四川省成都某中学2025-2026学年高一下学期期末适应性检测（6月月考）数学试题

**基本信息** 高一下期末适应性检测数学试卷，涵盖复数、向量、立体几何等核心知识，通过梯度题型考查空间观念、逻辑推理等素养，适配月考学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数纯虚数、三角函数图像变换、直棱柱体积|基础概念辨析，如第4题结合斜二测画法考体积| |多选题|3/18|复数性质、向量投影、正方体展开图|多维度辨析，如第11题正方体线面关系判断| |填空题|3/15|单位向量、解三角形、正方体动态问题|动态探究，如第14题线段上动点与异面直线| |解答题|5/77|四棱锥线面证明与线面角、解三角形面积最值|综合应用，如18题空间证明与角的计算，19题结合存在性问题考数学思维|

高2025级高一下期末适应性检测（6月月考） 数学试题 第I卷（选择题，共 58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数为纯虚数，则（     ） A． B． C． D．2 2．若，，则（    ） A． B． C．2 D． 3．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，可得到函数（    ）的图象 A． B． C． D． 4.一个侧棱长为的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形，其中，则该直棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 5．已知表示直线，，，表示平面，则下列推理正确的是（    ） A． B．，且 C．，，， D．，， 6．一船以的速度向东航行，船在点A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达点C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，则下列说法正确的是（    ） ①，，，四点共面； ②与异面； ③与的交点可能在直线上，也可能不在直线上； ④与的交点一定在直线上． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 8．在△ABC中，，过点O的直线分别交直线于M，N两个不同的点，若，其中m，n为实数，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C． D．5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A．在复平面内对应的点在第三象限 B．的虚部为 C．的共轭复数为 D．若，则的最大值是 10．下列说法正确的是（    ） A．已知向量，则“的夹角为钝角”是“”的充要条件 B．已知向量，若与共线，则 C．若向量，则在方向上的投影向量坐标为 D．在中，向量与满足，则为等腰三角形 11．下图是正方体的平面展开图，在原正方体中，下列命题正确的是（   ） A．与AF的夹角为450 B．平面 C．平面平面 D． 第Ⅱ卷（选择题，共 92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点，点，则与同向的单位向量坐标为 . 13．在△ABC中，内角A，，的对边分别为，，，若，则_________． 14．如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的____________ ①在点运动过程中，直线与始终为异面直线 ②三棱锥的体积为定值 ③异面直线与直线所成的角为定值 ④在点运动过程中，不存在某个位置，使得平面平面 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题13分）已知向量，满足：，，. (1)求与的夹角的余弦值； (2)若，求实数的值. 16．（本小题15分）如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为． (1)求圆柱的表面积； (2)求三棱锥外接球的体积． 17．（本小题15分）已知. (1)求的单调递增区间； (2)若，，求满足不等式的x的取值范围. 18．（本小题17分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点. (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 19．（本小题17分）在Rt△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角A； (2)已知，，点P，Q是边上的两个动点（P，Q不重合），记. ①当时，设的面积为S，求S的最小值： ②记，.问：是否存在实常数和k，对于所有满足题意的，，都有成立?若存在，求出和k的值；若不存在，说明理由. 参考公式：；； ；. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C A D B B C ACD ABD 题号 11 答案 BCD 1．A 【详解】由为纯虚数，则，可得． 2．D 【详解】由可得， 因，则，可得. 3．C 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到， 将向右平移个单位得到. 