3-1】（衔接教材P73L4）用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍. 【例3-2】如果四边形ABCD是长方形，则对任一点M，等式|AM|2+|CM|2=|BM|2+|DM|2成立． 题型四 对称问题 【例4-1】某地A，B两村在一直角坐标系下的位置分别为A（1，2），B（4，0），一条河所在直线l的方程为x+2y–10=0．在河边上建一座供水站P分别向A，B两镇供水，若要使所用管道最省，则供水站P应建在什么地方? 【例4-2】已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4,1)，B(0,4)，C(2,0)． (1)试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小； (2)试在l上求一点Q，使||AQ|－|BQ||最大． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $