2.3.3 点到直线的距离公式导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.3.3 点到直线的距离公式（导学案） 姓名： 班级： 一、学习目标 1、 会用向量工具推导点到直线的距离公式，掌握点到直线的距离公式,能应用点到直线距离公式解决有关距离问题；培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力； 2、两条平行线间的距离公式的推导，会求两条平行直线间的距离，通过两条平行直线间的距离公式的推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力； 二、重难点 重点：点到直线的距离公式的推导思路分析；理解和掌握两条平行线间的距离公式； 难点：点到直线的距离公式的推导不同方法的思路分析，应用距离公式解决综合问题； 三、知识梳理 一、自主导学 1、点到直线的距离 (1)定义:平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度. (2)图示: (3)公式:d= ； 点睛： (1)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化成一般式再用公式. (2)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用. 问题：已知两条平行直线的方程，如何求间的距离？ 根据两条平行直线间距离的含义，在直线上取任一点P，,点P到直线的距离就是直线与直线间的距离，这样求两条平行线间的距离就转化为求点到直线的距离。 2、两条平行直线间的距离 1. 定义：夹在两平行线间的公垂线段的长. 2. 图示： 3. 求法：转化为点到直线的距离. 公式:d= ； 四、学习过程 一、情境导学 在公路附近有一家乡村饭馆,现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路.请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短? 思考1：最容易想到的方法是什么？ 反思：这种解法的优缺点是什么？ 我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具。能否用向量方法求点到直线的距离？ 如图，点P到直线l的距离，就是向量的模，设是直线l上的任意一点， 是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则是在上的投影向量, =。 思考2：如何利用直线l的方程得到与的方向向量垂直的单位向量？ 思考3：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？ 探究：我们已经得到了两点间的距离公式，点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条直线间的距离也是值得研究的。 思考：立定跳远测量的什么距离？ A.两平行线的距离 B.点到直线的距离 C. 点到点的距离 二、典例解析 例1、求点P(3，－2)到下列直线的距离： (1)y＝x＋； (2)y＝6； (3)x＝4. 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 跟踪训练1 已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等, 求直线l的方程. 点睛：用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在是否满足题意. 五、课后达标 1、点(1,-1)到直线y=1的距离是(　　) A. B. C.3 D.2 2、已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于(　　) A. B.- C.-或- D.- 3、平行直线l1：3x－y＝0与l2：3x－y＋＝0的距离等于(　　) A．1 B．0 C． D．3 4、分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________． 5、已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m＝________. 6、直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是 .  7、已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S. 8、已知直线l经过点P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程. 六、反思总结 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$