故选：C 4．A 【详解】该直棱柱的底面 则该直棱柱的底面为长2宽1的矩形，其面积为， 则该直棱柱的体积为    故选：A 5．D 【详解】选项A中，，，则可能平行也可能相交，故A不正确； 选项B中，，，则可能且，也可能在平面或平面内，故B不正确； 选项C中，，，，，若直线 与直线平行，则平面可能平行也可能相交，故C不正确； 选项D为面面平行性质定理的符号语言，D正确； 故选：D. 6．B 【详解】作出示意图如图所示，， ，，则. 由正弦定理，可得，则. 所以这时船与灯塔的距离为. 故选：B 7．B 【详解】依题意，可得， ，故，所以，，，四点共面； 所以①正确，②错误； 因为，所以四边形EFGH是梯形； EF与GH必相交，设交点为M. 因为点M在EF上，故点M在平面ACB上， 同理，点M在平面ACD上，所以点M是平面ACB与平面ACD的交点. 又AC是这两个平面的交线， 所以点M一定在直线AC上. 所以④正确，③错误； 故选：B. 8．C 【详解】 三点共线 即 故的最小值为. 故选：C. 9．CD 【详解】因为，则. 对于A选项，的虚部为，A错； 对于B选项，复数在复平面内对应的点在第三象限，B错； 对于C选项，的共轭复数为，C对； 对于D选项，因为，， 由复数模的三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立，即的最大值是，D对. 故选：CD. 10．ABD 【详解】A. 若的夹角为锐角，则 ，且 ，解得且，故错误； B.若与共线，则，解得，故错误； C. 在方向上的投影向量坐标为，故正确； D. 都表示单位向量，表示角平分线方向上的向量， 表示角平分线方向上的向量与边BC垂直，所以AB=AC，为等腰三角形，故错误. 11．BCD 【详解】展开图可以折成如图①所示的正方体． 因为在正方体中平面平面，因为平面， 所以平面，故A不正确； 同理可得：平面，故B正确； 如图②所示，连接， 由于平面，平面，所以平面， 同理可得平面，平面， 则平面平面， 同理可证平面平面，所以CD正确． 12． 【详解】由点，，可得，则 则与向量同向的单位向量的坐标为. 13．/ 【详解】因为， 所以由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 又，所以． 故答案为： 14．①②③ 【详解】对于①：由题意，在正方体中， 点在线段上运动，，平面，平面， 所以在点运动过程中，直线与始终不能在同一平面内， 所以直线与始终为异面直线，故①正确； 对于②：由三棱锥的体积，其中的面积为定值， 因为，平面，平面，所以直线平面， 所以当点在线段上运动时，点到平面的距离也为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故②正确； 对于③：在正方体中，平面，因为平面， 所以，又由，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 所以异面直线与直线所成的角为，故③正确； 对于④：根据正方体的结构特征，可得， 又平面，平面，所以平面， 又由选项②的解析过程知平面，，平面， 所以平面平面， 所以当点与点重合时，平面平面， 即存在点，使得平面平面，故④错误. 故答案为：①②③ 15．(1) (2)或 【详解】（1）由题可得， 因为，，代入可得， ，所以与的夹角的余弦值. （2）因为，所以， 化简可得， 将，，代入可得，解得或. 16．(1) (2) 【详解】（1）在中，，， ， 又在中，，， ， 而点P在圆柱的底面圆O上，且为圆的直径， ， 所以， 于是由，得， ， 圆柱的表面积． （2）三棱锥外接球即为圆柱的外接球， 则外接球的球心是的中点，半径， 所以三棱锥外接球的体积． 17．(1)， (2) 【详解】（1） = =， 令，解得 所以单调递增区间为，. （2）由（1）可得， 令，则，所以 所以不等式为，得，即 由，解得，所以解集为. 18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）证明：连接交于，连接，   是三角形中边上的中位线，， 又平面，平面，平面. （2）证明平面，平面，， 又四边形是矩形，，，，平面， 平面，平面，， 又是的中点，，， ，，平面，平面. （3）如图，取中点为，连接，    在中，，分别为线段，的中点， 故，，平面，平面， ， 由（2）得平面，平面，， ，，，又，， ， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 则，解得，故， 直线与平面所成角的正弦值为. 19．(1) (2)①；②存在，， 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 所以， 所以，所以， 因为，， 所以或或， 即或（舍去）或（舍去），又，所以； （2）①因为，所以，又，，所以，. 如图，设，，    则在中，由正弦定理，得， 所以 在中，由正弦定理，得，所以， ， 因为，所以， 故当，即时，； ②假设存在实常数，k，对于所有满足题意的，，都有成立， 则存在实常数，k，对于所有满足题意的，， 都有， 由题意，是定值，所以，是定值， 对于所有满足题意的，成立， 故有, 因为，从而，即， 因为，为的内角，所以，从而，. 答案第10页，共10页 答案第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $