精品解析：四川省成都某中学2025-2026学年高一下学期期末适应性检测（6月月考）数学试题

高2025级高一下期末适应性检测（6月月考） 数学试题 第I卷（选择题，共 58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 若，，则 （ ） A. B. 2 C. D. 3. 将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，可得到函数（    ）的图象 A. B. C. D. 4. 一个侧棱长为的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形，其中，则该直棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知表示直线，，，表示平面，则下列推理正确的是（    ） A. B. ， 且 C. ， ，， D. ， ， 6. 一船以的速度向东航行，船在点A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达点C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，则下列说法正确的是（ ） ①，，，四点共面； ②与异面； ③与的交点可能在直线上，也可能不在直线上； ④与的交点一定在直线上． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 8. 在中，，过点O的直线分别交直线于M，N两个不同的点，若，其中m，n为实数，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面是关于复数（ 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A. 在复平面内对应的点在第三象限 B. 的虚部为 C. 的共轭复数为 D. 若 ，则的最大值是 10. 下列说法正确的是（    ） A. 已知向量 ，则“的夹角为钝角”是“ ”的充要条件 B. 已知向量 ，若与共线，则 C. 若向量 ，则在方向上的投影向量坐标为 D. 在中，向量与满足 ，则为等腰三角形 11. 下图是正方体的平面展开图，在原正方体中，下列命题正确的是（ ） A. 与的夹角为 B. 平面 C. 平面∥平面 D. 平面 第Ⅱ卷（选择题，共 92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，点，则与同向的单位向量坐标为_________ 13. 在中，内角A，，的对边分别为，，，若，则_________． 14. 如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的____________ ①在点运动过程中，直线 与始终为异面直线 ②三棱锥的体积为定值 ③异面直线 与直线所成的角为定值 ④在点运动过程中，不存在某个位置，使得平面平面 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知向量，满足： ， ， . （1）求与的夹角的余弦值； （2）若，求实数的值. 16. 如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为． （1）求圆柱的表面积； （2）求三棱锥外接球的体积． 17. 已知. （1）求的单调递增区间； （2）若，，求满足不等式的x的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，， 平面，且是的中点. （1）求证：平面 （2）求证： 平面 ； （3）求直线与平面 所成角的正弦值. 19. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角A； （2）已知，，点P，Q是边上的两个动点（P，Q不重合），记 . ①当时，设 的面积为S，求S的最小值： ②记 ， .问：是否存在实常数 和k，对于所有满足题意的，，都有 成立?若存在，求出 和k的值；若不存在，说明理由. 参考公式：；； ；. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2025级高一下期末适应性检测（6月月考） 数学试题 第I卷（选择题，共 58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】由为纯虚数，则，可得. 2. 若，，则 （ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由可得， 因，则，可得. 3. 将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，可得到函数（    ）的图象 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的得到 ， 将 向右平移个单位得到. 4. 一个侧棱长为的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形，其中，则该直棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用题给条件求得该直棱柱的底面积，进而求得该直棱柱的体积. 【详解】该直棱柱的底面 则该直棱柱的底面为长2宽1的矩形，其面积为， 则该直棱柱的体积为 故选：A 5. 已知表示直线，，，表示平面，则下列推理正确的是（    ） A. B. ， 且 C. ， ，， D. ， ， 【答案】D 【解析】 【分析】应用线线垂直判断A，应用线面平行判断B，结合面面平行判定定理判断C，应用面面平行性质定理判断D. 【详解】选项A中， ，此时可能平行也可能相交或异面，故A不正确； 选项B中， ， ，则可能 且 ，也可能在平面或平面内，故B不正确； 选项C中， ， ，， ，若直线 与直线平行，则平面可能平行也可能相交，故C不正确； 选项D为面面平行性质定理的符号语言，D正确. 6. 一船以的速度向东航行，船在点A处看到一个灯塔B在北偏东 ，行驶4h后，船到达点C处，看到这个灯塔在北偏东 ，这时船与灯塔的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出示意图，在中，可由正弦定理求的长，即得到答案. 【详解】作出示意图如图所示，， ，，则. 由正弦定理，可得，则. 所以这时船与灯塔的距离为. 故选：B 7. 如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，则下列说法正确的是（ ） ①，，，四点共面； ② 与异面； ③ 与的交点可能在直线上，也可能不在直线上； ④ 与的交点一定在直线上． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面几何的性质及平行公理可得，且四边形EFGH是梯形，结合公理可得答案. 【详解】依题意，可得， ，故，所以，，，四点共面； 所以①正确，②错误； 因为，所以四边形EFGH是梯形； EF与GH必相交，设交点为M. 因为点M在EF上，故点M在平面ACB上， 同理，点M在平面ACD上，所以点M是平面ACB与平面ACD的交点. 又AC是这两个平面的交线， 所以点M一定在直线AC上. 所以④正确，③错误； 故选：B. 8. 在中，，过点O的直线分别交直线于M，N两个不同的点，若，其中m，n为实数，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用、表示出，再利用三点共线得到，再把转化为关于的式子，即可求出最小值. 【详解】 三点共线 即 故的最小值为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面是关于复数（ 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A. 在复平面内对应的点在第三象限 B. 的虚部为 C. 的共轭复数为 D. 若 ，则的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由虚数单位的乘方性质及复数的除法可得 ，再由相关概念可判断ABC选项，对D选项根据复数方程的几何意义可得. 【详解】因为 ，则 . 对于B选项，因为 ，所以的虚部为，故B错误； 对于A选项，因为 ，所以复数在复平面内对应的点为，在第三象限，故A正确； 对于C选项，因为 ，所以的共轭复数为 ，故C正确； 对于D选项，因为 ，， 因为 ，且 ， 所以复数对应的点在以复数对应的点为圆心，以半径的圆上，如图： 因此的最大值就是圆上的点到原点的距离最大值， 由复数的几何意义得 .即的最大值是 ，故D正确. 10. 下列说法正确的是（    ） A. 已知向量 ，则“的夹角为钝角”是“ ”的充要条件 B. 已知向量 ，若与共线，则 C. 若向量 ，则在方向上的投影向量坐标为 D. 在中，向量与满足 ，则为等腰三角形 【答案】ABCD 【解析】 【详解】对于A，若的夹角为钝角，则 且两向量不共线，等价于 ，即“的夹角为钝角”是“  ”的充要条件，故A正确； 对于B，若与共线，则 .易得 ，则 ，故B正确； 对于C，在方向上的投影向量坐标为，故C正确； 对于D，都表示单位向量，表示 角平分线方向上的向量， 表示 角平分线方向上的向量与边BC垂直，所以AB=AC，为等腰三角形，故D正确. 11. 下图是正方体的平面展开图，在原正方体中，下列命题正确的是（ ） A. 与的夹角为 B. 平面 C. 平面∥平面 D. 平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】将展开图折成正方体，根据正方体的性质，由异面直线所成角的定义可判断A； 由线面平行的判定定理可判断B； 根据面面平行的判定定理可判断C，由线面垂直的判定定理可判断D. 【详解】展开图可以折成如图①所示的正方体． 因为在正方体中平面 ∥平面 ，因为 平面 ， ∥平面 ，故B正确； 如图②所示，连接 ， 因为∥ ，所以四边形 是平行四边形，所以 ∥ . 所以 为 与的夹角. 因为 为正三角形，所以 ，故A不正确. 易知∥ 平面 ， 平面 ，所以∥平面 ； 同理可得∥平面 ， 平面， 所以平面∥平面 ，故C正确. 正方体中 平面 ， 因为 平面 ，所以 . 正方形 中 ， 因为 平面 ， 所以 平面 . 因为 平面 ，所以 . 同理可证 平面 ，所以 ． 因为 平面， 所以 平面，故D正确. 第Ⅱ卷（选择题，共 92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，点，则与同向的单位向量坐标为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，结合单位向量的计算方法，即可求解. 【详解】由点，，可得，则 则与向量同向的单位向量的坐标为. 13. 在中，内角A，， 的对边分别为，，，若，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理计算即可. 【详解】因为， 所以由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 又，所以． 故答案为： 14. 如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的____________ ①在点运动过程中，直线 与始终为异面直线 ②三棱锥的体积为定值 ③异面直线 与直线所成的角为定值 ④在点运动过程中，不存在某个位置，使得平面平面 【答案】①②③ 【解析】 【分析】结合异面直线的定义，可判定①准确；根据三棱锥的体积，可判定②正确；根据线面垂直的性质，可判定③正确；根据线面平行的性质，可判定④不正确，即可得到答案. 【详解】对于①：由题意，在正方体中， 点在线段上运动，， 平面，平面， 所以在点运动过程中，直线 与始终不能在同一平面内， 所以直线 与始终为异面直线，故①正确； 对于②：由三棱锥的体积，其中的面积为定值， 因为，平面，平面，所以直线平面， 所以当点在线段上运动时，点到平面的距离也为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故②正确； 对于③：在正方体中， 平面，因为 平面， 所以，又由，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 所以异面直线 与直线所成的角为，故③正确； 对于④：根据正方体的结构特征，可得， 又平面，平面，所以平面， 又由选项②的解析过程知平面，，平面， 所以平面平面， 所以当点与点重合时，平面平面， 即存在点，使得平面平面，故④错误. 故答案为：①②③ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知向量，满足： ， ， . （1）求与的夹角的余弦值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由条件可得 ，再结合条件的数量积得 ，用向量的夹角公式可得； （2）直接由向量的垂直可得关于实数的一元二次方程，解一元二次方程可得. 【小问1详解】 因为 ，所以 ①， 又因为 ，得 ，且 ， 代入①上式得 ，即 ， 所以，因此与的夹角的余弦值. 【小问2详解】 因为，所以 ， 化简可得 ， 将 ， ， 代入可得 ， 即 ，解得或. 因此实数的值为或. 16. 如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径， ，，三棱锥的体积为． （1）求圆柱的表面积； （2）求三棱锥外接球的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出AP、BP，即可得到，再由，求出，最后根据圆柱的表面积公式计算可得； （2）三棱锥外接球即为圆柱的外接球，求出外接球的半径，再根据球的体积公式计算可得． 【小问1详解】 在 中，，， ， 又在 中，，， ， 而点P在圆柱的底面圆O上，且为圆的直径， ， 所以， 于是由，得， ， 圆柱的表面积． 【小问2详解】 三棱锥外接球即为圆柱的外接球， 则外接球的球心是的中点，半径， 所以三棱锥外接球的体积． 17. 已知. （1）求的单调递增区间； （2）若，，求满足不等式的x的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）化简的解析式，根据正弦函数的单调性可求的单调递增区间； （2）利用换元法求x的取值范围. 【小问1详解】 = =， 令，解得 所以单调递增区间为， . 【小问2详解】 由（1）可得， 令，则，所以 所以不等式为，得，即 由，解得，所以解集为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，， 平面，且是的中点. （1）求证：平面 （2）求证： 平面 ； （3）求直线与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接 ，由线面平行的判定定理证明可得； （2）先由线面垂直证明 ，再由线面垂直的判定定理证明可得； （3）取中点为，连接，利用等体积法可得. 【小问1详解】 证明：连接交于，连接 ， 是三角形中边上的中位线，， 又平面 ， 平面，平面 . 【小问2详解】 证明平面，平面，， 又四边形是矩形，，，， 平面， 平面，平面，， 又是的中点，，， ，，平面 ，平面 . 【小问3详解】 如图，取中点为，连接， 在中，，分别为线段，的中点， 故，，平面， 平面， ， 由（2）得 平面 ，平面 ，， ，，，又 ，， ， 设点到平面的距离为，直线与平面 所成角为， 则，解得，故， 直线与平面 所成角的正弦值为. 19. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角A； （2）已知，，点P，Q是边上的两个动点（P，Q不重合），记 . ①当时，设 的面积为S，求S的最小值： ②记 ， .问：是否存在实常数 和k，对于所有满足题意的，，都有 成立?若存在，求出 和k的值；若不存在，说明理由. 参考公式：；； ；. 【答案】（1） （2）①；②存在，， 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理边角互化，由三角恒等变换、三角函数化简得解. （2）①先用正弦定理建立BP、BQ的关系式，结合面积公式转化为所求表达式的最小值，用基本不等式得面积最小值； ②利用三角形内角和 和三角恒等变换化简等式，根据恒成立对应系数相等求解常数和k. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理可得， 所以 ， 所以 ，所以， 因为，， 所以 或或， 即 或 （舍去）或 （舍去），又 ，所以； 【小问2详解】 ①因为，，，所以， . 如图，设 ，，    则在 中，由正弦定理，得，所以. 在中，由正弦定理，得，所以， ， 因为，所以，故当，即时，， 即S的最小值为. ②假设存在实常数 ，k，对于所有满足题意的，，都有 成立， 则存在实常数 ，k，对于所有满足题意的，， 都有， 由题意， 是定值，所以，是定值， 对于所有满足题意的，成立， 故有， 因为 ，从而 ，即， 因为，为 的内角，所以，从而，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $